k
7=-
X
y
i
J
O
r
増減性
在毎一象限内■y随
X増大而减小
在毎1象限内Jy随
X増犬帀増大
反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（K≠0）0
2、性质：
1•当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随X的增大而减小；当k<0时，图
象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随X的增大而增大。
2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
定义域为X≠0;值域为y≠0o
3.因为在y=k∕x（k≠0）中，X不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与X轴相交，也不可能与y轴相交。
4.在一个反比例函数图象上任取两点P，Q,过点P，Q分别作X轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1=S2=∣K∣
5.反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=xy=-x（即第一
三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。
6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n∕x交于A、B两点（m、n同号），那么AB两点关于原点对称。
7.设在平面内有反比例函数y=k∕x和一次函数y=mx+n,要使它们有公共交点，则n^2+4k∙m≥（不小于）0o
8.反比例函数y=k/x的渐近线：
X轴与y轴。
9.反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x轴对称,并且关于原点中心对称.
10.反比例上一点m向X、y分别做垂线，交于q、W,则矩形mwqo（o为原点）的面积为Ikl
11.k值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交。
12.∣k越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。
13.反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点
一次函数
（一）函数
1、确定函数定义域的方法：
（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；
（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；
（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；
（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；
（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
（二）一次函数
1、一次函数的定义
一般地，形如y=kxF（k，b是常数，且k=0）的函数，叫做一次函数，其中X是自变量。
当b=0时，一
次函数y=kx,又叫做正比例函数。
⑴一次函数的解析式的形式是y=kχ∙b,要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式.
⑵当b=0,k=0时，y=kx仍是一次函数•
⑶当b=°,k=0时，它不是一次函数.
⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数.
2、正比例函数及性质
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
注：
正比例函数一般形式y=kx（k不为零）①k不为零②X指数为1③b取零
当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随X的增大y也增大；当k<0时，？
直线y=kx经过
、四象限，从左向右下降，即随X增大y反而减小.
（1）解析式：
y=kx（k是常数，k≠0）
⑵必过点：
（0,0）、（1,k）
⑶走向：
k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，？
图像经过二、四象限
（4）增减性：
k>0,y随X的增大而增大；k<0,y随X增大而减小
⑸倾斜度：
∣k∣越大，越接近y轴；Ikl越小，越接近X轴
3、一次函数及性
一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0）那么y叫做X的一次函数.当b=0时，y=kx+b即y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
注：
一次函数一般形式y=kx+b（k不为零）①k不为零②X指数为1③b取任意实数
K
一次函数y=kx+b的图象是经过（0,b）和（——，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作
k
由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）
（1）解析式：
y=kx+b（k、b是常数，k=0）
K
（2）必过点：
（0,b）和（-—,0）
k
（3）走向：
k>0,图象经过第一、三象限；k<0,图象经过第二、四象限
b>0,图象经过第一、二象限；b<0,图象经过第三、四象限
丿k>°二直线经过第一、二、三象限
IbAo
丿k>°u直线经过第一、三、四象限
k£0
b>0
直线经过第
、四象限
<0w直线经过第二、三、四象限
JbCO
（4）增减性：
k>0,y随X的增大而增大；k<0,y随X增大而减小.
（5）倾斜度：
∣k∣越大，图象越接近于y轴；Ikl越小，图象越接近于X轴.
（6）图像的平移：
当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；
当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.
4、一次函数y=kx+b的图象的画法.
根据几何知识：
经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的
Ol
•即横
图象时，只要先描出两点，再连成直线即可•一般情况下：
是先选取它与两坐标轴的交点：
（0,b）,∖
坐标或纵坐标为0的点•
图象从左到右下降，y随X的增大而减小
5、正比例函数与一次函数之间的关系
一次函数y=kx+b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移Ibl个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）
正比例函数
一次函数
概念
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k
叫做比例系数
一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0）那么y叫做X的一次函数.当b=0时，是y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
自变量范围
X为全体实数
图象
一条直线
必过点
（0,0）、（1,k）
（0,b）和（-—,0）
k
走向
k>0时，直线经过一、三象限；k<0时，直线经过二、四象限
k>0,b>0,直线经过第一、二、三象限k>0,bV0直线经过第一、三、四象限kv0,b>0直线经过第一、二、四象限kv0,bV0直线经过第二、三、四象限
增减性
k>0,y随X的增大而增大；（从左向右上升）k<0,y随X的增大而减小。
（从左向右下降）
倾斜度
|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近X轴
图像的平移
b>0时,将直线y=kx的图象向上平移b个单位；
b<0时,将直线y=kx的图象向下平移b个单位.
6、正比例函数和一次函数及性质
（4）两直线垂直
k1k2=-1
8、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：
（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；
（2）将X、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程;
（3）解方程得出未知系数的值；
（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式
9、一元一次方程与一次函数的关系
任何一元一次方程到可以转化为ax+b=O（a,b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：
当
某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与X轴的交点的横
坐标的值.
10、一次函数与一元一次不等式的关系
任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>O或ax+b式可以看作：
当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围.
aC
y=X的图象相同.
bb
a1C1a2C2..
y=-X-和y=2X2的图象b1bb2b2
11、一次函数与二元一次方程组
（1）以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数
（2）二元一次方程组JaI^bI^^的解可以看作是两个一次函数a2X+b2y=c2
交占
八、、■
二次函数
、二次函数概念:
1•二次函数的概念：
一般地，形如y=ax2∙bx∙C（a,b,C是常数，a"）的函数，叫做二次函数。
里需要强调：
和一元二次方程类似，二次项系数a=O,而b，C可以为零•二次函数的定义域是全体实数.
2
2.二次函数y=axbxC的结构特征：
⑴等号左边是函数，右边是关于自变量X的二次式，X的最高次数是2•
⑵a,b,C是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，C是常数项.
二、二次函数的基本形式
1一般式：
fX=ax2bxca=0
2
2顶点式：
fx=aχ∙mι亠na=0
3零点式：
fXi=ax-x1X-X2a=0
2
f（x）=ax+bx+c（a≠O）
a>0
aV0
图像
X=T
■2w
a
m
χ4
:
2a
定义域
¢-00,+□0）
对称轴
b
X-
2a
顶点坐标
'b4ac-b2I2a'4a丿
值域
‘4ac_b2丄+αθ
I4a'丿
'4ac_b2
—αθ
I'4a丿
单调区间
-OO,--b|递减
<2a丿
I
\
］递增
、、一2a丿
l-2a^°卜增
1—b,+□oI递减
I2a丿
.■:
=b2-4ac=0时，二次函数的图像和
b,0.
X轴有两个重合的交点M,-
I2aJ
2
=b-4ac0时，二次函数的图像和
■Jl.'C?
-4ac
X轴有两个交点Mi%,0,M2X2,0,
特别地，当且仅当b=O时，二次函数fX=ax2bxc^=0为偶函数.
1.二次函数基本形式：
y=ax2的性质:
a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a>0
向上
（0,0）
y轴
XAO时，y随X的增大而增大；xv0时，y随X的增大而减小；X=0时，y有最小值0.
ac0
向下
（0,0）
y轴
xa0时，y随X的增大而减小；xv0时，y随X的增大而增大；x=0时，y有最大值0.
2.y=ax2■C的性质:
上加下减。
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a》0
向上
（0,c）
y轴
xa0时，y随X的增大而增大；xv0时，y随X的增大而减小；X=0时，y有最小值C.
ac0
向下
（0,c）
y轴
xa0时，y随X的增大而减小；xv0时，y随X的增大而增大；x-0时，y有最大值C.
2
3.y=aX-h的性质:
左加右减。
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a>0
向上
（h，0）
X=h
x>h时，y随X的增大而增大；XCh时，y随X的增大而减小；X-h时，y有最小值0.
acθ
向下
（h，0）
X=h
XAh时，y随X的增大而减小；Xch时，y随X的增大而增大；x=h时，y有最大值0.
2
4.y=ax-hk的性质:
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a>0
向上
（h,k）
X=h
XAh时，y随X的增大而增大；XCh时，y随X的增大而减小；X=h时，y有最小值k.
acθ
向下
（h,k）
X=h
XAh时，y随X的增大而减小；Xch时，y随X的增大而增大；X=h时，y有最大值k.
三、二次函数图象的平移
1.平移步骤：
方法一：
⑴将抛物线解析式转化成顶点式y=a（x-hj+k,确定其顶点坐标（h,k）；
⑵保持抛物线y≡aχ2的形状不变，将其顶点平移到h,k处，具体平移方法如下：
2.平移规律
在原有函数的基础上h值正右移，负左移；k值正上移，负下移
概括成八个字“左加右减，上加下减”.
方法二：
⑴y=ax2bxC沿y轴平移：
向上（下）平移m个单位，y=ax2bxC变成
22
y=axbxCm（或y=axbxc-m）
⑵y=ax2bx■C沿轴平移：
向左（右）平移m个单位，y=ax2■bxC变成y=a（x■m）2■b（xm）c（或
2
y=a（x「m）b（x「m）C）
四、二次函数y*x_h）+k与y=aχ2+bx+c的比较
y=a%丄2.4ac-b2
2a丿4a
其中h=
b_
2a，
2
I4ac-bk=
4a
从解析式上看，y=a（x—hj+k与y=ax2+bx+c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即
五、二次函数y=ax2∙bχ∙c图象的画法
五点绘图法：
利用配方法将二次函数y=ax2∙bx∙c化为顶点式y=a（x-h）2∙k,确定其开口方向、对称轴及
顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图•一般我们选取的五点为：
顶点、与y轴的交点O,c、
以及O,c关于对称轴对称的点2h，C、与X轴的交点Xi,0，X，0（若与X轴没有交点，则取两组关于
对称轴对称的点）•
画草图时应抓住以下几点：
开口方向，对称轴，顶点，与X轴的交点，与y轴的交点•
六、二次函数y=aχ2bxC的性质
hIb4ac—b
1.当a>0时，抛物线开口向上，对称轴为^-―,顶点坐标为［-2，bL
2aV2a4aJ
2当时，y随X的增大而减小；当X∙--b时，y随X的增大而增大；当Xb时，y有最小值4ac"2a2a2a4a
2•当acO时，抛物线开口向下，对称轴为X=丄，顶点坐标为,4ac~b•当时，y随X的增
2aV2a4aJ2a
2大而增大；当X时，y随X的增大而减小；当X=时，y有最大值4ac~—•
2a2a4a
七、二次函数解析式的表示方法
1.一般式：
y=ax2bxc（a,b,C为常数，a=0）；
2
2.顶点式：
y=a（x-h）k（a,h,k为常数，a=0）；
3.两根式：
y=a（x-xι）（x-X2）（a=0,X,X2是抛物线与X轴两交点的横坐标）
注意：
任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与X轴有交点，即b2-4ac_0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示•二次函数解析式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1.二次项系数a
二次函数y=ax2bxc中，a作为二次项系数，显然a=0•
⑵当a：
：
:
0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大.
总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小.
2.一次项系数b
在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴.
⑴在a0的前提下，
当b0时，
-一：
：
：
0,即抛物线的对称轴在y轴左侧；
2a
当b=0时，
--0,即抛物线的对称轴就是y轴；
2a
当b<0时，
b0,即抛物线对称轴在y轴的右侧.
2a
⑵在a<0的前提下，结论刚好与上述相反，即
当b0时，
b0,即抛物线的对称轴在y轴右侧；
2a
当b=0时，
=0,即抛物线的对称轴就是y轴；
2a
当b：
：
：
0时，
-一-.0,即抛物线对称轴在y轴的左侧.
2a
K
ab的符号的判定：
对称轴X—在y轴左边则ab0,在y轴的右侧则ab：
：
：
O,概括的说2a
3.常数项C
⑴当c，0时，抛物线与
⑵当C=O时，抛物线与
⑶当C<0时，抛物线与
y轴交点的纵坐标为正；y轴交点的纵坐标为0;
y轴交点的纵坐标为负.
就是“左同右异”
y轴的交点在X轴上方，即抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴的交点在X轴下方，即抛物线与
总结起来，C决定了抛物线与y轴交点的位置.
总之，只要a,b,C都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.
二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法•用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：
1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3.已知抛物线与X轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.
九、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
1.
关于X轴对称
y=aX■bX关于X轴对称后，得到的解析式是
y=-ax2「bx「c；
2
y-aX-hk关于X轴对称后，得到的解析式是
2
y=-aX「h;「k；
2.
关于y轴对称
y=aX■bX关于y轴对称后，得到的解析式是
y=ax2-bxC；
2
y-aX-hk关于y轴对称后，得到的解析式是
2
y=aXhk；
3.
关于原点对称
^aXbX关于原点对称后，得到的解析式是
y-_ax2亠bx-C；
2
y=ax-h-关于原点对称后，得到的解析式是
2
y=-axh；—k；
4.
关于顶点对称（即：
抛物线绕顶点旋转180°）
^aXbx关于顶点对称后，得到的解析式是
2b.b2
y=-ax-bx
2a
2
2
y=a（x-h2十k关于顶点对称后，得到的解析式是
y_-ax-hk.
5.
关于点m,n对称
22
y=ax-hk关于点m,n对称后，得到的解析式是y=-ax∙h-2m∙2n-k
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变•求抛物线的
对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式.
十、二次函数与一元二次方程：
1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与X轴交点情况）
一兀二次方程ax2bx∙c=0是二次函数y=ax2∙bxC当函数值y=0时的特殊情况.
图象与X轴的交点个数：
1当A=b2-4ac0时，图象与X轴交于两点AXi,0,Bx?
0（X^-X2）,其中的冷，X2是一元二次方程
ax2+bx+c=0（a^0）的两根•这两点间的距离AB=x?
_科=小『ac.
2当厶=0时，图象与X轴只有一个交点；
3当.「：
：
0时，图象与X轴没有交点•
1'当a0时，图象落在X轴的上方，无论X为任何实数，都有y.0;
2'当a：
：
：
0时，图象落在X轴的下方，无论X为任何实数，都有y：
：
：
0•
2.抛物线y=aχ2bxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为（0,C）;
3.二次函数常用解题方法总结：
⑴求二次函数的图象与X轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶根据图象的位置判断二次函数y=ax2∙bχ∙c中a,b,C的符号，或由二次函数中a,b,C的符号判断图象
的位置，要数形结合；
⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与X轴的一个交点坐
标，可由对称性求出另一个交点坐标
Δ>0
抛物线与X轴有两个交点
二次三项式的值可正、可零、可负
一兀二次方程有两个不相等实根
A=0
抛物线与X轴只
有一个交点
二次三项式的值为非负
一兀二次方程有两个相等的实数根
Δ<0
抛物线与X轴无交占
八、、
二次三项式的值恒为正
一兀二次方程无实数根•
二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系
从函数观点来看，
一元二次不等式ax2bxc0a=0的解集就是二次函数fx↑-ax2bxca=0的图像上，位于X轴
上方的点的横坐标的集合;
F方的点的横坐标的集合;
元二次不等式ax2bxOa=O的解集就是二次函数
fx=ax2
bxca=O的图像上,
位于X轴
上方的点和与X轴的交点的横坐标的集合;
F方的点和与X轴的交点的横坐标的集合.
元二次方程aχ2∙bx∙c=Oa=O的解就是二次函数fX=ax2bxcO的图像上，与X轴的交点
的横坐标.
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