机械运动的微分方程及其解.docx

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机械运动的微分方程及其解

10.2机械运动的微分万程及其解

对于单自由度机器，机械动力学将整个机器的动能视与一个假想构件的动能相等，将机器上全部外力

（不包括重力）所做的功率视与一个假象构件上具有的功率相同，该假想构件称为等效构件。

等效构件的

运动规律与机器中某一个构件的运动规律相同。

依据这一原理，将对机器的运动微分方程组（3n个）的求

解问题转化为一个运动微分方程的求解问题，从而大大简化了求解过程。

该运动微分方程为二阶变系数非齐次微分方程。

（a）机械的逻辑构成与动力学分析方法

等效转动构件或竽效移动构件I二阶变系数非齐次撤分方程

转化为

心（的）

2+小等W

（10.349

图10.2F01机械的逻辑构成与动力学分析方法

10.2F02等效转动构件

（d）机械运动的微分方程

由能量守恒原理，即外力对机械所做的功dW等于机械动能的增量dE得

分离变量得动能关于时间的导数形式为

d［|Ai@1）塚］

二；=弘心州9\阀

01

Hr2d妙dt2勺击

氏T四

2d®el61

旦巴L+八辺皱

2d®eld（p{

（e）Jei为常数时，刚体绕定轴转动的微分方程

图10.2F04厶为常数时的

等效转动构件的动力学

1）曲柄滑块机构的运动分析

连杆2的角速度32与曲柄角速度31的比值为

32/3=acos0/（bcos冯

滑块3的速度V3与曲柄角速度31的比值为

V3/3i=-a（sinij-cos

可见，32/3、V3/3是机构位置的函数，与机构的真实运动无关,

对式（1“）■式（10.6）求关于时间啲1阶导数，令=gd2^2/

级=-aaxsin®cos的+ba2sin辺cos^（109）

ba2cos^-bct^sin^-aaxco$谄sin^（10.10）

a2=（aa^cos-cu（^siii^）/（/）cos^）（10.11）

（10.12）

迢=-aa{sin-acu\cos（q+ba2sin聲+b喝co輻辺

2）机构的动能与等效转动惯量

£=+亍®瑤2+亍佗咲2+$‘C2&+§阳3厅

（10.19）

将动能£表达为如I与机构位置的函数

I0

于是，等效转动构件的动能E为E=ZW）

若一个机构具有”个可动构件，网表示第，个构件的质量，見表示第d个构件关于质心G的转动惯量，氐小％口分别表示第f个构件的角速度与质心速度，则动能耳与等效转动惯量心

（10.22）

（10.23）

T

3

3）机构的功率与等效力矩

件所做的功率等于机构中全部外力所做的功率，如图10.1（b）所示欄由式

已知作用在机构上的工作阻力耳与驱动力矩爲P它们所做功的微元d与功率N分别为

dW=M^.倒dZ—酉•昭|d二两（A/曲—耳』）出（10.25）

q-珥J坷二说（胚耳巴）（10.26）

引入等效力矩胚］的概念，它作用在等效转动构件上，它对等效转动

图10-1（51）曲柄滑块机构

（b）等效动力学模型

陋1（%叫M

（10.26）得机构的等效力矩胚】为

4）机械的运动微分方程及其解

%［燄）+字］-扣1做）］+警对电触）］

222

通过选择不同的斥，可以使卩的变化范围控制在设计要求之内。

若机器的等效转动惯量心为常量，如各种电梯.矿山提升机与工厂的行车，则式（10.34）简化为

（10.43）

■［例10-1］在图10.1（a）所示的曲柄滑块机构中，已知曲柄1的

杆长“=0.100m,转动惯量厶=1.05kgin2;连杆2的杆长0=0.350m,C2C=*C2=0.45&,质量m2=160kg,转动惯量^=1.15kgin2；偏心距e=-0.15a,滑块3的质量m3=180kg»加入飞轮的转动惯量JF=8kgin2o