全等三角形经典模型一.docx
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全等三角形经典模型一
全等三角形的经典模型
（一）
作弊?
三角形7级
倍长中线与截长补短o
三角形9级
全等三角形的经典模型
（二）
三角形8级
全等三角形的经典模型
（一）
漫画释义
满分晋级
M屮
秋季班第二讲
秋季班第三讲
秋季班第四讲
目兰卜宙供:
卒埠三曲羽
三垂直模型
等腰直角三角形数学模型思路：
⑴利用特殊边特殊角证题（AC=B（或90°45,45）•如图1;
⑵常见辅助线为作高，禾U用三线合一的性质解决问题•如图2；
⑴写出点0到厶ABC的三个顶点A、BC的距离的关系（不要求证明）
⑵如果点MN分别在线段ACAB上移动，且在移动中保持AN=CM试判断△OM的形状，并证明你的结论.
⑶如果点MN分别在线段CAAB的延长线上移动，且在移动中保持AN=CM试判断⑵中结论是否依然成立，如果是请给出证明.
⑵连接OA
•/OA=OCBAOC45°AN=CM
•••△ANO^CMO
•••ON=OM
•NOAMOC
•NOABONMOCBON90
•NOM90
•••△OMNI等腰直角三角形
⑶△ONM依然为等腰直角三角形,
证明：
•••/BAC90°,ABACO为BC中点
•••/BAO/OACZAB（=ZACB45°,
•AO=BO=OC
•••在△ANO^ACMOP,
ANCM
BAOC
AOCO
•△ANO^CMQSAS
•••ON=OM/AON/COM
又•••/COM/AOM90°,•••△OM为等腰直角三角形.
【例2】两个全等的含30°,60°角的三角板ADE和三角板ABC，女口图所示放置，E,A,C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M,连接ME，MC•试判断△EMC的形状，并说明理由.
【解析】△EMC是等腰直角三角形.
证明：
连接AM•由题意，得
DEAC,DAEBAC90°,DAB90°
••-△DAB为等腰直角三角形•
•••DMMB,
•MAMBDM,MDAMAB45°•
•MDEMAC105°,
•△EDM◎△CAM•
•EMMC,DMEAMC•
又EMCEMAAMCEMADME90°•
•CMEM,
•△EMC是等腰直角三角形.
【例3】已知：
如图，△ABC中，ABAC,BAC点，AFBD于E，交BC于F，连接DF•求证：
ADBCDF•
12
ABAC
3C
二△ABM◎△CAF•二AMCF•在△ADM和△CDF中,
ADCD
DAMC
AMCF
•••△ADM◎△CDF•
•••ADBCDF•证法二：
如图，作CMAC交AF的延长线于M•
•••AFBD,•3290°,
BAC90°,
•1290°,
•13•
在△ACM和△BAD中，
13
ACAB
ACMBAD90°
•△ACM◎△BAD•
•MADB,ADCM
•••ADDC,•CMCD•
在△CMF和△CDF中，
CFCF
MCFDCF45°
CMCD
•△CMF◎△CDF••MCDF
•ADBCDF•
如图，等腰直角△ABC
PBPC,APAC,
中，ACBC,ACB
求证：
BCP15
A
D
IT
【解析】补全正方形ACBD，连接DP
易证△ADP是等边三角形，DAP60,BAD45,
BAP15,PAC30,•••ACP75,
BCP15.
【探究对象】等腰直角三角形添补成正方形的几种常见题型
在解有关等腰直角三角形中的一些问题，若遇到不易解决或解法比较复杂时，可将等腰
直角三角形引辅助线转化成正方形，再利用正方形的一些性质来解，常常可以起到化难为易
的效果，从而顺利地求解。
例4为求角度的应用，其他应用探究如下：
【探究一】证角等
【备选1】如图，Rt△ABC中，/BA（=90°,AB=ACM为AC中点，连结BM作ADLBM交
BC于点D,连结DM求证：
/AMBZCMD
•/ANLBM由正方形的性质，可得AN=BM
易证Rt△ABMBRt△CAN•••/AMBZCNDCN=AM
•/M为AC中点，•CM=CN
•••Z仁Z2,可证得△CM^^CND
•ZCNDZCMD
•ZAMBZCMD
【探究二】判定三角形形状
【备选2】如图，Rt△ABC中，/BA（=90°,AB=AQAt=CEANILBD于点M延长BD交NE的延长线于点F,试判定△DEF的形状.
【解析】作等腰Rt△ABC关于BC对称的等腰Rt△BHC
可知四边形ABHC为正方形，延长AN交HC于点K•••AK!
BD可知Ak=BD易证：
Rt△AB厚Rt△CAK
•••/AD^ZCKNCKAD•/AD=EC•CK=CE
易证△CKN^CEN•••/CKNZCEN
易证ZEDFZDEFDEF为等腰三角形.
【探究三】利用等积变形求面积
【备选3】如图，Rt△ABC中,ZA=90°,AB^ACD为BC上一点，DE/AC,DF//AB且BE=4,CF=3,求S矩形DFAE.
【解析】作等腰Rt△ABC关于BC的对称的等腰Rt△GCB
可知四边形ABG（为正方形，分别延长FDED交BGCG于点NM
可知DN=EB=4,DMFC=3,
由正方形对称性质，
可知S矩形DFAE=S矩形DMG=DMDN=34=12.
【探究四】求线段长
【备选4】如图，△ABC中,ADLBC于点D,ZBA（=45°,BD=3,C!
=2,求AD的长.
【分析】此题若用面积公式结合勾股定理再列方程组求解是可以的，但解法太繁琐，本题尽
管已知条件不是等腰直角三角形，但•••/BAC45°，若分别以ABAC为对称轴作
Rt△ADB的对称直角三角形和Rt△ADC的对称直角三角形，这样就出现两边相等且夹角为90°的图形，满足等腰直角三角形的条件，然后再引辅助线使之转化为正方形.
【解析】以AB为轴作Rt△ADB勺对称的Rt△AEB再以AC为轴作Rt△ADC勺对称的Rt△AFC
可知BE=BD=3,FC=CD=2,
延长EBFC交点G•••/BAC=45°,
由对称性，可得/EAF=90°，且AE=AD=AF,
易证四边形AFGE为正方形，且边长等于AD
设AD=x，则BG=x—3,CG=x—2,
22o
在Rt△BCG^，由勾股定理，得x2x352,
解得x=6,即AD=6.
【探究五】求最小值
【备选5】如图，Rt△ABC中，/ACE=90°,AC=BC=4,M为AC的中点，P为斜边AB上的动点，求PM+PC的最小值.
【解析】将原图形通过引辅助线化归为正方形，即作Rt△ACB关于AB对称的Rt△ADB可
知四边形ACB助正方形，连接CD可知点C关于AB的对称点D,连接MD交AB
于点P,连接CP则PM+PC的值为最小，最小值为：
PMPGDMJ42222翻.
已知ABLBDEDLBDAE=CDBODE⑴求证：
ACLCE
⑵若将△CDB&CB方向平移得到①②③④等不同情形，ABGD,
其余条件不变，试判断ACLCE这一结论是否成立？
若成立，给予证明；若不成立，请说明理由•
①
②
【解析】⑴..AB1BDEDLBD
•-BD90
在厶ABC与△CDE中
ABCD
BD
BCDE
•••△ABCCDE（SAS
•••1E
•/2E90
•ACE90,即ACLCE
⑵图①②③④四种情形中，结论永远成立，证明方法与⑴完全类似，只要证明
△ABC◎△CDE
•-ACBCED
•••CiEDDCiE90•DCiEACB90
••ACLCE
【解析】
过点C作CG_x轴于G,过B作BE丄y轴于E,并反向延长交CG于F
点A、B的坐标分别为0,10,8,4
•••BE=8,AE=6,•••AB=10
•••四边形ABC［是正方形，•AB=BC
•••13902390
•••12
•/AEBBFC90
•△AEB^ABFC
••CF=BE=8,BF=AE=6
•CG=12EF=14
•C（14,12），正方形的边长为10
【点评】此题中三垂直模型:
如图所示，在直角梯形ABCD中，
ABBC,E是AB的中点，CE⑴求证：
BEAD;
⑵求证：
AC是线段ED的垂直平分线;⑶△DBC是等腰三角形吗？
请说明理由.
【解析】⑴IABC90,BDEC,
ECBDBC90,ABDDBC90,/•ECBABD,
•/ABCDAB90,ABBC,
•••△BAD也厶CBE,•••ADBE.
⑵TE是AB中点，•-EBEA
由⑴得：
ADBE,•AEAD
•••AD//BC,•CADACB45,
BAC45,•BACDAC
由等腰三角形的性质，得：
EMMD,AMDE
即AC是线段ED的垂直平分线.
⑶△DBC是等腰三角形，CDBD
由⑵得：
CDCE，由⑴得：
CEBD
•CDBD,•△DBC是等腰三角形.
【例7】⑴如图1,△ABC是等边三角形，DE分别是ABBC上的点，且BD=CE连接AE、
CD相交于点P.请你补全图形，并直接写出/APD勺度数=;
⑵如图2,Rt△ABC中,/B=90°,MN分别是ABBC上的点，且AMBCBMCN
连接ANCM相交于点P.请你猜想/APM°，并写出你的推理过程.
（2013平谷一模）
【解析】⑴图略，60°
C
N
M
证明：
作AE丄AB且AECNBM.
可证△EAM=△MBC
•••MEMC,AMEBCM.
90.
CMBMCB90,•CMBAME
EMC90.
•△EMC是等腰直角三角形，MCE45.
又乂AECs'CAN（SAS
ECANAC.
•EC//AN.
APMECM45.
训练1.已知：
如图，△abc中，AGBC
1
线于E,并且AEqBD，求证：
ACB90，D是AC上—点，AE^BD的延长
BD平分ABC.
【解析】延长AE交BC的延长线于F
•/BE丄AF,ACB90
FACDBC
•••在厶AFC^MBDC中,
FACDBC
ACBC
ACFBCD
AF学△BDC（ASA
•AF=BD
1又TAEBD
2
1•AE-AFEF
2
••BE是AF的中垂线•••BA=BF
••BD平分ABC
-在厶DOFffiACOE中
DOFCOE
ODOC
ODFOCE
•••△DOF^COE（ASA
•••OE=OF
DBEDAF
•在厶BDHFMADF中,
DBHDAF
BDAD
ADBADF
BDH^AADF（ASA）
•DH=DF
训练4.如图，已知矩形ABCDKE是AD上的一点，F是AB上的一点，EF丄EC,且EF=EC,DE=4cm,矩形ABCD勺周长为32cm,求AE的长.
【解析】在Rt△AEF和Rt△DEC中,•/EF±CEFE（=90°,
•/AEF+ZDEC90。
，而/ECDZDE（=90°,
•/AEf=ZECD
又/FAE=/EDC90°.EF=EC
•Rt△AE陛Rt△DCE
•••AE=CD
•••ADAEM.
•••矩形ABC啲周长为32cm,
•2（AE+AB-4）=32.
解得AE=6cm.
【解析】•/ACB90°BF//AC,
二ACDCBF90°,ADCCAD90°.
••CEAD,
•••FCBADC90°,
二CADFCB•
又•ACCB,
ADC◎△CFB.
•••DCFB.
•••D是BC的中点,
•••BC2BF,即AC2BF.
题型二三垂直模型巩固练习
【练习3】已知：
如图，四边形ABCD是矩形（AD>AB）,点E在BC上，且AE=ADDF丄
AE,垂足为F.请探求DF与AB有何数量关系？
写出你所得到的结论并给予证
明.
证明如下:
•••四边形ABCD是矩形,•••/B=90°,AD//BC
•••/DAF=/AEB
•/DF丄AE•/AFD=90°,
•/AE=AD,
•△ABE◎△DFA.
•AB=DF
【练习4】如图，△ABC中，ACBC,BCA90°D是AB上任意一点,
AECD交CD延长线于E，BFCD于F.求证：
EFBFAE.
【解析】根据条件，ACE、CBF都与BCF互余，
•ACECBF.
在△ACE和ACBF中，
ACCB,AECCFB90°,
•△ACE◎△CBF.
则CEBF,AECF,
•EFCECFBFAE.
【练习5】四边形ABCD是正方形.
⑴如图1,点G是BC边上任意一点（不与BC两点重合），连接AG作BFLAG于
点F,DELAG于点E.求证：
△ABF◎△DAE
⑵在⑴中，线段EF与AF、BF的等量关系是（直接写出结论即可，
不需要证明）；
⑶如图2,点G是CD边上任意一点（不与CD两点重合），连接AG作BFLAG于点F,DELAG于点E.那么图中全等三角形是，线段EF与AFBF
的等量关系是（直接写出结论即可，不需要证明）.
D
C
D
G
C
•••BAFDAE90°
QBAFABF90
•ABFDAE
在△ABF和△DAE中
ABFDAE,
AFBDEA,
ABDA,•△ABF◎△DAE（AAS
⑵EFAFBF
⑶厶ABF^ADAE
EFBFAF
课后测
测试1.
问题：
已知△ABC中，BAC2ACB，点D是厶ABC内的一点,BDBA.探究DBC与ABC度数的比值.
请你完成下列探究过程：
先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.当BAC90时，依问题中的条件补全右图.
观察图形，AB与AC的数量关系为;
DAC15时，可进一步推出DBC的度数为
DBC与ABC度数的比值为.
且ADCD,
【解析】
测试2.
【解析】
当推出
可得到
相等；
15°;1:
3
ACB90,CDAB于点D,点
（2010北京中考）
已知：
如图，在△ABC中,
过E点作AC的垂线，交CD的延长线于点F.求证：
AB=FC
E在AC上,CE=BC
•/FE
AC于点E,ACB90°
FEC
ACB90°.
ECF90°.
AB于点D,
ECF90°.
在厶ABC和厶FCE中,
AF,
ACBFEC,
BCCE,
A
Q
•••△ABC◎△FCE.
•••ABFC.
测试3.如图，Rt△ABC中，/C=90°,AC10cm,BC5cm，一条线段PQABP,Q两点分别在ACh和过A点且垂直于AC的射线AM上运动.当厶ABC^AAPQ全等时,点Q到点A的距离为.
5cm或10cm.
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