几何有关中点的专题复习.docx
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几何有关中点的专题复习
课题：
几何有关中点的专题复习
【教学目标】复习掌握几何中有关中点的性质龙理，能根据题目的已知条件找出和中点有关的常用组合搭配，合理建立几何模型，并加以分析解决问题。
【教学重点】学会根据题目的已知条件找出和中点有关的常用组合搭配，合理建立几何模型。
【教学难点】正确添加适当辅助线。
【教学过程】数学是规律性很强的学科，比如辅助线的构造有很强的技巧性，而几何题中出现“中点”后，往往需要根据不同的条件作出辅助线，下而这些和中点有关的常用组合搭配，你能补全思路及图形吗？
平行如角平分线必出现__三线中两讐勅諾|隊学腔
实战中，有些题表而上看没有“中点”，但是实际上“中点”已隐含在条件中，比如特殊四边形中，常常就有这样的隐含条件，我们必须了解：
1平行四边形中隐含条件：
平行、中点；
2菱形中隐含条件：
平行、中点、角平分线、垂直：
3矩形中隐含条件：
平行、中点、垂直：
4正方形中隐含条件：
平行、中点、角平分线、垂直.
一•中点有关联想归类：
1.等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质；
2.直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”：
（反之也成立）
3.三角形中遇到两边的中点，常联想"三角形的中位线建理”：
4.两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形）：
5.有中点时常构造垂直平分线：
6.有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的而积）：
7.倍长中线。
8字形
8.中点四边形是矩形是菱形原四边形性质对角线垂直或相等
9.二次函数、反比例函数和中点联系，中点坐标公式，对称性的运用
10.弦中点（弧中点）垂径定理（注意弦必须是非直径）
11.中点与而积结合，平分而积
二.与中点问题有关的四大辅助线：
1.出现三角形的中线时，可以延长（简称'‘倍长中线”）；
2.岀现直角三角形斜边的中点，作斜边中线：
3.岀现三角形边上的中点，作中位线；
4.出现等腰三角形底边上的中点，构造“三线合一”。
三.几何证明之辅助线构造技巧：
1•假如作一条辅助线，能起到什么作用；
2.常作那些辅助线能与已知条件联系更紧密，且不破坏已知条件。
―、基础回顾
1.线段的中点：
耙一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。
2.若点C是线段A3的中点，贝0：
1从线段来看：
AC=BC=-AB；
2
2从点与点的相对位宜来看：
点C在点A、3之间，且点4、3关于点C对称。
3.三角形的中线：
连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点所得的线段叫做三角形的中线。
①一个三角形有三条中线;
②每条中线平分三角形的而枳;
3三角形的三条中线交于一点，每条中线被该点（重心）分成1:
2的两段:
4三角形的三条中线把三角形分成六个面积相等的小三角形。
几何“中点问题”七大模型
模型一
多个中点出现或平行+中点（中点在平行线上）时，常考虑或构造三角形中位线
1模型分析|在三角形中，如果冇中点，可构造三角形的中位线，利川三角形中位线的性质怎理-J）E//HC,口〃E
BC,△初EsZUBC.解决线段之间的相等或比例关
系及平行问题.
1.
如图■在口ABCD中,对角线AC与BD相交于点0.E
是边CD的中点，连接0E,若AABC二60。
■乙BAC=
80。
■则乙1的度数为
A.50°
B.40°
C.30°
D.20°
2.如图，M是AABC的边BC的中点,AN平分厶BAC.
丄于点N.且AB=8.MN=3•求AC的氏.
3.如图，在四边形ABCD中,AB二CD,M、NJP、Q分别是AD.BC.BDAC的屮点.
求证川N与PQ互相垂比平分
1.B2.4C=14.
3.证明：
如解图，顺次连接叭PN、
NQ、Q“,
•••点M、P分别足线段初、〃/丿的中点，是的中位线，
/.MP//ABH.=
同理,NQ//AB且=
MP〃/VQ且MP=NQ,四边形MPNQ是平行四边形，
又•••点P、N分别是线段BD、BC的中点，
P/V是△甌〃的中位线,
...PN=*CD,
又•••AB=Cl）,
:
.PN=PM,
•••平行四边形MPNQ是菱形，
/.WV与PQ互相垂直平分.
第3题解图
直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线等于斜边的一半”
遇到三角形一边垂线过这边中点时，可以考虑用垂直平分线
1模型分析I当一角形•边朮线过这边中点时」I以考虑用垂直平分线的性质得到：
朋=CE•证明线段间的数量关系.
1模型分析］是△"（：
的中线•则兀碱二兀宓=
*s5（因为勺ZUG）足两个等底同裔的三角形）
11.
在ZUBC中，点D&F分别为RC/D.CE的中点,
12.如图准边长为。
的正方形ABCD中上是AB的中
点,":
交4C于点F•则△⑶F的面积为（）
«s：
11.A12.B
（点E是弦.4〃的中点）（点C是G的中点）
1模型分析|
（1）関心。
足克径的中点•常•与已知中点连接•或过点O作一边的平行线或垂直构造中位线解題；
（2）圆中遇到弦的中点.联想“垂轻定理”.出现“四中点一垂査”解决相应问题；
（3）圆中遇到弧的中点.利用“一等四蒔”“垂径定理'解决相应问题・
13・如图是的直彳筑C是。
"上的一点4〃丄
HC于点〃•人C=6,则（）1）的长为（）
14.如图.AB是半圆0的直径，△磁的两边AC9HC分别交半関干〃•取且E为必的中点•已知乙“"；二50。
•则ZC=•
SS：
13B1465°
模型七
遇到三角形一边上的中点（中线或与中点有关的线段），考走倍长中线法构造全等三角形
1模型分析I半遇见屮线或者中点时•町以尝试用倍长中线法构造全等：
角形.ill明线段间的数就关条•该类?
0经常会Lj屮位线定理-起综合应用.
*G
第16题解图
【典例讲解】
1、如下图，在AABC中，AB二AC二&BC二6,H为BC边的中点，若MN丄AC于点N,则MN二
2、如下图，在平行四边形ABCD中，BC二2AB,CE丄AB于点E,F为AD的中点，若ZAEF二54°,则ZB二
3.如下图，在AABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE二AC,延长BE交AC于F,求证：
AF二EF
4、如下图，在四边形ABCD中，AB=CD,E,F分别是BC,AD的中点，延长BA和CD分别与EF的延长线交于K,H.求证：
ZBKE=ZCHE.
【梢品练习题】
1、如下图，AABC中，AB=5,AC二3,则中线AD的取值范围是
2、如下图，D是AABC内一点，BD丄CD,AD=12,BD=8,CD=6,E、F、G.H分别是AB、AC、CD、BD的中点,则四边形EFGH的周长是（）
A
5
A.14B.18C.20D.22
3、如下图，AABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF丄AE于F,AB=5,AC=2,则DF的长为
4、如下图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD〃BC,AD=2BC,ZABD=90°,E为AD的中点，连接BE・
（1）求证：
四边形BCDE为菱形：
（2）连接AC,若AC平分ZBAD,BC=1,求AC的长.
【作业】
1、如下图，在矩形ABCD中，点E为AB的中点，EF丄EC交AD于点F,连接CF（AD>AE）,下列结论:
1ZAEF二ZBCE；
2AF+BOCF：
3SACEF=SAEAF+SACBE；
4若BC：
CD=V3：
2,则厶CEF^ACDF・
其中正确的结论是・（填写所有正确结论的序号）
3、如图，四边形ABGC为圆内接四边形，E.F是AB、AC上两点，且满足BE=BG,CF=CG,已知M是EF中点,连接BM,CM.
求证：
BH丄CM。
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