完整版勾股定理经典例题含答案.docx

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完整版勾股定理经典例题含答案

 

经典例题透析

种类一:

勾股定理的直接用法

1、在Rt△ABC中,∠C=90°

(1)已知a=6,c=10,求b,

(2)已知a=40,b=9,求c;(3)已知c=25,b=15,求a.

思路点拨:

写解的过程中,必定要先写上在哪个直角三角形中,注意勾股定理的变形使用。

分析:

(1)在△ABC中,∠C=90°,a=6,c=10,b=

(2)在△ABC中,∠C=90°,a=40,b=9,c=

(3)在△ABC中,∠C=90°,c=25,b=15,a=

 

贯通融会

【变式】:

如图∠B=∠ACD=90°,AD=13,CD=12,BC=3,则AB的长是多少?

【答案】∵∠ACD=90°

AD=13,CD=12

∴AC2=AD2-CD2=132-122=25

∴AC=5

又∵∠ABC=90°且BC=3

∴由勾股定理可得

AB2=AC2-BC2

=52-32

=16

∴AB=4

∴AB的长是4.

 

种类二:

勾股定理的结构应用

2、如图,已知:

在中,,,.求:

BC的长.

 

思路点拨:

由条件,想到结构含角的直角三角形,为此作于D,则有

 

,,再由勾股定理计算出AD、DC的长,从而求出BC的

长.

分析:

作于D,则因,

∴(的两个锐角互余)

 

∴(在中,假如一个锐角等于,

那么它所对的直角边等于斜边的一半).

依据勾股定理,在中,

.

依据勾股定理,在中,

1

 

.

∴.

 

贯通融会【变式1】如图,已知:

,,于P.求证:

.

 

分析:

连结BM,依据勾股定理,在中,

.

而在中,则依据勾股定理有

.

又∵(已知),

∴.

在中,依据勾股定理有

∴.

 

【变式2】已知:

如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2。

求:

四边形ABCD的面积。

 

剖析:

怎样结构直角三角形是解本题的重点,能够连结AC,或延伸AB、DC交于F,或延伸AD、BC交于点E,依据本题给定的角应选后两种,进一步依据本题给定的边选第三种较为简单。

分析:

延伸AD、BC交于E。

∵∠A=∠60°,∠B=90°,∴∠E=30°。

∴AE=2AB=8,CE=2CD=4,

∴BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE==。

∵DE2=CE2-CD2=42-22=12,∴DE==。

 

∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB·BE-CD·DE=

 

种类三:

勾股定理的实质应用

(一)

用勾股定理求两点之间的距离问题3、如

图所示,在一次夏令营活动中,小明从阵营A点出发,沿北偏东60°方向走了

 

抵达B点,而后再沿北偏西30°方向走了500m抵达目的地C点。

(1)

 

2

 

求A、C两点之间的距离。

(2)确立目的地C在阵营A的什么方向。

分析:

(1)过B点作BE//AD

∴∠DAB=∠ABE=60°

∵30°+∠CBA+∠ABE=180°∴∠CBA=90°

即△ABC为直角三角形

 

由已知可得:

BC=500m,AB=

 

由勾股定理可得:

 

所以

(2)在Rt△ABC中,

∵BC=500m,AC=1000m

∴∠CAB=30°

∵∠DAB=60°

∴∠DAC=30°

即点C在点A的北偏东30°的方向

贯通融会

【变式】一辆装满货物的卡车,其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如图的某工厂,问这辆卡车可否经过该工厂的厂门?

 

【答案】因为厂门宽度能否足够卡车经过,只需看当卡车位于厂门正中间时其高度能否小于CH.如下图,点D在

离厂门中线0.8米处,且CD⊥AB,与地面交于H.

解:

OC=1米(大门宽度一半),

OD=0.8米(卡车宽度一半)

在Rt△OCD中,由勾股定理得:

 

CD===0.6米,

CH=0.6+2.3=2.9(米)>2.5(米).

所以高度上有0.4米的余量,所以卡车能经过厂门.

 

3

 

(二)用勾股定理求最短问题

4、国家电力总企业为了改良乡村用电电费过高的现状,当前正在全国各地乡村进行电网改造,某地有四个乡村A、

B、C、D,且正好位于一个正方形的四个极点,现计划在四个乡村结合架设一条线路,他们设计了四种架设方案,如图实线部分.请你帮助计算一下,哪一种架设方案最省电线.

 

思路点拨:

解答本题的思路是:

最省电线就是线路长最短,经过利用勾股定理计算线路长,而后进行比较,得出结论.

分析:

设正方形的边长为1,则图

(1)、图

(2)中的总线路长分别为AB+BC+CD=3,AB+BC+CD=3

图(3)中,在Rt△ABC中

 

同理

 

∴图(3)中的路线长为

图(4)中,延伸EF交BC于H,则FH⊥BC,BH=CH

 

由∠FBH=及勾股定理得:

 

EA=ED=FB=FC=

 

∴EF=1-2FH=1-

 

∴此图中总线路的长为4EA+EF=

3>2.828>2.732

∴图(4)的连结线路最短,即图(4)的架设方案最省电线.

贯通融会

【变式】如图,一圆柱体的底面周长为20cm,高AB为4cm,BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点

A出发,沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短行程.

 

4

 

解:

 

如图,在Rt△ABC中,BC=底面周长的一半=10cm,依据勾股定理得

(发问:

勾股定理)

 

∴AC===≈10.77(cm)(勾股定理).

答:

最短行程约为10.77cm.

 

种类四:

利用勾股定理作长为的线段

 

5、作长为、、的线段。

 

思路点拨:

由勾股定理得,直角边为1的等腰直角三角形,斜边长就等于,直角边为和1的直角三角形斜边

 

长就是,近似地可作。

作法:

如下图

 

(1)作直角边为1(单位长)的等腰直角△ACB,使AB为斜边;

 

(2)以AB为一条直角边,作另向来角边为1的直角。

斜边为;

 

(3)按序这样做下去,最后做到直角三角形,这样斜边、、、的长度就是

 

、、、。

 

贯通融会【变式】在数轴上表示的点。

 

分析:

能够把看作是直角三角形的斜边,,

为了有益于绘图让其余两边的长为整数,

而10又是9和1这两个完好平方数的和,得此外两边分别是3和1。

 

作法:

如下图在数轴上找到A点,使OA=3,作AC⊥OA且截取AC=1,以OC为半径,

 

以O为圆心做弧,弧与数轴的交点B即为。

种类五:

抗命题与勾股定理逆定理

6、写出以下原命题的抗命题并判断能否正确

5

 

1.原命题:

猫有四只脚.(正确)

2.原命题:

对顶角相等(正确)

3.原命题:

线段垂直均分线上的点,到这条线段两头距离相等.(正确)

4.原命题:

角均分线上的点,到这个角的两边距离相等.(正确)

思路点拨:

掌握原命题与抗命题的关系。

分析:

1.抗命题:

有四只脚的是猫(不正确)

2.抗命题:

相等的角是对顶角(不正确)

3.抗命题:

到线段两头距离相等的点,在这条线段的垂直均分线上.?

(正确)

4.抗命题:

到角两边距离相等的点,在这个角的均分线上.(正确)

总结升华:

本题是为了学习勾股定理的抗命题做准备。

7、假如ABC的三边分别为a、b、c,且知足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判断ABC的形状。

思路点拨:

要判断ABC的形状,需要找到a、b、c的关系,而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,故只有从

该条件下手,解决问题。

222

分析:

由a+b+c+50=6a+8b+10c,得:

222

a-6a+9+b-8b+16+c-10c+25=0,

∴(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。

∵(a-3)2≥0,(b-4)2≥0,(c-5)2≥0。

∴a=3,b=4,c=5。

∵32+42=52,

∴a2+b2=c2。

由勾股定理的逆定理,得ABC是直角三角形。

总结升华:

勾股定理的逆定理是经过数目关系来研究图形的地点关系的,在证明中也常要用到。

 

贯通融会【变式1】四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积。

【答案】:

连结AC

∵∠B=90°,AB=3,BC=4

∴AC2=AB2+BC2=25(勾股定理)

∴AC=5

∵AC2+CD2=169,AD2=169

∴AC2+CD2=AD2

∴∠ACD=90°(勾股定理逆定理)

 

【变式2】已知:

△ABC的三边分别为m2-n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m>n),判断△ABC能否为直角三角形.

剖析:

本题是利用勾股定理的的逆定理,只需证明:

a2+b2=c2即可

 

证明:

 

6

 

所以△ABC是直角三角形.

 

【变式3】如图正方形ABCD,E为BC中点,F为AB上一点,且BF=AB。

请问FE与DE能否垂直?

请说明。

【答案】答:

DE⊥EF。

证明:

设BF=a,则BE=EC=2a,AF=3a,AB=4a,

∴EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2;

DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。

连结DF(如图)

DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。

∴DF2=EF2+DE2,

∴FE⊥DE。

经典例题精析

种类一:

勾股定理及其逆定理的基本用法

1、若直角三角形两直角边的比是3:

4,斜边长是20,求此直角三角形的面积。

思路点拨:

在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度,求面积,能够先经过比值设未知数,再依据勾股定理列出方程,求出未知数的值从而求面积。

分析:

设此直角三角形两直角边分别是3x,4x,依据题意得:

(3x)2+(4x)2=202

化简得x2=16;

 

∴直角三角形的面积=×3x×4x=6x2=96

总结升华:

直角三角形边的相关计算中,经常要设未知数,而后用勾股定理列方程(组)求解。

贯通融会【变式1】等边三角形的边长为2,求它的面积。

【答案】如图,等边△ABC,作AD⊥BC于D

 

则:

BD=BC(等腰三角形底边上的高与底边上的中线相互重合)

∵AB=AC=BC=2(等边三角形各边都相等)

∴BD=1

在直角三角形ABD中,AB2=AD2+BD2,即:

AD2=AB2-BD2=4-1=3

∴AD=

 

S△ABC=BC·AD=

 

注:

等边三角形面积公式:

若等边三角形边长为a,则其面积为a。

 

【变式2】直角三角形周长为12cm,斜边长为5cm,求直角三角形的面积。

【答案】设此直角三角形两直角边长分别是x,y,依据题意得:

 

7

 

(1)得:

x+y=7,

(x+y)2=49,x2+2xy+y2=49(3)

(3)-

(2),得:

xy=12

 

∴直角三角形的面积是

xy=×12=6(cm2)

【变式3】若直角三角形的三边长分别是

n+1,n+2,n+3,求n。

思路点拨:

第一要确立斜边(最长的边)长

n+3,而后利用勾股定理列方程求解。

解:

此直角三角形的斜边长为

n+3,由勾股定理可得:

(n+1)2+(n+2)2=(n+3)2

化简得:

n2=4

∴n=±2,但当n=-2时,n+1=-1<0,∴n=2

总结升华:

注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方,在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的状况下,第一要先确立斜边,直角边。

【变式4】以以下各组数为边长,能构成直角三角形的是()

A、8,15,17B、4,5,6C、5,8,10D、8,39,40

分析:

本题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断,

对数据较大的能够用c2=a2+b2的变形:

b2=c2-a2=(c-a)(c+a)来判断。

比如:

对于选择D,

∵82≠(40+39)×(40-39),

∴以8,39,40为边长不可以构成直角三角形。

同理能够判断其余选项。

【答案】:

A

【变式5】四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积。

解:

连结AC

∵∠B=90°,AB=3,BC=4

∴AC2=AB2+BC2=25(勾股定理)

∴AC=5

222

∵AC+CD=169,AD=169

 

∴∠ACD=90°(勾股定理逆定理)

 

∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB·BC+AC·CD=36

 

种类二:

勾股定理的应用

2、如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且∠QPN=30°,点A处有一所中学,AP=160m。

假定拖沓机行驶

时,四周100m之内会遇到噪音的影响,那么拖沓机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校能否会遇到噪声影响?

请说

明原因,假如受影响,已知拖沓机的速度为18km/h,那么学校受影响的时间为多少秒?

 

思路点拨:

(1)要判断拖沓机的噪音能否影响学校A,实质上是看A到公路的距离能否小于100m,小于100m则受

影响,大于100m则不受影响,故作垂线段AB并计算其长度。

(2)要求出学校受影响的时间,实质是要求拖沓机对学

校A的影响所行驶的行程。

所以一定找到拖沓机行至哪一点开始影响学校,行至哪一点后结束影响学校。

分析:

作AB⊥MN,垂足为B。

在RtABP中,∵∠ABP=90°,∠APB=30°,AP=160,

 

∴AB=AP=80。

(在直角三角形中,30°所对的直角边等于斜边的一半)∵点A到直线MN的距离小于100m,

∴这所中学会遇到噪声的影响。

如图,假定拖沓机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始遇到影响,那么AC=100(m),

8

由勾股定理得:

BC2=1002-802=3600,∴BC=60。

 

同理,拖沓机行驶到点D处学校开始离开影响,那么,AD=100(m),BD=60(m),

∴CD=120(m)。

拖沓机行驶的速度为:

18km/h=5m/s

t=120m÷5m/s=24s。

答:

拖沓机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校会遇到噪声影响,学校受影响的时间为24秒。

总结升华:

勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺乏直角条件,则能够经过作协助垂线的方法,结构直角三

角形以便利用勾股定理。

贯通融会【变式1】如图学校有一块长方形花园,有很少量人为了避开拐角而走“捷径”,在花园内走出了一条“路”。

他们只是少走了__________步路(假定2步为1m),却踩伤了花草。

 

分析:

他们本来走的路为3+4=7(m)

设走“捷径”的路长为xm,则

故少走的路长为7-5=2(m)

又因为2步为1m,所以他们只是少走了4步路。

【答案】4

【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格,它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形,这样的三角

形称为单位正三角形。

(1)直接写出单位正三角形的高与面积。

(2)图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形?

平行四边形ABCD的面积是多少?

(3)求出图中线段AC的长(可作协助线)。

 

【答案】

(1)单位正三角形的高为,面积是。

 

(2)如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形,所以其面积。

 

(3)过A作AK⊥BC于点K(如下图),则在Rt△ACK中,,

 

,故

种类三:

数学思想方法

(一)转变的思想方法

我们在求三角形的边或角,或进行推理论证时,经常作垂线,结构直角三角形,将问题转变为直角三角形问题来解决.

3、如下图,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC边上的点,且DE

9

⊥DF,若BE=12,CF=5.求线段EF的长。

 

思路点拨:

现已知BE、CF,要求EF,但这三条线段不在同一三角形中,所以重点是线段的转变,依据直角三角形

的特点,三角形的中线有特别的性质,不如先连结AD.

解:

连结AD.

因为∠BAC=90°,AB=AC.又因为AD为△ABC的中线,所以AD=DC=DB.AD⊥BC.且∠BAD=∠C=45°.

因为∠EDA+∠ADF=90°.又因为∠CDF+∠ADF=90°.

所以∠EDA=∠CDF.所以△AED≌△CFD(ASA).

所以AE=FC=5.

同理:

AF=BE=12.

在Rt△AEF中,依据勾股定理得:

,所以EF=13。

总结升华:

本题考察了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。

经过本题,我们能够认识:

当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时,应经过适合的转变把它们放在同向来角三角形中求解。

(二)方程的思想方法

4、如下图,已知△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,,求、、的值。

思路点拨:

由,再找出、的关系即可求出和的值。

解:

在Rt△ABC中,∠A=60°,∠B=90°-∠A=30°,

 

则,由勾股定理,得。

因为,所以,

 

,,。

总结升华:

在直角三角形中,30°的锐角的所对的直角边是斜边的一半。

贯通融会:

【变式】如下图,折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,求EF

的长。

 

解:

因为△ADE与△AFE对于AE对称,所以AD=AF,DE=EF。

因为四边形ABCD是矩形,所以∠B=∠C=90°,

在Rt△ABF中,AF=AD=BC=10cm,AB=8cm,

 

所以。

所以。

设,则。

在Rt△ECF中,,即,解得。

即EF的长为5cm。

 

10

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