机器人导论第一次作业.docx
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1、习题1：
已知矢量u和坐标系F，u为由F描述的一点。
v v v
é0 -1 0
ê1 0 0
10ù
20ú
u=3i+2j+2k,
F=ê
ê0
0
ê
ë
ú
0 1 1ú
1
ú
0 0 û
（1）确定表示同一点但由基坐标系描述的v。
（2）首先让F绕基坐标系的y轴旋转90°，然后沿基坐标系的x轴平移20。
求变换所得的新坐标系F¢。
（3）确定表示同一点但由坐标系F¢描述的矢量u¢。
（4）作图表示u,v,u¢,F和F¢之间的关系。
é3ù
é0 -1 0 10ù
ê2ú
êú
①：
因为u=êú
2
1
êú
ëû
ê1 0 0 20ú
ê ú
其所在连体坐标系为F=ê ú
0 0 1 1
ë û
ê0 0 0 1ú
因此，由左边变换可
é0 -1 0 10ùé3ù é8ù
ê1 0 0 20úê2ú ê23ú
得：
v=Fu=ê ú×êú=ê ú
ê0 0 1 1úê2ú ê3ú
0 0 0 1 1 1
ê úêú ê ú
ë ûëû ë û
②：
由于F是基于基坐标系的变换，由“右乘联体左乘基”可得：
F¢=trans（20,0,0）R（Y,90°）F
é1 0 0 20ùé0 0 1 0ùé0 -1 0 10ù
ê0 1 0 0úê0 1 0 0úê1 0 0 20ú
=ê úê úê ú
û
ê0 0 1 0úê-1 0 0 0úê0 0 1 1ú
ë ûë
ê0 0 0 1úê0
é0 0 1 21ù
ê1 0 0 20ú
=ê ú
ê0 0 1 1ú
ë û
ê0 0 0 1ú
úê
0 0 1ûë0
0 0 1ú
③：
根据左边变换公式v=Fu=F¢u¢得：
u¢=F¢-1v
因此：
é0 -1 0 10ùé8ù é3ù
ê1 0 0 20úê23ú ê13ú
u¢=ê ú×ê ú=ê ú
ê0 0 1 1úê3ú ê-13ú
ê0 0 0 1úê1ú ê1ú
ë ûë û ë û
④：
zA
zF
yF（zF’）
yA
xA
P
xF
xF’
yF’
2、已知其次变换矩阵
é0 1
ê0 0
H=ê
ê-1 0
0
ê
ë 0
0 0ù
0
ú
-1 ú
0 0ú
1
ú
0 û
要求Rot（f,q）=H,确定f和q的值。
已知齐次变换矩阵
é0 1 0 0ù
ê0 0 -1 0ú
Rot（f,q）=ê ú，
ê-1 0 0 0ú
ë û
ê0 0 0 1ú
可知：
n+o+a=（f2+f2+f2）versq+3cq
x y z x y z
=1+2cq=0
1
得cq=- ，因此sq=±
2
3。
由于0£q£180o得：
q=120o，sq= 3
2 2
3
3
3
ìf=（o-a） = é ù
ïx z y 3 ê3ú
3
3
éfxù ï ê ú
3
ê ú ï ê ú
由f=êfyú，且ífy=（ax-nz）
= ，得f=ê ú
3 3
êfú ï ê ú
3
3
ëzû ï
ê 3ú
ïfx=（ny-ox） =-
ïî 3
êê-3ú
ë
û
3、矢量Q绕矢量f旋转q角，产生新的矢量Q¢，即Q¢=Rot（f,q）Q。
求证：
Q¢=Qcq+sq（f´Q）+（1-cq）[Q-（f´Q）´f]根据通用旋转变换的齐次变换阵，经过
化简可得：
é（1-cq）（fxfxQx+fxfyQy+fxfzQz）+cqQx+sq（fyQz-fzQy）ù
ê（1-cq）（ffQ+ffQ+ffQ）+cqQ+sq（fQ-fQ）ú
Rot（f,q）Q=ê
xyx yyy yzz y zx xzú
ê（1-cq）（fxfzQx+fzfyQy+fzfzQz）+cqQz+sq（fxQy-fyQx）ú
ê 1 ú
ë û
Q¢=Qcq+sq（f´Q）+（1-cq）[Q-（f´Q）´f]
écqQx+sq（fyQz-fzQy）+（1-cq）（Qx-fyfyQx-fzfzQx+fxfyQy+fxfzQz）ù
êcqQ+sq（fQ-fQ）+（1-cq）（Q-ffQ-ffQ+ffQ+ffQ）ú
=ê y zx xz y xxy zzy xyx yzzú
êcqQz+sq（fxQy-fyQx）+（1-cq）（Qz-fyfyQz-fxfxQz+fxfzQx+fzfyQy）ú
ê 1 ú
ë û
x y z
由（f2+f2+f2）=1可得：
Qx-fyfyQx-fzfzQx+fxfyQy+fxfzQz
=Qx（1-fyfy-fzfz）+fxfyQy+fxfzQz
=fxfxQx+fxfyQy+fxfzQz
即（Rot（f,q）Q）1=Q1¢，同理（Rot（f,q）Q）2=Q2¢，（Rot（f,q）Q）3=Q3¢。
由上述证明可得Rot（f,q）Q=Q¢
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