安徽中考数学专题训练几何图形最值问题含答案.docx

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安徽中考数学专题训练几何图形最值问题含答案

专题　几何图形最值问题　

类型一线段最值问题

（2017·安徽）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3.动点P满足S△PAB＝

S矩形ABCD.则点P到A，B两点距离之和PA＋PB的最小值为（）

例1题图

A.B.C．5D.

【分析】可设P点到AB的距离为h，由S△PAB＝S矩形ABCD可得h＝2，过P作MN∥AB，则说明点P在MN上运动，再作A点关于点M的对称点A1，就可得出PA＋PB＝PA1＋PB≥A1B，下面只需求出A1B即可．

【自主解答】

【方法点拨】对于几何图形中最值问题，常用的策略是转化，就是把握点运动的全过程，要注意用运动与变化的眼光去观察和研究图形，抓住其中的等量关系和变量关系，其次，画出图形，这一步很重要，随着点的移动，与之相关的图形也会发生改变，而且点移动到不同的位置，我们要研究的图形可能会改变．当一个问题是有关确定图形的变量之间关系时，通常建立函数模型求解，当确定图形之间的特殊位置关系或一些特殊值时，通常建立方程模型求解．在解题时常常需要作辅助线帮助理清思路，然后利用直角三角形或圆的有关知识解题．如本题，作辅助线，利用轴对称的性质将问题转化为三角形中两边之和大于第三边，当P点在A1B上时PA1＋PB取得最小值．

【难点突破】本题的突破口是根据S△PAB＝S矩形ABCD推出P点的运动轨迹是在平行于AB的线段上，从而想到利用轴对称将问题转化．

1．如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝3，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作圆O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ的最小值为（）

A．3－1B．2

C．2D．3

2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE最小的值是（）

A．2B．3C．4D．5

3．（2018·滨州）如图，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内的定点且OP＝，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（）

A.B.C．6D．3

4．（2018·天津）如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长度等于AP＋EP最小值的是（）

A．ABB．DEC．BDD．AF

5．（2018·宿州埇桥区二模）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，把矩形ABCD沿过点A的直线AE折叠，点D落在矩形ABCD内部的点D′处，则CD′的最小值是（）

A．2B．5

C．2－2D．2＋2

6．（2018·滁州南谯区二模）如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E、F分别为BC、AD上的点，过点E、F的直线将正方形ABCD的面积分为相等的两部分．过点A作AG⊥EF于点G，连接DG，则线段DG长的最小值为（）

A．2B．2－2

C．2D．2－2

7．如图，正方形ABCD的面积为18，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为（）

A．3B．9C．6D．3

8．（2018·六安霍邱二模）如图，在等腰三角形ABC中，∠C＝120°，AB＝8，E、F分别是射线AC、AB上的动点，则BE＋EF的最小值为（）

A．4B．3C．4D.

9．（2018·瑶海区三模）如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AE⊥BD，垂足为E，DE＝3BE，点P，Q分别在BD，AD上，则AP＋PQ的最小值为（）

A．2B.C．2D．3

10．（2018·合肥寿春中学一模）如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别从点D和点C出发，沿射线DA、射线CD运动，且DE=CF，直线AF、直线BE交于点H，连接DH，则线段DH长度的最小值为（）

A．3－3B．2－3

C．3－3D．3

11．（2018·合肥四十二中一模）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，点D为边AB上一个动点，将△BCD沿CD折叠得到△B′CD，连接AB′，则△ADB′的周长最小值为（）

A．3B.＋1C．2D.

12．（2018·合肥45中三模）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝8，D，E是AB和BC上的动点，连接CD，DE，则CD＋DE的最小值为（）

A．8B.C.D.

13．（2018·长丰二模）如图，点A、B分别在直角MON的边OM和ON上运动，且AC＝BC＝26，AB＝20，则点C到点O的最小距离为（）

A．10B．2C．14D．16

14．（2018·瑶海区二模）如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别是AD、DC边上的点，且EF＝2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA＋PG的最小值为（）

A．3B．4C．2D．5

15．（2018·庐阳区一模）如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP＋AP的最小值为（）

A．2B．2C．4D．4

16．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，边长为3，P是对角线BD上的一个动点，则BP＋PC的最小值是（）

A.　　　B.C．3　　　D.＋

17．（2018·利辛模拟）如图，等边△ABC，AB＝3，CD＝AC，P为BC边上一点，则△APD周长的最小值为（）

A．2＋B.C．3D．2

18．如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为（）

A．3＋2B．4＋3

C．2＋2D．10

19．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，∠AMN＋∠ANM的度数为（）

A．130°B．120°C．110°D．100°

20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，点P在Rt△ABC内且满足S△ABC＝3S△PAC，则点P到A，C两点距离之和PA＋PC的最小值为（）

A．1＋B．2C.D.

21．（2018·长春改编）如图，在▱ABCD中，AD＝7，AB＝2，∠B＝60°.E是边BC上任意一点，沿AE剪开，将△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，得到四边形AEFD，则四边形AEFD周长的最小值为（）

A．2＋7B．2＋14

C．17D．20

22．（2019·）如图，矩形ABCD中，AB＝8，M，N在边AB上，且MN＝2，AP＝3，BQ＝6，则PM＋MN＋NQ的最小值是（）

A．11B．14

C．2＋3D．3＋3

23．（2019·）如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD－PC的最大值为（）

A．6B．5C．4D．3

类型二面积最值问题

（2018·成都改编）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，AC＝2，过点B作直线m∥AC，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C（点A，B的对应点分别为A′，B′），射线CA′，CB′分别交直线m于点P，Q.在旋转过程中，当点P，Q分别在CA′，CB′的延长线上时，则四边形PA′B′Q的面积的最小值是（　　　　）

A.B．3－C．3－D．3

【分析】由于△A′B′C的面积不变，四边形PA′B′Q的面积的最小值由△PCQ的面积来确定，因此只要求得△PCQ面积的最小值，问题得解．

【自主解答】

【方法点拨】当直接求有困难时常采用间接法将问题转化，从而化繁为简，本题中就是将四边形PA′B′Q的面积的最小值转化为求△PCQ面积的最小值．

【难点突破】本题的难点是如何求△PCQ面积的最小值，突破口是想到特殊情况：

CG⊥PQ，此时CG、PQ都最小．

1．如图，在半圆O中，AB是直径，CD是一条弦，若AB＝10，则△COD面积的最大值是（）

A．9.5B．12.5C．5D．10

2．如图，已知⊙O的半径为6，弦AB＝6，P为弦AB上一个动点，过点P作弦CD，弦CD、AB所夹的锐角为45°，则四边形ADBC面积的最大值为（）

A．18B．12C．18D．18

3．如图，边长为2的等边△ABC，射线AB上有一动点P（P不与点A、点B重合），以PC为边作等边△PDC，点D与点A在BC同侧，E为AC中点，连接AD、PE、ED.则△PDE的面积的最小值为（）

A．2B.C.D.

参考答案

类型一

【例1】如解图，过P点作MN∥AB，作A点关于点M的对称点A1，连接PA1，则PA1与PA关于MN对称且PA1＝PA，设P点到AB的距离为h，由SΔPAB＝S矩形ABCD可得h＝2，则AA1＝4，∵PA＋PB＝PA1＋PB≥A1B＝＝，故选D.

针对训练

1．C　2.B　3.D　4.D　5.C　6.B　7.A　8.A　9.D　10.A

11．B　12.D　13.C　14.B　15.B　16.B　17.A　18.B

19．B　20.B　21.D　22.C　23.B

类型二

【例2】∵S四边形PA′B′Q＝S△PCQ－S△A′CB′＝S△PCQ－.∴S四边形PA′B′Q最小，即S△PCQ最小．取PQ的中点G，由∠PCQ＝90°，得CG＝PQ.当CG最小时，PQ最小，∴CG⊥PQ，即CG与CB重合时，CG最小．∴CG最小值为，PQ最小值为2，∴S△PCQ的最小值为××2＝3.∴S四边形PA′B′Q的最小值是3－.

针对训练

1．B　2.C　3.C