学年高中数学第二章参数方程24一些常见曲线的参数方程学案新人教B版选修44.docx

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学年高中数学第二章参数方程24一些常见曲线的参数方程学案新人教B版选修44

2.4一些常见曲线的参数方程

[读教材·填要点]

1．摆线的概念

一圆周沿一直线无滑动滚动时，圆周上的一定点的轨迹称为摆线，摆线又叫旋轮线．

2．渐开线的概念

把一条没有弹性的细绳绕在一个固定不动的圆盘的侧面上，把绳拉紧逐渐展开，绳的外端点随之移动，且绳的拉直部分始终和圆相切．绳的端点移动的轨迹就是一条圆的渐开线，固定的圆称为渐开线的基圆．

3．圆的渐开线和摆线的参数方程

（1）摆线的参数方程：

.

（2）圆的渐开线方程：

.

[小问题·大思维]

1．摆线的参数方程中，字母a和参数t的几何意义是什么？

提示：

字母a是指定圆的半径，参数t是指圆滚动时转过的角度．

2．渐开线方程中，字母a和参数t的几何意义是什么？

提示：

字母a是指基圆的半径，参数t是指OA―→和x轴正向所成的角（A是绳拉直时和圆的切点）．

求圆的摆线的参数方程

[例1]　已知一个圆的摆线过一定点（2,0），请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程．

[思路点拨]　本题考查圆的摆线的参数方程的求法．解答本题需要搞清圆的摆线的参数方程的一般形式，然后将相关数据代入即可．

[精解详析]　令y＝0，可得a（1－cost）＝0，

由于a>0，

即得cost＝1，所以t＝2kπ（k∈Z）．

代入x＝a（t－sint），得x＝a（2kπ－sin2kπ）．

又因为x＝2，所以a（2kπ－sin2kπ）＝2，

即得a＝（k∈Z）．

又a>0，所以a＝（k∈N＋）．

易知，当k＝1时，a取最大值为.

代入即可得圆的摆线的参数方程为

（t为参数）．

由圆的摆线的参数方程的形式可知，只要确定了摆线生成圆的半径，就能确定摆线的参数方程．要确定圆的半径，通常的做法有：

①根据圆的性质或参数方程（普通方程）确定其半径；②利用待定系数法，将摆线上的已知点代入参数方程，从而确定半径．

1．圆的半径为r，沿x轴正向滚动，圆与x轴相切于原点O.圆上点M起始处沿顺时针已偏转φ角．试求点M的轨迹方程．

解：

xM＝r·θ－r·cos（φ＋θ）－＝r[θ－sin（φ＋θ）]，

yM＝r＋r·sin＝r[1－cos（φ＋θ）]．

∴点M的参数方程为（θ为参数）.

求圆的渐开线的参数方程

[例2]　求半径为4的圆的渐开线的参数方程．

[思路点拨]　本题考查圆的渐开线的参数方程的求法．解答本题需要搞清圆的渐开线的参数方程的一般形式，然后将相关字母的取值代入即可．

[精解详析]　以圆心为原点O，绳端点的初始位置为M0，向量的方向为x轴正方向，建立坐标系．设渐开线上的任意点M（x，y），绳拉直时和圆的切点为A，故OA⊥AM.按渐开线定义，的长和线段AM的长相等．记和x轴正向所夹的角为θ（以弧度为单位），则|AM|＝＝4θ.

作AB垂直于x轴，过M点作AB的垂线．由三角和向量知识，得

＝（4cosθ，4sinθ）．

由几何知识知∠MAB＝θ，

＝（4θsinθ，－4θcosθ），

得＝＋

＝（4cosθ＋4θsinθ，4sinθ－4θcosθ）

＝（4（cosθ＋θsinθ），4（sinθ－θcosθ））．

又＝（x，y），

所以有

这就是所求圆的渐开线的参数方程．

解本题，关键是根据渐开线的生成过程，归结到向量知识和三角的有关知识，建立等式关系．

用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤：

（1）建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为M（x，y）．

（2）取定运动中产生的某一角度为参数．

（3）用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式．

（4）用向量运算得到OM―→的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程．

2．渐开线（0≤t≤2π）的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的曲线的焦点坐标为________________．

解析：

根据圆的渐开线方程可知基圆的半径a＝6，其方程为x2＋y2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的曲线的方程为2＋y2＝36，整理可得＋＝1.这是一个焦点在x轴上的椭圆，其中c＝＝＝6，故焦点坐标为（6，0）和（－6，0）．

答案：

（6，0），（－6，0）

渐开线与摆线的参数方程的应用

[例3]　设圆的半径为8，沿x轴正向滚动，开始时圆与x轴相切于原点O，记圆上动点为M，它随圆的滚动而改变位置．写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上点的纵坐标y的最大值，说明该曲线的对称轴．

[思路点拨]　本题考查摆线的参数方程的求法及应用．解答本题需要先分析题意，搞清M点的轨迹的形状，然后借助图象求得最值．

[精解详析]　轨迹曲线的参数方程为

　　0≤t≤2π.

当t＝π时，即x＝8π时，y有最大值16.

曲线的对称轴为x＝8π.

摆线的参数方程是三角函数的形式，可考虑其性质与三角函数的性质有类似的地方．

3．已知圆C的参数方程是和直线l对应的普通方程是x－y－6＝0.

（1）如果把圆心平移到原点O，请问平移后圆和直线满足什么关系？

（2）写出平移后圆的摆线方程．

（3）求摆线和x轴的交点．

解：

（1）圆C平移后圆心为O（0,0），它到直线x－y－6＝0的距离为d＝＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．

（2）由于圆的半径是6，所以可得摆线方程是

（3）令y＝0，得6－6cost＝0⇒cost＝1.

所以t＝2kπ（k∈Z）．

代入x，得x＝12kπ（k∈Z），

即圆的摆线和x轴的交点为（12kπ，0）（k∈Z）．

[对应学生用书P39]

一、选择题

1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是（　　）

A．只有圆才有渐开线

B．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形

C．正方形也可以有渐开线

D．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同

解析：

选C　本题主要考查渐开线和摆线的基本概念．不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线，渐开线和摆线的定义虽然从字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同．对于同一个圆，不论在什么地方建立直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．

2.（t为参数）表示的是（　　）

A．半径为5的圆的渐开线的参数方程

B．半径为5的圆的摆线的参数方程

C．直径为5的圆的渐开线的参数方程

D．直径为5的圆的摆线的参数方程

解析：

选B　根据圆的渐开线与摆线的参数方程可知B正确．

3．已知一个圆的参数方程为0≤φ≤2π，那么圆的摆线方程中参数取对应的点A与点B（，2）之间的距离为（　　）

A.－1　　　　　　　　B.

C.D.

解析：

选C　根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为把φ＝代入参数方程中可得

即A，

∴|AB|＝＝.

4．已知一个圆的摆线过点（1,0），则摆线的参数方程为（　　）

A.B.

C.D.

解析：

选A　圆的摆线的参数方程为令a（1－cost）＝0，得t＝2kπ.

代入x＝a（t－sint）得x＝a（2kπ－sin2kπ）．

又过（1,0），

∴a（2kπ－sin2kπ）＝1.∴a＝.

又a＞0，∴k∈N*.

二、填空题

5．给出圆的渐开线的参数方程根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是________；当参数φ取时，对应的曲线上的点的坐标是________．

解析：

所给的圆的渐开线的参数方程可化为

所以基圆半径r＝3.

然后把φ＝代入方程，

可得即

所以当参数φ取时，对应的曲线上的点的坐标是.

答案：

3　

6．我们知道关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线关于直线y＝x对称的曲线的参数方程为________．

解析：

关于直线y＝x对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的互换，所以要写出摆线方程关于y＝x对称的曲线方程，只需把其中的x，y互换．

答案：

7．在圆的摆线上有一点（π，0），那么在满足条件的摆线的参数方程，使圆的半径最大的摆线上，参数φ＝对应的点的坐标为________．

解析：

首先根据摆线的参数方程（φ为参数），把点（π，0）代入可得⇒cosφ＝1，则sinφ＝0，φ＝2kπ（k∈Z），所以，r＝＝（k∈Z），又r>0，所以k∈N＋，当k＝1时r最大为，再把φ＝代入即可．

答案：

8．圆的渐开线上与t＝对应的点的直角坐标为________．

解析：

对应点的直角坐标为

x＝＝

＝1＋，

y＝＝

＝1－.

∴t＝对应的点的直角坐标为.

答案：

三、解答题

9．当φ＝，时，求出圆的渐开线上的对应点A，B，并求出A，B的距离．

解：

把φ＝，分别代入参数方程得

和

即A，B两点的坐标分别为

，，

∴|AB|＝

＝.

10．如图，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中AE，EF，FG，GH…的圆心依次按B，C，D，A循环，将它们依次相连接，求曲线AEFGH的长．

解：

根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为π；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH的长是5π.

11．如图，若点Q在半径AP上（或半径AP的延长线上），当车轮滚动时，点Q的轨迹称为变幅平摆线，取|AQ|＝或|AQ|＝，求点Q的轨迹的参数方程．

解：

设Q（x，y），P（x0，y0）．若A（rθ，r），

则

当|AQ|＝时，有

代入

∴点Q的轨迹的参数方程为

当|AQ|＝时，有

代入

∴点Q的轨迹方程为

[对应学生用书P41]

[对应学生用书P41]

参数方程的求法

（1）建立直角坐标系，设曲线上任一点P坐标为（x，y）；

（2）选取适当的参数；

（3）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P坐标与参数的函数式；

（4）证明这个参数方程就是所要求的曲线的方程．

[例1]　过点P（－2,0）作直线l与圆x2＋y2＝1交于A，B两点，设A，B的中点为M，求M的轨迹的参数方程．

[解]　设M（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为x＝ty－2.

由消去x得（1＋t2）y2－4ty＋3＝0.

∴y1＋y2＝，即y＝，

x＝ty－2＝－2＝.

由Δ＝（4t）2－12（1＋t2）>0得t2>3.

∴M的轨迹的参数方程为t2>3.

曲线的参数方程与普通方程的互化

在求出曲线的参数方程后，通常利用消参法得出普通方程．一般地，消参数经常采用的是代入法和三角公式法．但将曲线的参数方程化为普通方程，不只是把其中的参数消去，还要注意x，y的取值范围在消参前后应该是一致的．也就是说，要使得参数方程与普通方程等价，即它们二者要表示同一曲线．

[例2]　参数方程化为普通方程为（　　）

A．x2＋y2＝1

B．x2＋y2＝1去掉（0,1）点

C．x2＋y2＝1去掉（1,0）点

D．x2＋y2＝1去掉（－1,0）点

[解析]　x2＋y2＝2＋2＝1，

又∵x＝＝－1＋≠－1，故选D.

[答案]　D

[例3]　已知参数方程t≠0.

（1）若t为常数，θ为参数，方程所表示的曲线是什么？

（2）若θ为常数，t为参数，方程所表示的曲线是什么？

[解]　

（1）当t≠±1时，由①得sinθ＝，

由②得cosθ＝.

∴＋＝1.

它表示中心在原点，长轴长为2|t＋|，短轴长为

2|t－|，焦点在x轴上的椭圆．

当t＝