高中数学第二章平面向量241平面向量数量积的物理背景及其含义二导学案新人教A版必修42.docx

高中数学第二章平面向量241平面向量数量积的物理背景及其含义二导学案新人教A版必修42.docx

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高中数学第二章平面向量241平面向量数量积的物理背景及其含义二导学案新人教A版必修42

2.4.1　平面向量数量积的物理背景及其含义

（二）

学习目标　1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明.

知识点一　平面向量数量积的运算律

类比实数的运算律，判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确.

运算律

实数乘法

向量数量积

判断正误

交换律

ab＝ba

a·b＝b·a

正确

结合律

（ab）c＝a（bc）

（a·b）c＝a（b·c）

错误

分配律

（a＋b）c＝ac＋bc

（a＋b）·c

＝a·c＋b·c

正确

消去律

ab＝bc（b≠0）⇒a＝c

a·b＝b·c（b≠0）

⇒a＝c

错误

知识点二　平面向量数量积的运算性质

类比多项式乘法的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质.

多项式乘法

向量数量积

（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2

（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2

（a－b）2＝a2－2ab＋b2

（a－b）2＝a2－2a·b＋b2

（a＋b）（a－b）＝a2－b2

（a＋b）·（a－b）＝a2－b2

（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋

c2＋2ab＋2bc＋2ca

（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋

2a·b＋2b·c＋2c·a

类型一　向量数量积的运算性质

例1　给出下列结论：

①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③（a·b）c＝a（b·c）；④a·[b（a·c）－c（a·b）]＝0，其中正确结论的序号是________.

答案　④

解析　因为两个非零向量a、b垂直时，a·b＝0，故①不正确；

当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确；

向量（a·b）c与c共线，a（b·c）与a共线，故③不正确；

a·[b（a·c）－c（a·b）]

＝（a·b）（a·c）－（a·c）（a·b）＝0，故④正确.

反思与感悟　向量的数量积a·b与实数a、b的乘积a·b有联系，同时有许多不同之处.例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0.特别是向量的数量积不满足结合律.

跟踪训练1　设a，b，c是任意的非零向量，且互不平行，给出以下说法：

①（a·b）·c－（c·a）·b＝0；

②（b·c）·a－（c·a）·b不与c垂直；

③（3a＋2b）·（3a－2b）＝9|a|2－4|b|2.

其中正确的是________.（填序号）

答案　③

解析　（a·b）·c表示与向量c共线的向量，（c·a）·b表示与向量b共线的向量，而b，c不共线，所以①错误；由[（b·c）·a－（c·a）·b]·c＝0知，（b·c）·a－（c·a）·b与c垂直，故②错误；向量的乘法运算符合多项式乘法法则，所以③正确.

类型二　平面向量数量积有关的参数问题

命题角度1　已知向量垂直求参数值

例2　已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋（1－t）·b，且b⊥c，则t＝________.

答案　2

解析　由题意，将b·c＝[ta＋（1－t）b]·b整理，得ta·b＋（1－t）＝0，又a·b＝，所以t＝2.

反思与感悟　由两向量垂直求参数一般是利用性质：

a⊥b⇔a·b＝0.

跟踪训练2　已知向量a＝（k，3），b＝（1，4），c＝（2，1），且（2a－3b）⊥c，则实数k等于（　　）

A.－B.0C.3D.

答案　C

解析　因为a＝（k，3），b＝（1，4），

所以2a－3b＝2（k，3）－3（1，4）＝（2k－3，－6）.

因为（2a－3b）⊥c，

所以（2a－3b）·c＝（2k－3，－6）·（2，1）

＝2（2k－3）－6＝0，

解得k＝3.故选C.

命题角度2　由两向量夹角的取值范围求参数的取值范围

例3　已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，则k的取值范围为________.

答案　（0，1）∪（1，＋∞）

解析　∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，

∴（e1＋ke2）·（ke1＋e2）

＝ke＋ke＋（k2＋1）e1·e2

＝2k>0，∴k>0.

但当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去.

综上，k的取值范围为k>0且k≠1.

反思与感悟　由两向量夹角θ的取值范围，求参数的取值范围，一般利用以下结论：

对于非零向量a，b，θ∈[0，）⇔a·b>0，θ∈（，π]⇔a·b<0.

跟踪训练3　设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.

解　设向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为θ.

根据题意，得cosθ＝<0，

∴（2te1＋7e2）·（e1＋te2）<0.

化简，得2t2＋15t＋7<0，解得－7

当θ＝π时，也有（2te1＋7e2）·（e1＋te2）<0，但此时夹角不是钝角.

设2te1＋7e2＝λ（e1＋te2），λ<0，

则∴

∴实数t的取值范围是（－7，－）∪（－，－）.

1.下面给出的关系式中正确的个数是（　　）

①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤（a·b）2＝a2·b2.

A.1B.2C.3D.4

答案　C

解析　①②③正确，④错误，⑤错误，（a·b）2＝（|a||b|·cosθ）2＝a2·b2cos2θ，故选C.

2.已知|a|＝1，|b|＝，且（a＋b）与a垂直，则a与b的夹角是（　　）

A.60°B.30°C.135°D.45°

答案　C

解析　∵（a＋b）·a＝a2＋a·b＝0，

∴a·b＝－a2＝－1，

∴cos〈a，b〉＝＝＝－.

∴〈a，b〉＝135°.

3.已知平面向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60°，若（a－mb）⊥a，则实数m的值为（　　）

A.1B.0C.2D.3

答案　D

解析　由题意得（a－mb）·a＝0，a2＝ma·b，

∴m＝＝＝＝3，故选D.

4.已知正三角形ABC的边长为1，设＝c，＝a，＝b，那么a·b＋b·c＋c·a的值是（　　）

A.B.

C.－D.－

答案　C

解析　∵a＋b＋c＝0，∴（a＋b＋c）2＝0，

即|a|2＋|b|2＋|c|2＋2（a·b＋b·c＋c·a）＝0，

∴3＋2（a·b＋b·c＋c·a）＝0，

∴a·b＋b·c＋c·a＝－.

5.已知|a|＝2，|b|＝1，（2a－3b）·（2a＋b）＝9.

（1）求a与b之间的夹角θ；

（2）求向量a在a＋b上的投影.

解　

（1）∵（2a－3b）·（2a＋b）＝4a2－4a·b－3b2＝9，即16－4a·b－3＝9，

∴a·b＝1，

∴cosθ＝＝.

又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.

（2）|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝7，即|a＋b|＝.

设a与a＋b的夹角为α，则向量a在a＋b上的投影为

|a|cosα＝|a|×＝＝＝＝.

1.数量积对结合律不一定成立，因为（a·b）·c＝|a||b|·cos〈a，b〉·c是一个与c共线的向量，而（a·c）·b＝|a||c|cos〈a，c〉·b是一个与b共线的向量，若b与c不共线，则两者不相等.

2.在实数中，若ab＝0，则a＝0或b＝0，但是在数量积中，即使a·b＝0，也不能推出a＝0或b＝0，因为其中cosθ有可能为0.

3.在实数中，若ab＝bc，b≠0，则a＝c，在向量中a·b＝b·c，b≠0⇏a＝c.

课时作业

一、选择题

1.已知|a|＝1，|b|＝1，|c|＝，a与b的夹角为90°，b与c的夹角为45°，则a·（b·c）的化简结果是（　　）

A.0B.aC.bD.c

答案　B

解析　b·c＝|b||c|cos45°＝1.

∴a·（b·c）＝a.

2.已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|等于（　　）

A.0B.2C.4D.8

答案　B

解析　|2a－b|2＝（2a－b）2＝4|a|2－4a·b＋|b|2＝4×1－4×0＋4＝8，∴|2a－b|＝2.

3.已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于（　　）

A.B.－

C.±D.1

答案　A

解析　∵（3a＋2b）·（λa－b）＝3λa2＋（2λ－3）a·b－2b2

＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0，∴λ＝.

4.设单位向量e1，e2的夹角为60°，则向量3e1＋4e2与向量e1的夹角θ的余弦值是（　　）

A.B.C.D.

答案　D

解析　∵|3e1＋4e2|2＝9e＋24e1·e2＋16e＝9＋24×＋16＝37，∴|3e1＋4e2|＝.

又∵（3e1＋4e2）·e1＝3e＋4e1·e2＝3＋4×＝5，

∴cosθ＝＝＝.

5.已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.若n⊥（tm＋n），则实数t的值为（　　）

A.4B.－4C.D.－

答案　B

解析　∵n⊥（tm＋n），∴n·（tm＋n）＝0，即tm·n＋n2＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0，由已知得t×|n|2×＋|n|2＝0，解得t＝－4，故选B.

6.设向量a与b满足|a|＝2，b在a方向上的投影为1.若存在实数λ，使得a与a－λb垂直，则λ等于（　　）

A.B.1C.2D.3

答案　C

解析　∵b在a上的投影为1，|a|＝2，

∴a·b＝2×1＝2，

又∵a⊥（a－λb），∴a·（a－λb）＝0，

∴λa·b＝|a|2，故2λ＝4，λ＝2，故选C.

7.若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－b，则向量a与c的夹角为（　　）

A.0B.C.D.

答案　D

解析　∵a·c＝a·

＝a·a－·（a·b）＝a·a－a·a＝0.

∴a⊥c.故选D.

8.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为BC的中点，则·等于（　　）

A.－3B.0C.－1D.1

答案　C

二、填空题

9.已知平面内三个向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，|c|＝，且a＋b＋c＝0，则向量a，b夹角的大小是________.

答案　

解析　∵a＋b＝－c，∴（a＋b）2＝c2，

即|a|2＋2a·b＋|b|2＝|c|2，

∴1＋2a·b＋1＝3，a·b＝，

则cos〈a，b〉＝＝，

又∵〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝.

10.已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，且对一切实数x，|a＋xb|≥|a＋b|恒成立，则a，b的夹角的大小为________.

答案　

解析　由题意可知，|a＋xb|2≥|a＋b|2，

即a2＋2a·b·x＋b2·x2≥a2＋2a·b＋b2，

设a与b的夹角为θ，

则4＋4cosθ·x＋x2≥4＋4cosθ＋1，

即x2＋4cosθ·x－1－4cosθ≥0，

因为对一切实数x，|a＋xb|≥|a＋b|恒成立，

所以Δ＝（4cosθ）2＋4（1＋4cosθ）≤0，

即（2cosθ＋1）2≤0，

所以2cosθ＋1＝0，cosθ＝－.

又因为θ∈[0，π]，所以θ＝.

11.已知非零向量a，b，满足a⊥b，且a＋2b与a－2b的夹角为120°，则＝________.

答案　

解析　∵a⊥b，∴a·b＝0，

（a＋2b）·（a－2b）＝a2－4b2，

|a＋2b|＝＝，

|a－2b|＝＝，

∴a2－4b2＝··cos120°，