二阶线性常微分方程地幂级数解法.docx
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二阶线性常微分方程地幂级数解法
二阶线性常微分方程的幕级数解法
从微分方程学中知道，在满足某些条件下，可以用幕级数来表示一个函数。
因此，自然想到，能否用幕级数来表示微分方程的解呢？
例1、求方程y"xy0的通解解解设yaoaiXa2X2…anXn…为方程的解，这里ai（i0,1,2,…,n，…）是待定常系数，将它对x微分两次，有
y21a232a3XLn（n1）anXn2（n1）nanixn1L
将y,y'的表达式代入方程，并比较的同次幕的系数，得到这个幕级数的收敛半径是无限大的，因而级数的和（其中包括两个任意常数ao及aj便是所要求的通解。
或一般的可推得
a3k2
其中a1,a2是任意的，因而代入设的解中可得:
例6求方程y''2xy4y0的满足初值条件y（0）0及y（0）1的解
条件，可以得到
ao0,ai1,
因而
23|n.
yxa2xa3xLa“xL
y12a2x3a3x2Lnanxn1L
n2
y2a232a3xLn（n1）anxL
将y,y',y''的表达式带入原方程，合并x的各同次幕的项，并令各
项系数等于零，得到
a20,a
1,a4
0,L,
ann1an2，L
因而
1
1
1c
1,
a5,ae
0,a7
—
a80,a9
L
2!
6
3!
4!
最后得
1
1
1
a2k1
—
a2k
0,
k
（k1）!
k!
2!
2k1
x
k!
这就是方程的满足所给初值条件的解。
是否所有方程都能按以上方式求出其幕级数解？
或者说究竟方
程应该满足什么条件才能保证它的解可用幕级数来表示呢？
级数的
形式怎样？
其收敛区间又如何？
这些问题，在微分方程解析理论中有
关书籍。
考虑二阶齐次线性微分方程
雪p（x）dxq（x）yo
及初值条件y（Xo）yo及y（Xo）y°的情况。
今后我们总认为Xoo。
有形如
n
ya“x
no
的特解，也以|x|R为级数的收敛区间。
在上两例中方程显然满足定理的条件，系数x，2x和4可看作
是在全数轴上收敛的幕级数，故方程的解也在全数轴上收敛。
但有些
方程，例如n阶贝赛尔方程
这里n为非负常数，不一定是正整数，（喚p（x）dyq（x）y0）
dxdx
肯定有形如y
n
n0anx的特解。
但它满足下述定理11的条件，从
而具有别种形状的幕级数解。
n
xp（x）和x2q（x）均能展成x的幕级数，且收敛区间为
yxanx
n0
anx
的特解，是一个特定的常数，级数yan^也以|x|R
n0
为收敛区间。
若a。
0,或更一般的，i0（i0,1,2L,m1），但am0,
则引入记号m,bkamk，则
这里boam0，而仍为待定常数
解将方程改写成
d2y1dyx2n2n
22y0
dxxdxx
易见，它满足定理11的条件（xp（x）和x2q（x）均能展成x的幕级数，且收敛区间为|x|R），且xpx1,x2qxx2n2，按展成的幕级数收敛
区间为x，由定理11，方程有形如
ak
yakX
k0
的解，这里a00
而ak和
ak
是待定常数，将yakX代
k0
2dydy
入.x2x入：
dx2dx
（x2n2）y
0中，得
x2（ak）（ak
k1
1&xak2
x（a
k）akXak1
k1
z22\ak
（xn）akX
0
k0
把x同幕次项归在一
起，上式变为
[（k）（k
k0
1）（k）
2akak2
n]akxakx0
k0
令各项的系数等于
0，得一系列的代数方程
a°[
2n2]
0
印[（
1）2
n2]0
ak[（
k）2
n2]ak20
k
2,3,L
2
因为a00，故从ao[
n2]
0解得的两个值
先考虑n时方程
x¥（x2n2）y
dx
解，这时我们总可以从以上方程组中逐个地确定所有的系数n代入以上方程组，得到
ao
o的一个特
ak。
把
ak2
k（2nk）
，k2,3L
或按下标为奇数或偶数，我们分别有
从而求得
a2ki0k1,2,L
a2
a。
221n1
a4
a0
242!
n1n2
a6
a。
3
263!
n1n2n3
般地
a2k
a。
22kk!
n1
k1,2,L
将ak各代入
aakX
k0
得到方程
2d2y
dx7
dy22.小
x（xn）y0dx
的一个解
n
%a°x
k
1a°
2k
2k!
2kn一xk
既然是求X2乎
xdy
dx
（x2
）y0的特解,
我们不妨令
2n
其中函数
定义如下:
当S>0时，
dx；当s<0
且非整数时，由
1
递推公式（s）-
1定义。
s具有性质
ss；n1n!
n为正整数
n
而y1aoX
k
1a。
22kk!
n1n2Ln
2kn
X变为
2kn
y1
k
ok!
nk
注意到
函数的性质,
即有
yi
Jn
数,
2k
X
ok!
nk1'2
是由贝塞尔方程x2d4
dx
称为n阶贝赛尔函数。
因此，对于
得另一个与Jn
、2d2y
时方程X2
dx
Y2
的解,
JnX
xdy（x2n2）y
dx
0定义的特殊函
n阶贝塞尔方程，它总有一个特解
x线性无关的特解，我们自然想到,
xdx（x2
akx
k0
我们注意到只要n
JnX
为了求
2、
n）y0的形如
不为非负整数，像以上对于
的求解过程一样，我们总可以求得
1,2丄
nX为阶贝赛尔函数
1a02k
k122kk!
n1n2LnkX
X0）都是收敛的，因此，当n不为非负整数时，JnX和JnX
2dydy/22、n
都是方程XrX（xn）y0的解，而且是线性无关的，因
dXdX
为它们可展为由X的不同幕次开始的级数，从而它们的比不可能是
这里q，c2是任意常数。
此情形的JnX和JnX称为第一类贝
塞尔函数。
解
引入新变量t
2x，我们有
dy
dydt
2dy
dx
dtdx
dt
d2ydx2
ddt
2矽
dt
dt4d2y
dxdt2
t2d2ydt2
将上述关系代入院方程，得到
方程，由例7可知，方程
其中C1,C2是任意常数。
第二宇宙速度计算
作为这一节的应用，我们计算发射人造卫星的最小速度，即所谓第二宇宙速度。
在这个速度你下，物体将摆脱地球的引力，向地球一样绕着太阳运行，成为人造卫星.
让我们首先建立物体垂直上抛运动的微分方程•以M和m分别表
示地球和物体的质量.按牛顿万有引力定律，作用于物体的引力F（空
气阻力忽略不计）为
mM
Fk2"
r
这里r表示地球的中心和物理体重心之间的距离，k为万有引力常
数。
因为，物体运动规律应满足下面的微分方程
d2r
这里的负号表示物体的加速度是负的
的方法，把方程降阶成为一阶方程
解得
注意到这时初值条件为
kM
因而
v2kMv02kM
（）
2r2R
2
因为物体运动速度必须始终保持是正的，即-0,而随着r的不断增
2
222
大，量到变得任意小。
因此，由匕型（业型）看到，条件-0
r2r2R2
要对所有的r都成立，只有不等式
V2kM
2R
成立。
因而最小的发射速度由下面式子决定：
/2kMV0\R
在地球的表面，即rR时，重力加速度为g（g9.81m/s2），由此根据
Fkr2，就有gk，于是kMgR2。
以此代入V0J2R*得到
V0,2gR-29.816310511.2103ms
我们通常所说的第二宇宙速度指的就是V011.2kms这个速度
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