届高三理科数学备考天津卷十年真题分类汇编6数列.docx

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届高三理科数学备考天津卷十年真题分类汇编6数列

6数列

一．基础题组

1.【2005天津，理13】在数列

中，

，

且

则

__________。

【答案】2600

【解析】当为奇数时，

；当为偶数时，

因此，数列

的奇数各项都是1，偶数项成公差为2的等差数列

本题答案填写：

2600

2.【2006天津，理7】已知数列

、

都是公差为1的等差数列，其首项分别为

、

，且

，

．设

（

），则数列

的前10项和等于（　　）

A．55　　　　B．70　　　　　C．85　　　　　D．100

【答案】C

3.【2006天津，理16】设函数

，点

表示坐标原点，点

，若向量

，

是

与的夹角，（其中

），设

，则

=．

【答案】1

【解析】设函数

，点

表示坐标原点，点

，若向量

=

，

是

与的夹角，

（其中

），设

，则

=1．

4.【2007天津，理8】设等差数列

的公差

不为0

.若

是

与

的等比中项，则

（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【解析】

5.【2007天津，理13】设等差数列

的公差

是2，前项的和为

则

.

【答案】3

【解析】

根据题意知

代入极限式得

6.【2008天津，理15】已知数列

中，

，则

.

【答案】

【解析】

所以

.

7.【2009天津，理6】设a＞0,b＞0.若

是3a与3b的等比中项,则

的最小值为（）

A.8B.4C.1D.

【答案】B

【解析】

是3a与3b的等比中项

3a·3b＝3

3a+b＝3

a+b＝1,∵a＞0,b＞0,∴

.∴

.

8.【2010天津，理6】已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列

的前5项和为（　　）

A.

或5B.

或5C.

D.

【答案】C　

∴9S3＝S3＋S3·q3得q3＝8，解得q＝2.

∴{

}是首项为1，公比为

的等比数列．

∴其前5项和为

9.【2011天津，理4】已知

为等差数列，其公差为-2，且

是

与

的等比中项，

为

的前项和，

，则

的值为

A．-110　　B．-90　　C．90　D．110

【答案】D.

【解析】∵

，∴

，解之得

，

∴

.

10.【2014天津，理11】设

是首项为

，公差为

的等差数列，

为其前项和．若

成等比数列，则

的值为__________．

【答案】

．

【解析】

试题分析：

依题意得

，∴

，解得

．

考点：

1．等差数列、等比数列的通项公式；2．等比数列的前项和公式．

11.【2017天津，理18】（本小题满分13分）

已知

为等差数列，前n项和为

，

是首项为2的等比数列，且公比大于0，

，

，

．

（Ⅰ）求

和

的通项公式；

（Ⅱ）求数列

的前n项和

．

【答案】（Ⅰ）

，

；（Ⅱ）

．

由

，可得

①．

由

，可得

②，

联立①②，解得

，

，由此可得

．

所以，数列

的通项公式为

，数列

的通项公式为

．

所以，数列

的前项和为

．

【考点】等差数列、等比数列、数列求和

【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和的方法有倒序相加法、错位相减法、裂项相消法和分组求和法等，本题考查的是错位相减法求和．

二．能力题组

1.【2005天津，理18】已知：

。

（Ⅰ）当a=b时，求数列{

}的前n项和

；

（Ⅱ）求

。

【答案】（Ⅰ）若

，

若

，则

（Ⅱ）当

时，，

当

时，

【解析】解：

（I）当

时，

，它的前项和

①

①两边同时乘以，得

②

当

时，设

（

），则：

此时：

当

时，即

时，

当

时，即

时，

2.【2006天津，理21】已知数列

满足

，并且

（

为非零参数，

）．

（1）若

成等比数列，求参数

的值；

（2）当

时，证明

；

当

时，证明

.

【答案】

（1）

（2）（I）详见解析，（II）详见解析

（III）证明：

当

时，由（II）可知

又由（II）

则

从而

因此

3.【2012天津，理18】已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10．

（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；

（2）记Tn＝anb1＋an－1b2＋…＋a1bn，n∈N*，证明Tn＋12＝－2an＋10bn（n∈N*）．

【答案】

（1）an＝3n－1，bn＝2n，

（2）详见解析

【解析】解：

（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d．

由条件，得方程组

解得

所以an＝3n－1，bn＝2n，n∈N*．

（方法二：

数学归纳法）

①当n＝1时，T1＋12＝a1b1＋12＝16，－2a1＋10b1＝16，故等式成立；

②假设当n＝k时等式成立，即Tk＋12＝－2ak＋10bk，则当n＝k＋1时有：

Tk＋1＝ak＋1b1＋akb2＋ak－1b3＋…＋a1bk＋1

＝ak＋1b1＋q（akb1＋ak－1b2＋…＋a1bk）

＝ak＋1b1＋qTk

＝ak＋1b1＋q（－2ak＋10bk－12）

＝2ak＋1－4（ak＋1－3）＋10bk＋1－24

＝－2ak＋1＋10bk＋1－12，

即Tk＋1＋12＝－2ak＋1＋10bk＋1，因此n＝k＋1时等式也成立．

由①和②，可知对任意n∈N*，Tn＋12＝－2an＋10bn成立．

4.【2013天津，理19】已知首项为

的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn（n∈N*），且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设Tn＝

（n∈N*），求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值．

【答案】（Ⅰ）

；（Ⅱ）最大项的值为

，最小项的值为

.

【解析】解：

（1）设等比数列{an}的公比为q，

因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，

所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，

即4a5＝a3，于是

.

故

.

当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，所以

＝S2≤Sn＜1，

故

.

综上，对于n∈N*，总有

.

所以数列{Tn}最大项的值为

，最小项的值为

.

5.【2014天津，理19】已知和均为给定的大于1的自然数．设集合

，集合

．

（Ⅰ）当

，

时，用列举法表示集合

；

（Ⅱ）设

，

，

，其中

证明：

若

，则

．

【答案】（Ⅰ）

；（Ⅱ）详见试题分析．

【解析】

试题分析：

（Ⅰ）当

时，

采用列举法可得集合

；（Ⅱ）先由已知写出及的表达式：

，

，再作差可得

，放缩

．

考点：

1．集合的含义与表示；2．等比数列的前项和公式；3．不等式的证明．

6.【2015高考天津，理18】（本小题满分13分）已知数列

满足

，且

成等差数列.

（I）求的值和

的通项公式；

（II）设

，求数列

的前项和.

【答案】（I）

;（II）

.

【解析】（I）由已知，有

，即

，

所以

，又因为

，故

，由

，得

，

当

时，

，

当

时，

，

所以

的通项公式为

所以数列

的前项和为

.

【考点定位】等差数列定义、等比数列及前项和公式、错位相减法求和.

三．拔高题组

1.【2007天津，理21】在数列

中

N

其中

.

（I）求数列

的通项公式；

（II）求数列

的前项和

；

（III）证明存在

N使得

对任意

N均成立.

【答案】

（I）

（II）当

时，

当

时，

（III）证明（略）

【解析】

（I）解法一：

，

，

.

这就是说，当

时等式也成立.根据

（1）和

（2）可知，等式

对任何

N都成立.

解法二：

由

N

可得

学*

所以

为等数列，其公差为1，首项为0.故

所以数列

的通项公式为

（II）解：

设

①

②

当

时，①式减去②式，得

这时数列

的前项和

当

时，

这时数列

的前项和

所以③式成立.

因此，存在

使得

对任意

N均成立.

2.【2008天津，理22】在数列

与

中，

，数列

的前项和

满足

为

与

的等比中项，

.

（Ⅰ）求

的值；

（Ⅱ）求数列

与

的通项公式；

（Ⅲ）设

.证明：

.

【答案】（I）

．（II）

，

，（Ⅲ）详见解析

【解析】（Ⅰ）解：

由题设有

，

，解得

．由题设又有

，

，解得

．

（Ⅱ）解法一：

由题设

，

，

，及

，

，进一步可得

，

，

，

，猜想

，

，

．

先证

，

．

当

时，

，等式成立．当

时用数学归纳法证明如下：

（1当

时，

，等式成立．

（2）假设

时等式成立，即

，

．

由题设，

．

这就是说，当

时等式也成立．根据

（1）和

（2）可知，等式

对任何的

都成立．

解法二：

由题设

①的两边分别减去②的两边，整理得

，

．所以

，

，

　　　　　　　　……

，

，

　　　　　　　　……

，

．

将以上各式左右两端分别相乘，得

，化简得

，

．

由（Ⅰ），上式对

也成立．所以

，

．

上式对

时也成立．

以下同解法二，可得

，

．

（Ⅲ）证明：

．

当

，

时，

．

注意到

，故

．

从而

时，有

总之，当

时有

，即

．

3.【2009天津，理22】已知等差数列{an}的公差为d（d≠0）,等比数列{bn}的公比为q（q＞1）.设Sn＝a1b1+a2b2+…+anbn,Tn＝a1b1－a2b2+…+（－1）n－1anbn,n∈N*.

（1）若a1＝b1＝1,d＝2,q＝3,求S3的值;

（2）若b1＝1,证明

n∈N*;

（3）若正整数n满足2≤n≤q,设k1,k2,…,kn和l1,l2,…,ln是1,2,…,n的两个不同的排列,

证明c1≠c2.

分析:

本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识,考查运算能力、推理论证能力及综合分析和解决问题的能力.

【答案】（Ⅰ）55.；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析

所以,

（1－q）S2n－（1+q）T2n＝（S2n－T2n）－q（S2n+T2n）

＝2d（q+q3+…+q2n－1）

n∈N*.

（3）证明:

＝（k1－l1）db1+（k2－l2）db1q+…+（kn－ln）db1qn－1.

因为d≠0,b1≠0,所以

.

①若k