完整word版全等三角形专题构造全等三角形方法总结.docx

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完整word版全等三角形专题构造全等三角形方法总结

专题：

构造全等三角形

利用三角形的中线来构造全等三角形（倍长中线法）倍长中线法：

即把中线延长一倍，来构造全等三角形。

EFAEADFABCADBE1，在△于点中，＝是中线，，且交．1、如图ABFAC试说明线段相等的理由．与BGADADADGDG由于是中线，于是可延长，连结到＝，使，则简析EFGBDACDCDBDACDGBDADGDADCGDB＝在△）和△中，，所以△＝，，∠≌△＝∠（，SASC

BAFEEFCADACGBCADGAE，所以∠所以＝，，∠＝＝∠＝∠，而DBFBFGBFGGBFBGACAFE，所以∠，所以＝∠．又∠，所以＝∠＝＝说明要说明线段或角相等，通常的思路是说明它们所在的两个G

图1

三角形全等，而遇到中线时又通常通过延长中线来构造全等三角形．

利用三角形的角平分线来构造全等三角形

法一：

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC。

在AB上截取AE=AC，连结DE。

（可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。

）

法二：

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC。

延长AC到F，使AF=AB，连结DF。

（可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。

）

法三：

在△ABC中，AD平分∠BAC。

作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N。

（可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形）

1戴氏教育集团努力+勤奋+信心=成功

）DM=DN（还可以用“角平分线上的点到角的两边距离相等”来证2、已知：

如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：

∠A+∠C=180°

DF。

F，使BF=BC，连结，连结DE。

法二：

延长BA到BE法一：

证明：

在BC上截取，使BE=ABABC的角平分线（已知）∵BD是∠∵BD是∠ABC的角平分线（已知）

2（角平分线定义）∴∠1=∠∴∠1=∠2（角平分线定义）

和△BCD中在△BFD在△ABD和△EBD中

BF=BC（已知）（已知）∵AB=EB

∠2（已证）∠1=∠1=∠2（已证）

BD=BD（公共边）BD=BD（公共边）

S.A.S）∴△BFD≌△BCD（∴△ABD≌△EBD（S.A.S）

C（全等三角形的对应角相等∴∠F＝∠（全等三角形的对应角相等）∴∠A＝∠3

DF=DC（全等三角形的对应边相等）AD=DE（全等三角形的对应边相等）

（已证）AD=CD（已知），DF=DC∵（已证）（已知），AD=DE∵AD=CD∴DF=AD（等量代换）∴DE=DC（等量代换）

4=∠F（等边对等角）∴∠4=∴∠∠C（等边对等角）

＝∠C（已证）∵∠F∵∠3+∠4＝180°（平角定义），

C（等量代换）∴∠4=∠∠A＝∠3（已证）

180°（平角定义）∠3+∠4＝∵＝∴∠A+∠C180°（等量代换）180°C＝（等量代换）∴∠A+∠

的延长线于N。

于M，DN⊥BA交BA法三：

作DM⊥BCBD是∠ABC的角平分线（已知）∵

1=∠2（角平分线定义）∴∠⊥BC（已知）∵DN⊥BA，DM

DMB=90°（垂直的定义）∴∠N=∠MBD中在△NBD和△（已证）DMB∠N=∠∵（已证）∠1=∠2

（公共边）BD=BD

A.A.SNBD≌△MBD（）∴△∴ND=MD（全等三角形的对应边相等）

，DM⊥BC（已知）∵DN⊥BAMCD是Rt△∴△NAD和△中△MCD和在Rt△NADRt（已证）ND=MD∵

）≌Rt△MCD（H.LNADAD=CD（已知）∴Rt△∠4=∠C（全等三角形的对应角相等）∴4∠＝180°（平角定义），∵∠3+

2戴氏教育集团努力+勤奋+信心=成功

（已证）∠A＝∠3

C＝180°（等量代换）∴∠A+∠

的延长线于N。

M，DN⊥BA交BA法四：

作DM⊥BC于的角平分线（已知）BD是∠ABC∵

（已知）DM⊥BCDN⊥BA，

（已知）DM⊥BC∵DN⊥BA，∴ND=MD（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）

△MCD是Rt∴△NAD和△

MCD中Rt△NAD和Rt△在ND=MD（已证）∵

）≌Rt△MCD（H.LAD=CD（已知）∴Rt△NAD

C

4=∠∴∠（全等三角形的对应角相等）

180°（平角定义）∠3+∠4＝∵

（已证）∠A＝∠3

（等量代换）A+∠C＝180°∴∠

利用高可以高线为对称轴构造全等三角形的大小．与AC+CD＝⊥BC，若∠C2∠B．试比较线段BD3、在△ABC中，ADA

，上截取DE＝DC简析由于AD⊥BC，所以可在BD

AED＝∠C，（SAS），所以AE＝AC，∠≌△于是可得△ADEADC+∠BAE，2∠B，而∠AED＝∠BC又∠＝2∠B，所以∠AED＝CB+CD．＝AE+DE＝ACAC＝∠BAE，所以BE＝AE＝，所以BD＝BE+DEB即∠D

E

说明利用三角形高的性质，在几何解题时，可以高线为对称轴构造全等三角形求解．

利用特殊图形可通过旋转变换构造全等三角形与内任一点，试比较线段PA4、设点P为等边三角形ABCA

PC的大小．PB+P′旋ABP绕点A是等边三角形，简析由于△ABC所以可以将△，所SAS）△的位置，连结PP′，则ACP′≌△ABP（到转60°△ACP′P

′＝PA，在△CPP即′以AP′＝AP，CP＝BP，△APP′是等边三角形，PP′．PB＜+PC+中，因为PP′＜PCP′C，所以PAB

C

由于图形旋转的前后，只是位置发生了变化，而形状和说明4

图大小都没有改变，所以对于等边三角形、正方形等特殊的图形我们可以利用旋转的方法构造全等三角形来解题．

3戴氏教育集团努力+勤奋+信心=成功

利用利用平行线构造全等三角形，M交BC于上任意一点，延长AC到F，连接EF是5、△ABC中，AB＝AC，EAB相等的理由．BE与CF且EM＝FM试说明线段A

平移到CFCF的位置较散，故可考虑将线段简析由于BE与E

，FCM∠EDM＝∠则∠EDB＝∠ACB，ED，所以过点E作ED∥CF，C，）（AASFMC＝∠，所以△EMD≌△FMC由于EM＝FM，∠EMDB

MD，EDBB＝∠B＝∠ACB，即∠ED＝CF，又因为AB＝AC，所以∠所以F．＝CF＝ED，所以BE所以EB5

图这里通过辅助线将较散的结论相对集中，使求解的难度说明降低．

综合练习

BC=2∠BAC的角平分线，AB=AC+CD，求证：

∠ABC1、如图，已知△中，AD是∠DE。

AE，使AE=AC，连结法一：

证明：

在AB上截取BAC的角平分线（已知）∵AD是∠

2（角平分线定义）∴∠1=∠ACD中在△AED和△

AE=AC（已知）∵2（已证）∠1=∠

（公共边）AD=AD

）ACD（S.A.S∴△AED≌△）（全等三角形的对应角相等C＝∠3∴∠（全等三角形的对应边相等）ED=CD（已知）又∵AB=AC+CD=AE+EB（等量代换）∴EB=DC=ED（等边对等角）∠4∴∠B=（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）∠B∠B+∠4=2∵∠3=

B（等量代换）∴∠C=2∠DF。

，使到FCF=CD，连结法二：

延长ACBAC的角平分线（已知）∵AD是∠2（角平分线定义）∴∠1=∠

CF=CD（已知）AB=AC+CD，∵AB=AC+CF=AF（等量代换）∴

中ABD在△和△AFD（公共边）AD=AD∠1=2（已证）∵AB=AF（已证）∠4戴氏教育集团努力+勤奋+信心=成功

∴△ABD≌△AFD（S.A.S）

∴∠F＝∠B（全等三角形的对应角相等）

∵CF=CD（已知）

∴∠B=∠3（等边对等角）

∵∠ACB=2∠F（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）

∴∠ACB=2∠B（等量代换）

2、如图，已知直线MN∥PQ，且AE平分∠BAN、BE平分∠QBA，DC是过E的任意线段，交MN于点D，交PQ于点C。

求证：

AD+AB=BC。

法一：

证明：

延长AE，交直线PQ于点F。

，使得AG=ADBA到点G，延长AG=AD，连结EG。

法三：

延长法二：

BA到点G，使得EG。

连结

GF的角平分线，AE⊥BC，BD是∠ABCABC3、已知：

如图在Rt△中，∠BAC=90°，AD=FC。

∥BC，求证：

，BCDH证明：

过D作⊥。

垂足为H

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