全等三角形经典模型一.docx
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全等三角形经典模型一
全等三角形的经典模型
(一)
作弊?
三角形7级
倍长中线与截长补短o
三角形9级
全等三角形的经典模型
(二)
三角形8级
全等三角形的经典模型
(一)
漫画释义
满分晋级
M屮
秋季班第二讲
秋季班第三讲
秋季班第四讲
目兰卜宙供:
卒埠三曲羽
三垂直模型
等腰直角三角形数学模型思路:
⑴利用特殊边特殊角证题(AC=B(或90°45,45)•如图1;
⑵常见辅助线为作高,禾U用三线合一的性质解决问题•如图2;
⑴写出点0到厶ABC的三个顶点A、BC的距离的关系(不要求证明)
⑵如果点MN分别在线段ACAB上移动,且在移动中保持AN=CM试判断△OM的形状,并证明你的结论.
⑶如果点MN分别在线段CAAB的延长线上移动,且在移动中保持AN=CM试判断⑵中结论是否依然成立,如果是请给出证明.
⑵连接OA
•/OA=OCBAOC45°AN=CM
•••△ANO^CMO
•••ON=OM
•NOAMOC
•NOABONMOCBON90
•NOM90
•••△OMNI等腰直角三角形
⑶△ONM依然为等腰直角三角形,
证明:
•••/BAC90°,ABACO为BC中点
•••/BAO/OACZAB(=ZACB45°,
•AO=BO=OC
•••在△ANO^ACMOP,
ANCM
BAOC
AOCO
•△ANO^CMQSAS
•••ON=OM/AON/COM
又•••/COM/AOM90°,•••△OM为等腰直角三角形.
【例2】两个全等的含30°,60°角的三角板ADE和三角板ABC,女口图所示放置,E,A,C三点在一条直线上,连接BD,取BD的中点M,连接ME,MC•试判断△EMC的形状,并说明理由.
【解析】△EMC是等腰直角三角形.
证明:
连接AM•由题意,得
DEAC,DAEBAC90°,DAB90°
••-△DAB为等腰直角三角形•
•••DMMB,
•MAMBDM,MDAMAB45°•
•MDEMAC105°,
•△EDM◎△CAM•
•EMMC,DMEAMC•
又EMCEMAAMCEMADME90°•
•CMEM,
•△EMC是等腰直角三角形.
【例3】已知:
如图,△ABC中,ABAC,BAC点,AFBD于E,交BC于F,连接DF•求证:
ADBCDF•
12
ABAC
3C
二△ABM◎△CAF•二AMCF•在△ADM和△CDF中,
ADCD
DAMC
AMCF
•••△ADM◎△CDF•
•••ADBCDF•证法二:
如图,作CMAC交AF的延长线于M•
•••AFBD,•3290°,
BAC90°,
•1290°,
•13•
在△ACM和△BAD中,
13
ACAB
ACMBAD90°
•△ACM◎△BAD•
•MADB,ADCM
•••ADDC,•CMCD•
在△CMF和△CDF中,
CFCF
MCFDCF45°
CMCD
•△CMF◎△CDF••MCDF
•ADBCDF•
如图,等腰直角△ABC
PBPC,APAC,
中,ACBC,ACB
求证:
BCP15
A
D
IT
【解析】补全正方形ACBD,连接DP
易证△ADP是等边三角形,DAP60,BAD45,
BAP15,PAC30,•••ACP75,
BCP15.
【探究对象】等腰直角三角形添补成正方形的几种常见题型
在解有关等腰直角三角形中的一些问题,若遇到不易解决或解法比较复杂时,可将等腰
直角三角形引辅助线转化成正方形,再利用正方形的一些性质来解,常常可以起到化难为易
的效果,从而顺利地求解。
例4为求角度的应用,其他应用探究如下:
【探究一】证角等
【备选1】如图,Rt△ABC中,/BA(=90°,AB=ACM为AC中点,连结BM作ADLBM交
BC于点D,连结DM求证:
/AMBZCMD
•/ANLBM由正方形的性质,可得AN=BM
易证Rt△ABMBRt△CAN•••/AMBZCNDCN=AM
•/M为AC中点,•CM=CN
•••Z仁Z2,可证得△CM^^CND
•ZCNDZCMD
•ZAMBZCMD
【探究二】判定三角形形状
【备选2】如图,Rt△ABC中,/BA(=90°,AB=AQAt=CEANILBD于点M延长BD交NE的延长线于点F,试判定△DEF的形状.
【解析】作等腰Rt△ABC关于BC对称的等腰Rt△BHC
可知四边形ABHC为正方形,延长AN交HC于点K•••AK!
BD可知Ak=BD易证:
Rt△AB厚Rt△CAK
•••/AD^ZCKNCKAD•/AD=EC•CK=CE
易证△CKN^CEN•••/CKNZCEN
易证ZEDFZDEFDEF为等腰三角形.
【探究三】利用等积变形求面积
【备选3】如图,Rt△ABC中,ZA=90°,AB^ACD为BC上一点,DE/AC,DF//AB且BE=4,CF=3,求S矩形DFAE.
【解析】作等腰Rt△ABC关于BC的对称的等腰Rt△GCB
可知四边形ABG(为正方形,分别延长FDED交BGCG于点NM
可知DN=EB=4,DMFC=3,
由正方形对称性质,
可知S矩形DFAE=S矩形DMG=DMDN=34=12.
【探究四】求线段长
【备选4】如图,△ABC中,ADLBC于点D,ZBA(=45°,BD=3,C!
=2,求AD的长.
【分析】此题若用面积公式结合勾股定理再列方程组求解是可以的,但解法太繁琐,本题尽
管已知条件不是等腰直角三角形,但•••/BAC45°,若分别以ABAC为对称轴作
Rt△ADB的对称直角三角形和Rt△ADC的对称直角三角形,这样就出现两边相等且夹角为90°的图形,满足等腰直角三角形的条件,然后再引辅助线使之转化为正方形.
【解析】以AB为轴作Rt△ADB勺对称的Rt△AEB再以AC为轴作Rt△ADC勺对称的Rt△AFC
可知BE=BD=3,FC=CD=2,
延长EBFC交点G•••/BAC=45°,
由对称性,可得/EAF=90°,且AE=AD=AF,
易证四边形AFGE为正方形,且边长等于AD
设AD=x,则BG=x—3,CG=x—2,
22o
在Rt△BCG^,由勾股定理,得x2x352,
解得x=6,即AD=6.
【探究五】求最小值
【备选5】如图,Rt△ABC中,/ACE=90°,AC=BC=4,M为AC的中点,P为斜边AB上的动点,求PM+PC的最小值.
【解析】将原图形通过引辅助线化归为正方形,即作Rt△ACB关于AB对称的Rt△ADB可
知四边形ACB助正方形,连接CD可知点C关于AB的对称点D,连接MD交AB
于点P,连接CP则PM+PC的值为最小,最小值为:
PMPGDMJ42222翻.
已知ABLBDEDLBDAE=CDBODE⑴求证:
ACLCE
⑵若将△CDB&CB方向平移得到①②③④等不同情形,ABGD,
其余条件不变,试判断ACLCE这一结论是否成立?
若成立,给予证明;若不成立,请说明理由•
①
②
【解析】⑴..AB1BDEDLBD
•-BD90
在厶ABC与△CDE中
ABCD
BD
BCDE
•••△ABCCDE(SAS
•••1E
•/2E90
•ACE90,即ACLCE
⑵图①②③④四种情形中,结论永远成立,证明方法与⑴完全类似,只要证明
△ABC◎△CDE
•-ACBCED
•••CiEDDCiE90•DCiEACB90
••ACLCE
【解析】
过点C作CG_x轴于G,过B作BE丄y轴于E,并反向延长交CG于F
点A、B的坐标分别为0,10,8,4
•••BE=8,AE=6,•••AB=10
•••四边形ABC[是正方形,•AB=BC
•••13902390
•••12
•/AEBBFC90
•△AEB^ABFC
••CF=BE=8,BF=AE=6
•CG=12EF=14
•C(14,12),正方形的边长为10
【点评】此题中三垂直模型:
如图所示,在直角梯形ABCD中,
ABBC,E是AB的中点,CE⑴求证:
BEAD;
⑵求证:
AC是线段ED的垂直平分线;⑶△DBC是等腰三角形吗?
请说明理由.
【解析】⑴IABC90,BDEC,
ECBDBC90,ABDDBC90,/•ECBABD,
•/ABCDAB90,ABBC,
•••△BAD也厶CBE,•••ADBE.
⑵TE是AB中点,•-EBEA
由⑴得:
ADBE,•AEAD
•••AD//BC,•CADACB45,
BAC45,•BACDAC
由等腰三角形的性质,得:
EMMD,AMDE
即AC是线段ED的垂直平分线.
⑶△DBC是等腰三角形,CDBD
由⑵得:
CDCE,由⑴得:
CEBD
•CDBD,•△DBC是等腰三角形.
【例7】⑴如图1,△ABC是等边三角形,DE分别是ABBC上的点,且BD=CE连接AE、
CD相交于点P.请你补全图形,并直接写出/APD勺度数=;
⑵如图2,Rt△ABC中,/B=90°,MN分别是ABBC上的点,且AMBCBMCN
连接ANCM相交于点P.请你猜想/APM°,并写出你的推理过程.
(2013平谷一模)
【解析】⑴图略,60°
C
N
M
证明:
作AE丄AB且AECNBM.
可证△EAM=△MBC
•••MEMC,AMEBCM.
90.
CMBMCB90,•CMBAME
EMC90.
•△EMC是等腰直角三角形,MCE45.
又乂AECs'CAN(SAS
ECANAC.
•EC//AN.
APMECM45.
训练1.已知:
如图,△abc中,AGBC
1
线于E,并且AEqBD,求证:
ACB90,D是AC上—点,AE^BD的延长
BD平分ABC.
【解析】延长AE交BC的延长线于F
•/BE丄AF,ACB90
FACDBC
•••在厶AFC^MBDC中,
FACDBC
ACBC
ACFBCD
AF学△BDC(ASA
•AF=BD
1又TAEBD
2
1•AE-AFEF
2
••BE是AF的中垂线•••BA=BF
••BD平分ABC
-在厶DOFffiACOE中
DOFCOE
ODOC
ODFOCE
•••△DOF^COE(ASA
•••OE=OF
DBEDAF
•在厶BDHFMADF中,
DBHDAF
BDAD
ADBADF
BDH^AADF(ASA)
•DH=DF
训练4.如图,已知矩形ABCDKE是AD上的一点,F是AB上的一点,EF丄EC,且EF=EC,DE=4cm,矩形ABCD勺周长为32cm,求AE的长.
【解析】在Rt△AEF和Rt△DEC中,•/EF±CEFE(=90°,
•/AEF+ZDEC90。
,而/ECDZDE(=90°,
•/AEf=ZECD
又/FAE=/EDC90°.EF=EC
•Rt△AE陛Rt△DCE
•••AE=CD
•••ADAEM.
•••矩形ABC啲周长为32cm,
•2(AE+AB-4)=32.
解得AE=6cm.
【解析】•/ACB90°BF//AC,
二ACDCBF90°,ADCCAD90°.
••CEAD,
•••FCBADC90°,
二CADFCB•
又•ACCB,
ADC◎△CFB.
•••DCFB.
•••D是BC的中点,
•••BC2BF,即AC2BF.
题型二三垂直模型巩固练习
【练习3】已知:
如图,四边形ABCD是矩形(AD>AB),点E在BC上,且AE=ADDF丄
AE,垂足为F.请探求DF与AB有何数量关系?
写出你所得到的结论并给予证
明.
证明如下:
•••四边形ABCD是矩形,•••/B=90°,AD//BC
•••/DAF=/AEB
•/DF丄AE•/AFD=90°,
•/AE=AD,
•△ABE◎△DFA.
•AB=DF
【练习4】如图,△ABC中,ACBC,BCA90°D是AB上任意一点,
AECD交CD延长线于E,BFCD于F.求证:
EFBFAE.
【解析】根据条件,ACE、CBF都与BCF互余,
•ACECBF.
在△ACE和ACBF中,
ACCB,AECCFB90°,
•△ACE◎△CBF.
则CEBF,AECF,
•EFCECFBFAE.
【练习5】四边形ABCD是正方形.
⑴如图1,点G是BC边上任意一点(不与BC两点重合),连接AG作BFLAG于
点F,DELAG于点E.求证:
△ABF◎△DAE
⑵在⑴中,线段EF与AF、BF的等量关系是(直接写出结论即可,
不需要证明);
⑶如图2,点G是CD边上任意一点(不与CD两点重合),连接AG作BFLAG于点F,DELAG于点E.那么图中全等三角形是,线段EF与AFBF
的等量关系是(直接写出结论即可,不需要证明).
D
C
D
G
C
•••BAFDAE90°
QBAFABF90
•ABFDAE
在△ABF和△DAE中
ABFDAE,
AFBDEA,
ABDA,•△ABF◎△DAE(AAS
⑵EFAFBF
⑶厶ABF^ADAE
EFBFAF
课后测
测试1.
问题:
已知△ABC中,BAC2ACB,点D是厶ABC内的一点,BDBA.探究DBC与ABC度数的比值.
请你完成下列探究过程:
先将图形特殊化,得出猜想,再对一般情况进行分析并加以证明.当BAC90时,依问题中的条件补全右图.
观察图形,AB与AC的数量关系为;
DAC15时,可进一步推出DBC的度数为
DBC与ABC度数的比值为.
且ADCD,
【解析】
测试2.
【解析】
当推出
可得到
相等;
15°;1:
3
ACB90,CDAB于点D,点
(2010北京中考)
已知:
如图,在△ABC中,
过E点作AC的垂线,交CD的延长线于点F.求证:
AB=FC
E在AC上,CE=BC
•/FE
AC于点E,ACB90°
FEC
ACB90°.
ECF90°.
AB于点D,
ECF90°.
在厶ABC和厶FCE中,
AF,
ACBFEC,
BCCE,
A
Q
•••△ABC◎△FCE.
•••ABFC.
测试3.如图,Rt△ABC中,/C=90°,AC10cm,BC5cm,一条线段PQABP,Q两点分别在ACh和过A点且垂直于AC的射线AM上运动.当厶ABC^AAPQ全等时,点Q到点A的距离为.
5cm或10cm.