专题2胡不归问题.docx

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专题2胡不归问题

中考复习之胡不归问题

问题起源：

从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？

胡不归？

…”（“胡”同“何”）

而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？

这就是风靡千百年的“胡不归问题”

【问题引入】

如图，等边三角形ABC边长为4，P为中线AD上一动点，求PC+

AP的最小值

【例题1】如图,Rt△AOC是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形，点O与原点重合，点A在x轴上,点B在y轴上，点A的坐标为（12,0），∠BAO=30°,将Rt△AOB折叠,使OB边落在AB边上,点O与点D重合,折痕为BC,在线段BC上有一动点P,求

的最小值

【宝安区模拟】.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（-1.0）,

B（0,－

）,C（2.0）,其对称轴与x轴交于点D

（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标

（2）若P为y轴上的一个动点,连接PD,则

PB+PD的最小值为

【例题2】如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB＝2，则AP＋BP＋CP的最小值为_______

【模型建立】

如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1

的值最小．

【问题分析】

，记

，（k＜1）即求BC+kAC的最小值．

【问题解决】

构造射线AD使得sin∠DAN=k，

=k，CH=kAC．

将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．

【模型总结】

在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．

而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段．

【练习】

1.如图,在平面直角坐标系中,已知A（0,4）,B（-1,0）,在y轴上有一动点G,求BG+

AG的最小值

2.如图,菱形ABCD的对角线AC上有一动点P,BC=6,∠ABC=150°,则线段AP+BP+PD

的最小值为

【例题3】如图，△ABC在直角坐标系中，AB=AC，A（0，2

），C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为（　　）

A．（0，

）B．（0，

）C．（0，

）D．（0，

）

【例题4】如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan∠EBA=

，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是　　s．

典例练习：

1、抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO=3.

（1）求抛物线的解析式

（2）点B关于y轴的对称点为P点，在y轴上找一点Q，使

的值最小，求出最小值，以及此时Q点的坐标

2、（2018年龙华区二模23题）在平面直角坐标系中，直y

x+4

与x轴交于B点，与y轴交于C点，抛物线y

x2+bx+c经过B、C两点，与y轴的另一个交点为点A，P为线段BC上一个动点（不与点B、点C重合）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点D，连结CD、PD，当△PDC为直角三角形时，求点P的坐标；

（3）过点C作CE∥x轴，交抛物线于点E，如图2，求PB+2PE的最小值．

3、（2017年福田区一模23题）已知抛物线y=ax2+bx﹣3经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于C点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图①，抛物线的对称轴上有一点P，且点P在x轴下方，线段PB绕点P顺时针旋转90°，点B的对应点B′恰好落在抛物线上，求点P的坐标．

（3）如图②，直线y=

x+

交抛物线于A、E两点，点D为线段AE上一点，连接BD，有一动点Q从B点出发，沿线段BD以每秒1个单位的速度运动到D，再沿DE以每秒2个单位的速度运动到E，问：

是否存在点D，使点Q从点B到E的运动时间最少？

若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．