几种证明全等三角形添加辅助线的方法.docx
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几种证明全等三角形添加辅助线的方法
全等三角形复习课
适用学科
数学
适用年级
初中二年级
适用区域
通用
课时时长（分
钟）
120
知识点
全等三角形的性质和判定方法
教学目标
熟练掌握全等三角形的性质和判定方法，并学会用应用
教学重点
学会做辅助线证明三角形全等，常用的几种作辅助线的方法
教学难点
通过学习全等三角形，提高学生观察能力和分析能力
教学过程
构造全等三角形几种方法
在几何解题中，常常需要添加辅助线构造全等三角形，以沟通题设与结论之间的联系。
现分类加以说明。
、延长中线构造全等三角形
例1.如图1，AD是△ABC的中线，求证：
AB+AC>2AD。
证明：
延长AD至E,使AD=DE，连接CE。
如图2
VAD是△ABC的中线，二BD=CD。
又=/2，AD=DE，
•••△BD也zECD（SAS）。
AB=CE。
•••在zACE中，CE+AC>AE,
•••AB+AC>2AD。
、沿角平分线翻折构造全等三角形
例2.如图3，在AABC中，/1=Z2,ZABC=2ZC。
求证：
AB+BD=AC。
图3图4
证明：
将AABD沿AD翻折，点B落在AC上的E点处，即：
在AC上截
取AE=AB，连接ED。
如图4。
•••/=/2，AD=AD，AB=AE，
•△BD也ZED（SAS）。
•••BD=ED，ZABC=ZAED=2/C。
WZAED=ZC+ZEDC，
•zC=/EDC。
所以EC=ED=BD。
••AC=AE+EC，—AB+BD=AC。
三、作平行线构造全等三角形
例3.如图5，ZABC中，AB=AC。
E是AB上异于A、B的任意一点，延长
AC到D，使CD=BE,连接DE交BC于F。
求证：
EF=FD
证明：
过E作EM//AC交BC于M，如图6
贝U/EMB=ZACB，/MEF=/CDF。
'•AB=AC，—zB=ZACB。
•••zB=ZEMB。
故EM=BE。
•.•BE=CD,—EM=CD。
又v/EFM=ZDFC,ZMEF=/CDF,
•△FM也QFC（AAS）。
EF=FD。
四、作垂线构造全等三角形
例4.如图7,在△ABC中，/BAC=90°,AB=AC。
M是AC边的中点
AD丄BM交BC于D，交BM于E。
求证：
/AMB=/DMC。
证明：
作CF丄AC交AD
C
V/BAC=90°,AD丄BM,
•zFAC^ZABM=90°—ZAE。
••AB=AC，/BAM=ZACF=90
•••ZABM也QAF（ASA）。
•••zF=/AMB,AM=CF0
'•AM=CM,.°CF=CMo
VJMCD=/FCD=45°,CD=CD,
azMICD也&D（SAS）o所以ZF^ZDMC。
•••zAMB=/F=/DMCo
五、沿高线翻折构造全等三角形
例5.如图9，在AABC中，AD丄BC于D，/BAD>ZCAD。
求证：
AB>
ACo
图10
图9
证明：
把AADC沿高AD翻折，点C落在线段DB上的E点处，即：
在
DB上截取DE=DC,连接AE。
如图10。
•ZADC也zADE（SAS）oAC=AE，/C=ZAED。
•zAED>ZB,AzC>ZB。
从而AB>AC。
六、绕点旋转构造全等三角形
例6.如图11，正方形ABCD中，/1=/2,Q在DC上,P在BC上。
求
证：
PA=PB+DQo
图II
图12
证明：
将△ADQ绕点A按顺时针方向旋转90°，使AD与AB重合，得到△
ABM，即：
延长CB到M，使BM=DQ，连接AM。
如图12。
•••ZABM也ADQ（SAS）。
•••缶/2=/1，/M=ZAQD。
VAB//CD，aZAQD=/BAQ=Z1+/3=/4+Z3=/MAP。
•'•zM=/MAPo
•••PA=PM=PB+BM=PB+DQ（因BM=DQ）
【课堂练习】
1、如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：
BF=FC
2、如图，在AABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点
E，连接CD和CE.F为CD中点求证：
CD=2CE
3、如图，AABC中，/C=2ZB,Z1=/2。
求证:
AB=AC+CD.
4、已知：
AB=CD,ZA=ZD，求证：
ZB=ZC
5、已知：
如图，CD丄AB于点D,BE丄AC于点E,BE、CD交于点O，且
AO平分ZBAC.求证：
OB=OC.
6、如图，已知C为线段AB上的一点，ACM和CBN都是等边三角形,
AN和CM相交于F点，BM和CN交于E点。
求证：
CEF是等边三角形
7、如图所示，已知AE丄AB,AF丄AC,AE=AB,AF=AC。
求证：
（1）
B
C
8、如图10,四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交
于点M,CG与AD相交于点N.
求证：
AECG；
9、如图，在等腰Rt△ABC中，/C=90°,D是斜边上AB上任一点，AE丄CD
于E，BF丄CD交CD的延长线于F,CH丄AB于H点，交AE于G.
求证：
BD=CG.
10、已知：
如图，在梯形ABCD中，AD//BC,BC=DC，CF平分/BCD，DF
//AB,BF的延长线交DC于点E。
求证：
（1）^BFC^IDFC;
（2）AD=DE
E
11、已知：
BC=DE，/B=ZE,ZC=ZD,F是CD中点,
求证：
Z1=Z2
12、已知：
AC平分/BAD,CE丄AB,ZB+/D=180
求证：
AE=AD+BE
D是中点，试比较
13、如图，AABC中，E、F分别在AB、AC上,DE丄DF,
BE+CF与EF的大小.
补充：
常见辅助线的作法有以下几种：
1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．
2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．
3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．
4）过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”
5）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．
特殊方法：
在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．
1、如图,AC//BD,EA,EB分别平分/CAB,/DBA,CD过点E,求证;AB=AC+BD
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