中考数学压轴题专题 动点问题.docx
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中考数学压轴题专题动点问题
2012 年全国中考数学（续 61 套）压轴题分类解析汇编
专题 01：
动点问题
25. （2012 吉林长春 10 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，
D、E 分别为边 AB、BC 的中点，连结 DE，点 P 从点 A 出发，沿折线 AD－DE－EB 运
动，到点 B 停止．点 P 在 AD 上以cm/s 的速度运动，在折线 DE－EB 上以 1cm/s
的速度运动．当点 P 与点 A 不重合时，过点 P 作
PQ⊥AC 于点 Q，以 PQ 为边作正方形 PQMN，使点 M 落在线段 AC 上．设点 P 的运动
时间为 t（s）.
（1）当点 P 在线段 DE 上运动时，线段 DP 的长为______cm,（用含 t 的代数式表
示）．
（2）当点 N 落在 AB 边上时，求 t 的值．
（3）当正方形 PQMN 与△ABC 重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为 S（cm2），
求 S 与 t 的函数关系式．
（4）连结 CD．当点 N 于点 D 重合时，有一点 H 从点 M 出发，在线段 MN 上以 s 的
速度沿 M-N-M 连续做往返运动，直至点 P 与点 E 重合时，点 H 停止往返运动；当
点 P 在线段 EB 上运动时，点 H 始终在线段 MN 的中心处．直接写出在点 P 的整个
运动过程中，点 H 落在线段 CD 上时 t 的取值范围．
【答案】解：
（1）t－2。
（2）当点 N 落在 AB 边上时，有两种情况：
①如图
（2）a，当点 N 与点 D 重合时，此时点 P 在 DE 上，DP=2=EC，
即 t－2=2，t=4。
②如图
（2）b，此时点 P 位于线段 EB 上．
∵DE=1 2 AC=4，∴点 P 在 DE 段的运动时间为 4s，
∴PE=t-6，∴PB=BE-PE=8-t，PC=PE+CE=t-4。
∵PN∥AC ， ∴△BNP∽△BAC 。
∴PN ：
AC = PB ：
BC=2 ，
∴PN=2PB=16-2t。
由 PN=PC，得 16-2t=t-4，解得 t= 20 。
3
综上所述，当点 N 落在 AB 边上时，t=4 或 t= 20 。
3
（3）当正方形 PQMN 与△ABC 重叠部分图形为五边形时，有两种情况：
①当 2＜t＜4 时，如图（3）a 所示。
DP=t-2，PQ=2，∴CQ=PE=DE-DP=4-（t-2）=6-t，AQ=AC-CQ=2+t，
AM=AQ-MQ=t。
∵MN∥BC，∴△AFM∽△ABC。
∴FM：
BC = AM：
AC=1：
2，即 FM：
AM=BC：
AC=1：
2。
∴FM= 1 AM= 1 t．
22
1
2
1
2
AM ⋅ FM
1111
2224
②当 20 ＜t＜8 时，如图（3）b 所示。
3
PE=t-6，∴PC=CM=PE+CE=t-4，AM=AC-CM=12-t，PB=BE-PE=8-t，
∴FM= 1 AM=6- 1 t，PG=2PB=16-2t，
22
11
22
= 1 （12 - t）（ - 15 t 2 + 22t - 84 。
2224
⎧ 1 2
综上所述，S 与 t 的关系式为：
S = ⎨。
20
⎪ 43
梯形AQPD - S
（4）在点 P 的整个运动过程中，点 H 落在线段 CD 上时 t 的取值范
围是：
t= 14 或 t=5 或
3
6≤t≤8。
【考点】 动点问题上，相似形综合题，勾股定理，相似三角形的判定和性质，梯
形和三角形的面积。
【分析】
（1）∵在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，∴由勾股定理得
AB= 4 5 cm。
∵D 为边 AB 的中点，∴AD= 2 5 cm。
又∵点 P 在 AD 上以 5 cm/s 的速度运动，∴点 P 在 AD 上运动的时
间为 2s。
∴当点 P 在线段 DE 上运动时，在线段 DP 上的运动的时间为 t－2s。
又∵点 P 在 DE 上以 1cm/s 的速度运动，∴线段 DP 的长为 t－2 cm。
（2）当点 N 落在 AB 边上时，有两种情况，如图
（2）所示，利用运动线
段之间的数量关系求出时间 t 的值。
（3）当正方形 PQMN 与△ABC 重叠部分图形为五边形时，有两种情况，如
图（3）所示，分别用时间 t 表示各相关运动线段的长度，然后利用 S = S
∆AMF
求出面积 S 的表达式。
（4）本问涉及双点的运动，首先需要正确理解题意，然后弄清点 H、点
P 的运动过程：
依题意，点 H 与点 P 的运动分为两个阶段，如下图所示：
①当 4＜t＜6 时，此时点 P 在线段 DE 上运动，如图（4）a 所示。
此阶段点 P 运动时间为 2s，因此点 H 运动距离为×2=5cm，而 MN=2，
则此阶段中，点 H 将有两次机会落在线段 CD 上：
第一次：
此时点 H 由 M→H 运动时间为（t－4）s，运动距离 MH=（t
－4），
∴NH=2－MH=12－。
又 DP=t-2，DN=DP－2=t－4，
由 DN=2NH 得到：
t－4=2（12－），解得 t= 14 。
3
第二次：
此时点 H 由 N→H 运动时间为 t－4－ 2 =（t－）s，运动距
2.5
离 NH=（t－）=－12，
又 DP=t-2，DN=DP－2=t－4，
由 DN=2NH 得到：
t－4=2（－12），解得 t=5。
②当 6≤t≤8 时，此时点 P 在线段 EB 上运动，如图（4）b 所示。
由图可知，在此阶段，始终有MH= 1 MC，即 MN 与 CD 的交点始终为线
2
段 MN 的中点，即点 H。
综上所述，在点 P 的整个运动过程中，点 H 落在线段 CD 上时 t 的取
值范围是：
t= 14 或 t=5 或 6≤t≤8。
3
26. （2012 黑龙江哈尔滨 10 分）如图，在平面直角坐标系中，点 0 为坐标原点，
直线 y=2x+4 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，四边形 ABCO 是平行四边形，直线 y=
－x+m 经过点 C，交 x 轴于点 D．
（1）求 m 的值；
（2）点 P（0，t）是线段 OB 上的一个动点（点 P 不与 0，B 两点重合），过点 P 作 x
轴的平行线，分别交 AB，0c，DC 于点 E，F，G．设线段 EG 的长为 d，求 d 与 t 之
间的函数关系式 （直接写出自变量 t 的取值范围）； （3）在
（2）的条件下，点 H
是线段 OB 上一点，连接 BG 交 OC 于点 M，当以 OG 为直径的圆经过点 M 时，恰好使
∠BFH=∠ABO．求此时 t 的值及点 H 的坐标．
【答案】解：
（1）如图，过点 C 作 CK⊥x 轴于 K，
∵y=2x+4 交 x 轴和 y 轴于 A，B，
∴A（－2，0）B（0，4）。
∴OA=2，OB=4。
∵ 四 边 形 ABCO 是 平 行 四 边 形 ，
∴BC=OA=2 。
又∵四边形 BOKC 是矩形，
∴OK=BC=2，CK=OB=4。
∴C（2，4）。
将 C（2，4）代入 y=－x+m 得，4=－2+m，解
得 m=6。
（2）如图，延长 DC 交 y 轴于 N，分别过点 E，G 作
x 轴的垂线 垂足分别是 R，Q，则四边形 ERQG、四边形 POQG、四边形 EROP 是矩形。
∴ER=PO=CQ=1。
∵ tan∠BAO = ER = OB ，即 t = 4 ，∴AR= 1 t。
AROAAR22
∵y=－x+6 交 x 轴和 y 轴于 D，N，∴OD=ON=6。
∴∠ODN=45°。
∵ tan∠ODN = GQ ，∴DQ=t。
QD
又∵AD=AO+OD=2+6=8，∴EG=RQ=8－ 1 t－t=8－ 3 t。
22
∴d=－ 3 t+8（0＜t＜4）。
2
（3）如图，∵四边形 ABCO 是平行四边
形，
∴AB∥OC。
∴∠ABO=∠BOC。
∵BP=4－t，
∴ tan∠ABO = EP = tan∠BOC = 1 。
BP2
∴EP= 4 - t 。
2
由
（2）d=－ 3 t+8，∴PG=d－EP=6－t。
2
∵以 OG 为直径的圆经过点 M，∴∠OMG=90°，∠MFG=∠PFO。
∴∠BGP=∠BOC。
∴ tan∠BGP = BP = tan∠BOC = 1 。
∴ 4 - t = 1 ，解得 t=2。
PG26 - t2
∵∠BFH=∠ABO=∠BOC，∠OBF=∠FBH，∴△BHF∽△BFO。
∴ BH = BF ，即 BF2=BHBO。
BFBO
∵OP=2，∴PF=1，BP=2。
∴ BF = BP2 + PF2 = 5 。
∴ （
5
） =BH×4。
∴BH= 5 。
∴HO=4－ 5 = 11 。
4 4 4
∴H（0， 11 ）。
4
【考点】 一次函数综合题，直线上点的坐标与方程的关系，平行四边形和矩形的
性质，平行的性质，锐角三角函数定义，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的
判定和性质。
【分析】
（1）根据直线 y=2x+4 求出点 A、B 的坐标，从而得到 OA、OB 的长度，再
根据平行四边形的对边相等求出 BC 的长度，过点 C 作 CK⊥x 轴于 K，从而得到四
边形 BOKC 是矩形，根据矩形的对边相等求出 KC 的长度，从而得到点 C 的坐标，
然后把点 C 的坐标代入直线即可求出 m 的值。
（2）延长 DC 交 y 轴于 N 分别过点 E，G 作 x 轴的垂线 垂足分别是 R，Q
则四边形 ERQG、四边形 POQG、四边形 EROP 是矩形，再利用∠BAO 的正切值求出
AR 的长度，利用∠ODN 的正切值求出 DQ 的长度，再利用 AD 的长度减去 AR 的长度，
再减去 DQ 的长度，计算即可得解。
（3）根据平行四边形的对边平行可得 AB∥OC，再根据平行线内错角相等
求出∠ABO=∠BOC，用 t 表示出 BP，再根据∠ABO 与∠BOC 的正切值相等列式求出
EP 的长度，再表示出PG 的长度，然后根据直径所对的圆周角是直角可得
∠OMC=90°，根据直角推出∠BGP=∠BOC，再利用∠BGP 与∠BOC 的正切值相等列
式求解即可得到 t 的值；先根据加的关系求出∠OBF=∠FBH，再判定△BHF 和△BFO
相似，根据相似三角形对应边成比例可得 BH = BF ，再根据 t=2 求出 OP=2，PF=1，
BFBO
BP=2，利用勾股定理求出 BF 的长度，代入数据进行计算即可求出 BH 的值，然后
求出 HO 的值，从而得到点 H 的坐标。
27. （2012 湖南永州 10
在ABC 中，点 P 从 B 点开始出发向 C 点运动，在运动过程中，设线段
AP 的长为 y，线段 BP 的长为 x（如图甲），而 y 关于 x 的函数图象如图乙所示．Q（1， 3 ）是函
数图象上的最低点．请仔细观察甲、乙两图，解答下列问题．
（1）请直接写出 AB 边的长和 BC 边上的高 AH 的长；
（2）求∠B 的度数；
（
）若ABP 为钝角三角形，求 x 的取值范围．
【答案】解：
（1）AB=2；AH= 3 。
（2）在
ABH 中，AH= 3 ，BH=1，tan∠B= 3 ，∴∠B=60°。
（3）①当∠APB 为钝角时，此时可得 x＜1；
②当∠BAP 为钝角时，
过点 A 作 AP⊥AB 交 BC 于点 P。
2
==4 ，∴当 4＜x≤6 时，∠BAP 为钝角。
cos∠B1
2
综上所述，当 x＜1 或 4＜x≤6 时，△ABP 为钝角三角形。
【考点】动点问题的函数图象，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】
（1）当 x=0 时，y 的值即是 AB 的长度，故 AB=2；，图乙函数图象的最低点的 y 值是 AH
的值，故 AH= 3 。
（2）当点 P 运动到点 H 时，此时 BP（H）=1，AH= 3 ，在
ABH 中，可得出∠B 的度
数。
（3）分两种情况进行讨论，①∠APB 为钝角，②∠BAP 为钝角，分别确定
x 的范围即可。
28. （2012 湖南衡阳 10 分）如图，A、B 两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点 P 由点 B 出发
沿 BA 方向向点 A 作匀速直线运动，速度为每秒 3 个单位长度，点 Q 由 A 出发沿 AO（O 为坐标原点）
方向向点 O 作匀速直线运动，速度为每秒 2 个单位长度，连接 PQ，若设运动时间为 t（0＜t＜
10
3
）
秒．解答如下问题：
（1）当 t 为何值时，PQ∥BO
（
）设AQP 的面积为 S，
①求 S 与 t 之间的函数关系式，并求出 S 的最大值；
②若我们规定：
点 P、Q 的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则新坐标（x2﹣x1，y2﹣y1）称为“向
量 PQ”的坐标．当 S 取最大值时，求“向量 PQ”的坐标．
【答案】解：
（1）∵A、B 两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），则 OB=6，OA=8。
∴ AB = OB2 + OA2 = 62 + 82 = 10 。
如图①，当 PQ∥BO 时，AQ=2t，BP=3t，则 AP=10﹣3t。
∵PQ∥BO，∴
AP AQ 10 - 3t 2t 20
= ，即 。
AB AO 10 5 11
∴当 t=
20
11
秒时，PQ∥BO。
（2）由
（1）知：
OA=8，OB=6，AB=10．
①如图②所示，过点 P 作 PD⊥x 轴于点 D，则 PD∥BO。
∴△APD∽△ABO。
PD10 - 3tPD9
=，即，解得 PD=6﹣t。
ABOB1065
11⎛9 ⎫9 ⎛5 ⎫2
22⎝5 ⎭55 ⎝3 ⎭
95 210
∴S 与 t之间的函数关系式为：
S=t+5 （0＜t＜）。
533
5
∴当 t= 秒时，S 取得最大值，最大值为 5（平方单位）。
3
5
②如图②所示，当 S 取最大值时，t= ，
3
91
∴PD=6 ﹣t=3，∴PD=BO 。
52
1
又 PD ∥BO ，∴此时 PD 为△OAB 的中位线，则 OD=OA=4 。
∴P（4，3）。
2
101414
又 AQ=2t=，∴OQ=OA﹣AQ=，∴Q （，0）。
333
142
依题意，“向量 PQ”的坐标为（﹣4，0﹣3），即（，﹣3）．
33
2
∴当 S 取最大值时，“向量 PQ”的坐标为（，﹣3）。
3
【考点】 动点问题，平行线分线段成比例，二次函数的最值，勾股定理，三角形
中位线定理。
（
【分析】1）如图①所示，当 PQ ∥BO 时，利用平分线分线段成比例定理，列线段比例式
AP AQ
AB AO
，
求出 t的值。
（2）①求 S 关系式的要点是求得△AQP 的高，如图②所示，过点 P 作过点 P 作 PD ⊥x 轴于点
D ，构造平行线 PD ∥BO ，由△APD ∽△ABO 得
AP PD
AB OB
求得 PD ，从而 S 可求出．S 与 t之间的
函数关系式是一个关于 t的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出 S 的最大值。
②求出点 P、Q 的坐标：
当 S 取最大值时，可推出此时 PD 为△OAB 的中位线，
从而可求出点 P 的纵横坐标，又易求 Q 点坐标，从而求得点 P、Q 的坐标；求得 P、
Q 的坐标之后，代入“向量 PQ”坐标的定义（x ﹣x ，y ﹣y ），即可求解。
2121
29.（2012 湖南株洲 8
如图，在ABC 中，∠C=90°，BC=5 米，AC=12 米．M 点在线段 CA 上，
从 C 向 A 运动，速度为 1 米/秒；同时 N 点在线段 AB 上，从 A 向 B 运动，速度为 2 米/秒．运动时
间为 t秒．
（1）当 t为何值时，∠AMN= ∠ANM
（2）当 t为何值时，AMN的面积最大并求出这个最大值．
【答案】解：
（1）∵从 C 向 A 运动，速度为 1 米/秒；同时 N 点在线段 AB 上，从 A 向 B 运动，速
度为 2 米/秒，运动时间为 t 秒，
∴AM=12﹣t，AN=2t。
∵∠AMN=∠ANM，∴AM=AN，即 12﹣t=2t，解得：
t=4 秒。
∴当 t 为 4 时，∠AMN=∠ANM。
（2）如图作 NH⊥AC 于 H，
∴∠NHA=∠C=90°。
∴NH∥BC。
∴△ANH∽△ABC。
∴
AN NH 2t NH 10
= ，即 = 。
∴NH= t 。
AB BC 13 5 13
180
t= -t +t= -
21313131313
。
180
∴当 t=6 时，△AMN 的面积最大，最大值为。
13
【考点】动点问题，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值。
【分析】
（1）用 t 表示出 AM 和 AN 的值，根据 AM=AN，得到关于 t 的方程求得 t 值即可。
（2）作 NH⊥AC 于 H，证得△ANH∽△ABC，从而得到比例式，然后用 t 表
示出 NH，从而计算其面积得到有关 t 的二次函数求最值即可。
30. （2012 湖南湘潭 10 分）如图，在⊙O 上位于直径 AB 的异侧有定点 C 和动点 P，AC=AB，点 P
在半圆弧 AB 上运动（不与 A、B 两点重合），过点 C 作直线 PB 的垂线 CD 交 PB 于 D 点．
（1）如图
，求证：
PCD∽△ABC；
（2）当点 P 运动到什么位置时，△PCD≌△ABC 请在图 2 中画出△PCD 并说明理由；
（3）如图 3，当点 P 运动到 CP⊥AB 时，求∠BCD 的度数．
【答案】解：
（1）证明：
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°。
∵PD⊥CD，∴∠D=90°。
∴∠D=∠ACB。
∵∠A 与∠P 是 BC 所对的圆周角，∴∠A=∠P，∴△PCD∽△ABC。
（2）当 PC 是⊙O 的直径时，△PCD≌△ABC。
理由如下：
∵AB，PC 是⊙O 的半径，∴AB=PC。
∵△PCD∽△ABC，∴△PCD≌△ABC。
画图如下：
（3）∵∠ACB=90°，AC=AB，∴∠ABC=30°。
∵CP⊥AB，AB 是⊙O 的直径，∴ AC = AP 。
∴∠ACP=∠ABC=30°。
数，又由垂径定理，求得 AC = AP ，然后利用圆周角定理求得∠ACP 的度数，从而求得答案。
．．
∵△PCD∽△ABC，∴∠PCD=∠ABC=30°。
»»
∴∠BCD=∠AC﹣∠ACP﹣∠PCD=90°﹣30°﹣30°=30°。
【考点】圆周角定理，全等三角形的判定，垂径定理，相似三角形的判定和性质。
（
【分析】1）由 AB 是⊙O 的直径，根据直径对的圆周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由 PD⊥CD，
可得∠D=∠ACB，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠A=∠P，根据有
两角对应相等的三角形相似，即可判定：
△PCD∽△ABC。
（
）由PCD∽△ABC，可知当 PC=AB 时，△PCD≌△ABC，利用相似比等于 1 的相似三
角形全等即可求得。
（3）由∠ACB=90°，AC=AB，可求得∠ABC 的度数，然后利用相似，即可得∠PCD 的度
»»
31. （2012 福建漳州 14 分）如图，在OABC 中，点 A 在 x 轴上，∠AOC=60o，
OC=4cm．OA=8cm．动
点 P 从点 O 出发，以 1cm／s 的速度沿线段 OA→AB 运动；动点 Q 同时从点 O 出发，
以
acm／s 的速度沿线段 OC→CB 运动，其中一点先到达终点 B 时，另一点也随之停止
运
动 ．
设运动时间为 t 秒．
（1）填空：
点 C 的坐标是（______，______），对角线 OB 的长度是_______cm；
（2）当 a=1 时，设△OPQ 的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式，并直接写出当 t
为何值时，S 的值最大
（3）当点 P 在 OA 边上，点 Q 在 CB 边上时，线段 PQ 与对角线 OB 交于点 M.若以
O、M、P 为顶点的三角形与△OAB 相似，求 a 与 t 的函数关系式，并直接写出 t 的
取值范围．
【答案】解：
（1）C（2，2 3 ），OB=4 7 cm。
（2）①当 0
过点 Q 作 QD⊥x 轴于点 D（如图 1），则
QD= 3 t。
2
∴S= 1 OP·QD= 3 t2。
24
②当 4
作 QE⊥x 轴于点 E（如图 2），则
QE=2 3 。
∴S = 1 DP·QE= 3 t。
2
③当 8
延长 QP 交 x 轴于点 F，过点 P 作 PH⊥AF 于点 H（如图 3）。
易证△PBQ 与△PAF 均为等边三角
形，
∴OF=OA+AP=t ， AP=t － 8 。
∴PH= 3 （t－8）。
2
∴ S = S
∆OPF
= 1 t·2 3 － 1 t· 3 （t－8）
2 2 2
=－ 3 t2+3 3 t。
4
⎧ 3
⎪
综上所述， S = ⎪⎨ 3t （4 < t ≤ 8）
。
⎪
⎪- 3 t 2 + 3 3t （8 < t < 12）
⎪⎩4
∵①②中 S 随 t 的增加而增加，
③中 S = - 3 t 2 + 3 3t= -3 （t - 6）2 + 9 3 ，S 随 t 的增加而减小，
44
∴当 t=8 时，S 最大。
（3）①当△OPM∽△OAB 时（如图 4），则 PQ∥AB。
∴CQ=OP。
∴at－4=t，即 a=1+ 4 。
t 的取值范围是
t
0
②当△OPM∽△OBA 时（如图 5），
则 O
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