分段线性插值.docx
《分段线性插值.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《分段线性插值.docx(15页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
分段线性插值
《数值分析》课程设计
题目分段线性插值
学生牛彦坡陈彬冯梦雨
指导教师郭阁阳
天津工程师范学院
课程设计任务书
理学院数学0702班学生牛彦坡陈彬冯梦雨
课程设计课题:
考察分段线性插值
一、课程设计工作日自2009年6月22日至2009年6月28日
二、同组学生:
牛彦坡陈彬冯梦雨
三、课程设计任务要求(包括课题来源、类型、目的和意义、基本要求、参考资料等):
✧来源与意义:
本课题来源于教材第二章插值法,目的是从几何意义掌握分段线性插值的思想,加深对其的理解以及掌握用计算机与Matlab解决相关问题的能力。
✧基本要求:
要求自编程序;掌握编程思想,学会一门编程语言;报告要有较强的理论分析;有较强说服力的数据表或图像;对结果进行分析;给出相应结论;鼓励创新;
✧参考资料:
1.数值分析,李庆扬,王能超,易大义,2001,清华大学出版社(第四版)。
2.数值方法,关治,陆金甫,2006,清华大学出版社。
3.数值分析与实验学习指导,蔡大用,2001,清华大学出版社。
4.数值分析与实验,薛毅,2005,北京工业大学出版社。
指导教师签字:
教研室主任签字:
天津工程师范学院
课程设计评审表
理学院数学0702班学生牛彦坡陈彬冯梦雨
设计任务完成情况及指导教师评语
答辩情况
评定成绩
成绩:
指导教师签字:
日期:
教研室主任:
主任签字:
日期:
日期:
一、问题提出:
考察分段线性插值:
对
在(-5,5)上进行分段线性插值,取不同节点个数
,得到不同分段线性插值函数。
(要求:
自编程序,报告有数据表、图像、分析、结论。
)
虽然matlab里有直接分段线形插值的函数,但为了对分段插值算法有更明确的理解,编写该程序是有必要的
需要解决的问题:
1、由已知数据节点编写分段线形插值函数,从而能由所编函数得到非节点的函数值。
2、比较用不同节点数所得插值函数与真实函数的误差,从而得出节点数与插值效果的关系
二、理论基础
所谓分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来逼近f(x)。
设已知节点a=x01o
2o
3o
在每个小区间[xk,xk+1]上是线性函数。
则称
为分段线性插值函数。
模型一:
由定义可知
在每个小区间[xk,xk+1]上可表示为
=
模型二:
首先确定间隔序列k,使得:
第二个量是局部变量s,其定义为:
最后一个量是一阶均差
则插值基函数可表示为
.
三、实验内容
1、模型一:
用MATLAB分别建立m文件:
(1)原函数fd1.m
(2)分段线性插值函数fd2.m
(3)比较不同节点数所得分段线性插值函数的插值效果fd3.m
2、选取插值节点数为偶数
在MATLAB窗口中执行:
fd3n=2的数据见附录,图像如下:
n=8的图如下:
n=20的图
3、模型二:
用MATLAB分别建立m文件:
(1)分段插值函数fd22
(2)插值效果比较函数fd32(选取插值节点数为奇数)
程序代码(参见附录)
在MATLAB窗口中执行:
fd32
得下图:
上图为不同节点数插值函数图像与原函数图像,下图为误差图像
3、由上所有的图可看出,由于原函数是偶函数,等距节点所得插值函数有很强对称性,下任取节点,
编写程序fd33.m,得图
上图为不同节点数插值函数图像与原函数图像,下图为误差图像
4、比较不同节点所得插值函数与被插函数误差的平方和,程序模板为d1.m
得下图:
红星由fd32得奇数节点误差平方和,绿星加圈由fd3得偶数节点误差平方和,圈由f33得随机节点误差平方和,数据见附录
四、结果分析
1、不同插值节点数所得的分段线形插值函数,在节点处与原函数的函数值一定相同
2、所得的分段线形插值函数在原函数斜率绝对值变化大的地方,与原函数的误差比较大
3、由误差平方和e,插值节点个数越多,e有减小的趋势,最后趋于0。
单考虑奇数或偶数个节点,则随节点数增加e严格减小。
4、随机生成的节点不如等距节点使插值效果好。
五、结论
插值节点个数越多,分段线形插值函数与原函数误差平方和有减小趋势,插值效果越好。
六、参考文献
《数值分析与实验》薛毅编着北京工业大学出版社
附录
代码如下:
%fd1.m线性插值原函数
functiony=fd1(x)
y=1./(1+x.^2);
%fd2.m分段线性插值函数
functionyi=fd2(x,y,xi)
n=length(x);
m=length(y);
ifn~=m
error('X和Y向量的长度必须相同');
return;
end
fork=1:
n-1
ifabs(x(k)-x(k+1))error('数据有误');
return;
end
ifx(k)<=xi&xi<=x(k+1)%保证x(k)temp=x(k)-x(k+1);
yi=(xi-x(k+1))/temp*y(k)+(xi-x(k))/(-temp)*y(k+1)
return;
end
end
%fd3.m比较插值效果
a=-5;
b=5;
n=input('请输入分端节点数:
');
ifn<=0
error('你输入的数据有误!
!
!
');
break;
end
h=(b-a)/(n-1);%求节点
x=a:
h:
b;
y=fd1(x);
xx=a:
0.1:
b;%用分段线性插值函数求非节点函数值
yyi=fd1(xx);
m1=length(xx);
z=zeros(1,m1);
fork1=1:
m1
z(k1)=fd2(x,y,xx(k1));
end
w=z-yyi;%计算误差
subplot(2,1,1);plot(x,y,'o',xx,yyi,'-',x,y,'k:
');%插值图像
xlabel('x');
ylabel('y');
title('原函数(实线)-插值函数(虚线)');
holdon
subplot(2,1,2);plot(xx,w,'k:
');%误差的图像
xlabel('x');
ylabel('R(x)');
title('误差分析');
holdon
xx=xx';
yyi=yyi';
z=z';
w=w';
%fd22.m分段线性插值函数
functionv=fd22(x,y,u)
delta=diff(y)./diff(x);
n=length(x);
k=ones(size(u));
forj=2:
n-1
k(x(j)<=u)=j;
end
s=u-x(k);
v=y(k)+s.*delta(k);
✧%fd32.m同时画不同节点的插值函数图像和误差图像
clear
close
t=[-5:
0.01:
5];
a=['k''g''r''c''m'];
fori=1:
5
n=2*i+1;
x=linspace(-5,5,n);%把区间[-55]分为(n-1)份,算插值节点
y=fd1(x);
p=fd22(x,y,t);p=p';%计算以(x,y)为插值点的插值函数在t处的各个值
y1=fd1(t);y1=y1';
e=p-y1;%计算误差
subplot(2,1,1);plot(x,y,a(i));holdon;%画出插值函数图像及误差图像
subplot(2,1,2);plot(t,e,a(i));holdon;
end
subplot(2,1,1);
legend('n=3','n=5','n=7','n=9','n=11')
subplot(2,1,2);
legend('n=3','n=5','n=7','n=9','n=11')
subplot(2,1,1);
fplot(@fd1,[-55],'k');%画出原函数图像
holdoff
%fd33.m插值节点非等分区间获得
close
t=[-5:
0.01:
5];
a=['k''g''r''c''m'];
fori=1:
5
n=2*i+1;
x=[-5rand(1,n-2)*10-55];%得(-5,5)上的n维随机向量
x=sort(x);
y=fd1(x);
p=fd22(x,y,t);p=p';
y1=fd1(t);y1=y1';
e=p-y1;
subplot(2,1,1);plot(x,y,a(i));holdon;
subplot(2,1,2);plot(t,e,a(i));holdon;
end
subplot(2,1,1);
legend('n=3','n=5','n=7','n=9','n=11')
subplot(2,1,2);
legend('n=3','n=5','n=7','n=9','n=11')
subplot(2,1,1);
fplot(@fd1,[-55],'k');
holdoff
%fd1.m比较不同节点数误差平方和
clear
t=[-5:
0.01:
5];a=[];b=[];
fori=1:
10
n=2*i;%n=2*i+1则是奇数节点
x=linspace(-5,5,n)
y=fd1(x);
p=fd22(x,y,t);
y1=fd1(t);
e=p-y1;
e=e*e';
a=[ae];
b=[bn];
end
plot(b,a,'go')
xlabel('n节点数')
ylabel('e误差平方和')
holdon
n=2的数据:
X
Y
YI(原函数)
W
-5.0000
0.0385
0.0385
0
-4.9000
0.0400
0.0577
-0.0177
-4.8000
0.0416
0.0769
-0.0353
-4.7000
0.0433
0.0962
-0.0528
-4.6000
0.0451
0.1154
-0.0703
-4.5000
0.0471
0.1346
-0.0876
-4.4000
0.0491
0.1538
-0.1047
-4.3000
0.0513
0.1731
-0.1218
-4.2000
0.0536
0.1923
-0.1387
-4.1000
0.0561
0.2115
-0.1554
-4.0000
0.0588
0.2308
-0.1719
-3.9000
0.0617
0.2500
-0.1883
-3.8000
0.0648
0.2692
-0.2045
-3.7000
0.0681
0.2885
-0.2204
-3.6000
0.0716
0.3077
-0.2361
-3.5000
0.0755
0.3269
-0.2515
-3.4000
0.0796
0.3462
-0.2665
-3.3000
0.0841
0.3654
-0.2813
-3.2000
0.0890
0.3846
-0.2956
-3.1000
0.0943
0.4038
-0.3096
-3.0000
0.1000
0.4231
-0.3231
-2.9000
0.1063
0.4423
-0.336
-2.8000
0.1131
0.4615
-0.3484
-2.7000
0.1206
0.4808
-0.3601
-2.6000
0.1289
0.5000
-0.3711
-2.5000
0.1379
0.5192
-0.3813
-2.4000
0.1479
0.5385
-0.3905
-2.3000
0.1590
0.5577
-0.3987
-2.2000
0.1712
0.5769
-0.4057
-2.1000
0.1848
0.5962
-0.4113
-2.0000
0.2000
0.6154
-0.4154
-1.9000
0.2169
0.6346
-0.4177
-1.8000
0.2358
0.6538
-0.418
-1.7000
0.2571
0.6731
-0.416
-1.6000
0.2809
0.6923
-0.4114
-1.5000
0.3077
0.7115
-0.4038
-1.4000
0.3378
0.7308
-0.3929
-1.3000
0.3717
0.7500
-0.3783
-1.2000
0.4098
0.7692
-0.3594
-1.1000
0.4525
0.7885
-0.336
-1.0000
0.5000
0.8077
-0.3077
-0.9000
0.5525
0.8269
-0.2744
-0.8000
0.6098
0.8462
-0.2364
-0.7000
0.6711
0.8654
-0.1942
-0.6000
0.7353
0.8846
-0.1493
-0.5000
0.8000
0.9038
-0.1038
-0.4000
0.8621
0.9231
-0.061
-0.3000
0.9174
0.9423
-0.0249
-0.2000
0.9615
0.9615
0
-0.1000
0.9901
0.9808
0.0093
0
1.0000
1.0000
0
0.1000
0.9901
0.9808
0.0093
0.2000
0.9615
0.9615
0
0.3000
0.9174
0.9423
-0.0249
0.4000
0.8621
0.9231
-0.061
0.5000
0.8000
0.9038
-0.1038
0.6000
0.7353
0.8846
-0.1493
0.7000
0.6711
0.8654
-0.1942
0.8000
0.6098
0.8462
-0.2364
0.9000
0.5525
0.8269
-0.2744
1.0000
0.5000
0.8077
-0.3077
1.1000
0.4525
0.7885
-0.336
1.2000
0.4098
0.7692
-0.3594
1.3000
0.3717
0.7500
-0.3783
1.4000
0.3378
0.7308
-0.3929
1.5000
0.3077
0.7115
-0.4038
1.6000
0.2809
0.6923
-0.4114
1.7000
0.2571
0.6731
-0.416
1.8000
0.2358
0.6538
-0.418
1.9000
0.2169
0.6346
-0.4177
2.0000
0.2000
0.6154
-0.4154
2.1000
0.1848
0.5962
-0.4113
2.2000
0.1712
0.5769
-0.4057
2.3000
0.1590
0.5577
-0.3987
2.4000
0.1479
0.5385
-0.3905
2.5000
0.1379
0.5192
-0.3813
2.6000
0.1289
0.5000
-0.3711
2.7000
0.1206
0.4808
-0.3601
2.8000
0.1131
0.4615
-0.3484
2.9000
0.1063
0.4423
-0.336
3.0000
0.1000
0.4231
-0.3231
3.1000
0.0943
0.4038
-0.3096
3.2000
0.0890
0.3846
-0.2956
3.3000
0.0841
0.3654
-0.2813
3.4000
0.0796
0.3462
-0.2665
3.5000
0.0755
0.3269
-0.2515
3.6000
0.0716
0.3077
-0.2361
3.7000
0.0681
0.2885
-0.2204
3.8000
0.0648
0.2692
-0.2045
3.9000
0.0617
0.2500
-0.1883
4.0000
0.0588
0.2308
-0.1719
4.1000
0.0561
0.2115
-0.1554
4.2000
0.0536
0.1923
-0.1387
4.3000
0.0513
0.1731
-0.1218
4.4000
0.0491
0.1538
-0.1047
4.5000
0.0471
0.1346
-0.0876
4.6000
0.0451
0.1154
-0.0703
4.7000
0.0433
0.0962
-0.0528
4.8000
0.0416
0.0769
-0.0353
4.9000
0.0400
0.0577
-0.0177
5.0000
0.0385
0.0385
0
n
2
3
4
5
6
7
误差平方和
136.9209
79.1689
63.334
6.9775
23.7384
0.8329
n
8
9
10
11
12
13
14
误差平方和
9.0015
0.5726
3.6152
0.572
1.5676
0.4648
0.7472
n
15
16
17
18
19
20
21
误差平方和
0.3366
0.3945
0.2327
0.2291
0.1593
0.1438
0.1101