上全等三角形经典培优练习习题汇集学而思doc.docx
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上全等三角形经典培优练习习题汇集学而思doc
全等三角形经典习题汇集
第一讲全等三角形的性质及判定
【例1】如图，AC∥DE，BC∥EF，ACDE．求证：
AFBD．
E
A
F
D
B
C
DC
【补充】如图所示：
AB∥CD，ABCD．求证：
AD∥BC．
AB
【例2】已知：
如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，ABDC，BECF，BC．求证：
OAOD．
AD
O
BEFC
【补充】已知：
如图，ADBC，ACBD，求证：
CD．
DC
O
AB
【补充】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为CD中点，连结AE并延长AE交BC的延长线于点F．求
证：
FCAD．
AD
E
B
F
C
【例3】如图，AB，CD相交于点O，OAOB，E、F为CD上两点，AE∥BF，CEDF．求证：
AC∥BD．
AC
E
O
F
DB
【补充】已知，如图，ABAC，CEAB，BFAC，求证：
BFCE．
A
EF
BC
【例4】如图，DCE90，CDCE，ADAC，BEAC，垂足分别为A，B，试说明ADABBE
E
A
B
DC
【例10】如图所示，已知ABDC，AEDF，CEBF，证明：
AFDE．
AD
CEFB
【例11】
E、
F
分别是正方形
ABCD
的
BC
、CD
边上的点，且
BE
CF
．求证：
AE
BF
．
A
D
F
P
B
E
C
【补充】E、F、G分别是正方形ABCD的BC、CD、AB边上的点，GEEF，GEEF．求证：
BGCFBC．
AD
G
F
BC
E
【例12】在凸五边形中，BE，CD，BCDE，M为CD中点．求证：
AMCD．
A
BE
CMD
【补充】如图所示：
AFCD，BCEF，ABDE，AD．求证：
BC∥EF．
AF
BE
CD
【例13】
（1）如图，△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结EG，试判
断△ABC与△AEG面积之间的关系，并说明理由.
（2）园林小路，曲径通幽，如图所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成.已知
中间的所有正方形的面积之和是a平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b平方米，这
条小路一共占地多少平方米？
E
G
D
A
F
BC
【例14】如图，ABC中，AB
BC，ABC
90，D是AC上一点，且CD
CBAB，DE
AC交AB
于E点．求证：
AD
DEEB．
A
D
E
BC
【例15】ABC中，B90，M为AB上一点，使得AMBC，N为BC上一点，使得CNBM，连
AN、CM交于P点．试求APM的度数，并写出你的推理证明的过程．
A
D
M
P
BNC
图3
【例16】如图，I是△ABC的内心，且CAAIBC．若BAC80，求ABC和AIB的大小．
C
I
BA
【例17】已知：
BD、CE是ABC的高，点P在BD的延长线上，BPAC，点Q在CE上，CQAB，
求证：
⑴APAQ；⑵APAQ．
P
A
D
E
Q
BC
【例18】⑴
如左下图，在矩形ABCD中，E为CB延长线上一点且
ACCE，F为AE的中点．求证：
BF
FD．
ABC中，BE、CF分别为边AC、AB的高，D为BC的中点，DM
EF于
⑵
如右下图，在
M．求证：
FM
EM．
A
AD
ME
FF
EBCBDC
18.补充：
如图，已知ABD
ACD60，且ADB90
1
BDC．求证：
ABC是
2
等腰三角形．
【例19】如图，ABC为边长是1的等边三角形，BDC为顶角（BDC）是120的
等腰三角形，以D为顶点作一个60角，角的两边分别交AB于M，AC
于N，连接MN，形成一个AMN．求AMN的周长．
A
N
M
BC
D
家庭作业
【习题1】已知：
如图，AB∥DE，AC∥DF，BECF．求证：
ABDE．
AD
BECF
【习题2】已知：
△DEF≌△MNP，且EF＝NP，∠F＝∠P，∠D＝48°，∠E＝52°，MN＝12cm，求：
∠P的度数及DE的长.
【习题3】如图，矩形ABCD中，E是AD上一点，CE
EF交AB于F点，若DE
2，矩形周长为
16，
且CEEF，求AE的长．
A
E
D
F
BC
【习题4】在四边形ABCD中，AD∥BC，A的平分线AE交DC于E．求证：
当BE是B的角平分线
时，有ADBCAB．
月测备选
【备选1】如图所示：
ABAC，ADAE，CD、BE相交于点O．求证：
OA平分DAE．
E
C
O
ABD
【备选2】如图所示，在△ABC中，ADBC于点D，B2C．求证：
ABBDCD．
A
CDB
【备选3】如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥DF，
交AB于点E，连结EG、EF.
（1）求证：
BG＝CF.
（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由.
A
F
E
B
D
C
G
第二讲全等三角形与中点问题
版块一倍长中线
A
【例1】在△ABC中，AB5,AC9，则BC边上的中线AD的长的取值
范围是什么？
BDC
A
【补充】已知：
ABC中，AD是中线．求证：
1
AD（ABAC）．
2
BDC
【例2】已知：
如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E是CD的中点，BE的延长线与AD的延长线相交
于点F．求证：
BCE≌FDE．
ADF
E
BC
【例3】如图，在ABC中，D是BC边的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE．求证：
BDE≌CDF．
A
F
B
C
D
E
【例4】如图，
ABC中，ABA
DAC
B
C
D
A
【例5】如图，已知在
ABC中，AD是BC边上的中线，
E是AD上一点，延
F
长BE交AC于F，AFEF，求证：
ACBE．
E
B
DC
【例6】如图所示，在
ABC和
ABC中，AD、AD分别是BC、BC上的中线，且
ABAB，
ACAC，
ADAD
，求证
A
A'
ABC≌ABC．
BDCB'D'C'
【例7】如图，在ABC中，AD交BC于点D
，点E是BC中点，EF∥AD交CA的延长线于点
F，交EF
于点G，若BGCF，求证：
AD为
ABC的角平分线．
F
A
G
B
ED
C
【例8】已知AD为ABC的中线，ADB，ADC的平分线分别交AB于E、交AC于F．求证：
BECFEF．
A
EF
BDC
【例9】在RtABC中，A90，点D为BC的中点，点E、F分别为AB、AC上的点，且EDFD．以线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形？
若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝
角三角形？
A
EF
BC
D
【例10】已知△
，∠
=∠，，
E
分别是
AB
及
延长线上的一点，且
=，连接
交底
于
，
ABC
BCD
AC
BDCE
DE
BC
G
求证GD=GE．
A
D
C
BG
E
【例11】如图所示，在
ABC中，D是BC的中点，DM垂直于DN，如果BM
2
CN
2
DM
2
DN
2，求
证AD2
1
AB2
AC2．（勾股定理的内容，选做）
A
4
M
N
B
D
C
【例10】在RtABC中，F是斜边AB的中点，D、E分别在边CA、CB上，满足DFE
90．若AD
3，
BE4，则线段DE的长度为_________．
A
D
F
G
C
E
B
图6
家庭作业
【习题
1】如图，在等腰
求证：
EDB
ABC中，AB
FDC．
AC，D是BC
的中点，过
A作
AE
DE，AF
DF
，且AE
AF．
A
E
F
A
BD
C
F
E
【习题2】如图，已知在
ABC中，AD是BC边上的中线，
E是AD上一点，且
BE
AC，延长BE交AC于F，AF与EF相等吗？
为什么？
B
C
D
【习题
3】如右下图，在
ABC
中，若
B2C，
AD
BC，
E为BC
边的中点．求证：
AB
2DE．
A
BDEC
【备选1】如图，已知AB=DC，AD=BC，O是BD中点，过O点的直线分别交DA、BC的延长线于E，F．求证：
∠E=∠F
【备选2】如图，
ABC中，ABAC，
BAC90
，D是BC中点，ED
FD，ED与AB交于E，FD
与AC
交于F．求证：
BE
AF，AE
CF．
A
F
E
B
D
C
第三讲全等三角形与角平分线问题
【例1】在ABC中，D为BC边上的点，已知BADCAD，BDCD，求证：
ABAC．
A
B
DC
【例2】已知ABC中，ABAC，BE、CD分别是ABC及ACB平分线．求证：
CDBE．
A
DE
BC
【例3】如图，在ABC中，B60，AD、CE分别平分BAC、BCA，且AD与CE的交点为F．求
证：
FEFD．
A
E
F
BC
D
【例4】如图，已知ABC的周长是21，OB，OC分别平分ABC和ACB，ODBC于D，且OD3，
求ABC的面积．
A
O
BC
D
【补充】如图所示：
ABAC，ADAE，CD、BE相交于点O．求证：
OA平分DAE．
E
C
O
ABD
【例5】已知ABC中，A60o，BD、CE分别平分ABC和ACB，BD、CE交于点O，试判断BE、
CD、BC的数量关系，并加以证明．
A
E
OD
BC
【例6】如图，已知E是AC上的一点，又12，34．求证：
EDEB．
D
1
A
C
3
4
E
2B
【例7】如图所示，OP是AOC和BOD的平分线，OAOC，OBOD．求证：
ABCD．
O
ABPDC
【例8】如图所示，已知
ABC中，AD平分
BAC，E、F分别在BD、AD上．DE
CD，EFAC．求
证：
EF∥AB
A
F
BEDC
【例10】如图，在四边形
ABCD中，AC平分
BAD，过C作CE
AB于E，并且AE
1
（ABAD），则
2
ABCADC等于多少？
D
C
AEB
【补充】长方形ABCD中，AB=4，BC=7，∠BAD的角平分线交BC于点E，EF⊥ED交AB于F，则EF=__________．
AD
F
BEC
【补充】在ABC中，ABAC，AD是BAC的平分线．P是AD上任意一点．求证：
ABACPBPC．
A
P
BDC
【例11】如图，在ABC中，B2C，BAC的平分线AD交BC与D．求证：
ABBDAC．
A
BDC
【例12】如图，ABC中，ABAC，A108，BD平分ABC交AC于D点．求证：
BCACCD．
A
D
BC
【巩固】已知等腰ABC，A100，ABC的平分线交AC于D，则BDADBC．
A
D
BC
【例13】如图所示，在ABC中，AD平分BAC，ADAB，CMAD于M，求证ABAC2AM．
A
BDC
M
【例14】如图，ABC
于E．求证：
中，AD
ABAC，BD、CE
AE．
分别为两底角的外角平分线，
AD
BD于D，
AE
CE
A
DE
GBCH
【例15】如图，A
①探讨线段
②探讨线段
D180，BE平分ABC，CE
AB、CD和BC之间的等量关系．
BE与CE之间的位置关系．
平分
BCD
，点
E在
AD上．
D
E
A
BC
家庭作业
【习题2】如图，在ABC中，ABBDAC，BAC的平分线AD交BC与D．求证：
B2C．
A
BDC
【习题3】
是
ABC的角平分线，
BE
AD
交
AD
的延长线于
E
，EF∥AC交
AB
于
F
．求证：
AF
FB
．
AD
A
C
F
D
BE
【习题4】如图所示，AD平行于BC，DAE=EAB，ABE=EBC，AD=4，BC=2，那么AB=________．
【习题5】ABC中，
为BC中点，DE
BC交
BAC的平分线于点
E
，
AB
于
F
EGAC于G．求
D
EF
证：
BF
CG．
A
F
B
D
C
G
E
月测备选
【备选1】在ABC中，AD平分BAC，ABBDAC．求B:
C的值．
A
BDC
【备选2】如图，已知在ABC中，ABC3C，12，BEAE．求证：
ACAB2BE．
A
2
1
E
BC
【备选3】如图所示，在四边形
ABCD中，AD∥BC，
A的平分线AE交DC于E，求证：
当BE是B
的平分线时，有AD
BCAB．
D
E
C
AB
第四讲全等三角形与旋转问题
【例1】已知：
如图，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形．
（1）求证：
ANBM．
N
M
ACB
（2）求证：
CD=CE
N
M
DE
ACB
（3）求证：
CF平分∠MCN
N
M
F
DE
ACB
（4）求证：
DE∥AB
N
M
F
DE
ACB
【例2】如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．求证：
AECG．
G
A
B
F
DE
C
【例3】如图，等边三角形ABC与等边DEC共顶点于C点．求证：
AEBD．
A
E
D
BC
【例4】如图，D是等边ABC内的一点，且BDAD，BPAB，DBPDBC，问BPD的度数是否一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由．
A
P
D
BC
【例5】如图，等腰直角三角形
ABC中，∠B
90，AB
a，O为AC中点，EOOF．求证：
BEBF
为定值．
A
E
O
B
F
C
【补充】如图，正方形
OGHK绕正方形ABCD中点O旋转，其交点为
E、F，求证：
AE
CF
AB．
G
A
D
E1
3
4
O
5
H
2
C
B
F
K
【例6】（2004河北）如图，已知点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且
EAAF．求证：
DEBF．
AD
E
FBC
【补充】如图所示，在四边形ABCD中，ADC
ABC90，AD
CD，DP
AB于P，若四边形ABCD
的面积是16，求DP的长．
D
C
APB
【例7】
E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF45
，AH
EF，H为垂足，求
证：
AHAB．
A
D
F
H
【巩固】如图，正方形ABCD的边长为1，点F在线段CD上运动，AE平分
BAF
B
E
C
交BC边于点E．
⑴求证：
AFDFBE．
⑵设DFx（0≤x≤1），ADF与
ABE的面积和S是否存在最大值？
若存在，求出此时
x的
值及S．若不存在，请说明理由．
A
D
F
B
EC
【补充】
（1）如图，在四边形ABCD中，AB
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