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概率学案
第三章概率
3.1随机事件的概率
3.1.1随机事件的概率
知识梳理
1.事件的概念及分类
2.频数与频率
在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的_________,称事件A出现的比例fn(A)=_________为事件A出现的_________。
3.概率
(1)含义:
概率是度量随机事件发生的_________的量。
(2)与频率联系:
对于给定的随机事件A,事件A发生的_________随着试验次数的增加稳定于_________,因此可以用频率_________来估计_________。
(3)范围:
从定义中,可以看出随机事件A的概率P(A)满足_________,这是因为在n次试验中,事件A发生的频数m满足0《m《n,所以0《
《1。
当A是必然事件时,P(A)=________,当A是不可能事件时,P(A)=________。
思考探究:
1、如何判断一个事件中哪类事件?
2、“频率”与“概率”之间有何区别与联系。
自主测评:
1、下面的事件:
①掷一枚硬币,出现反面;②异性电荷相互吸引;③3+5>10。
是随机事件的有()
A.②B.③C.①D.②③
2、下列事件:
①明天阴天;②若x+2=i2,则x=2;③奥巴马当选美国下届总统;④若x∈R,则x2+2r+2≥l.其中随机事件的个数为()
A.1B.2C.3D.4
3、下列说法正确的是()
A、任何事件的概率总在(0,1)内
B、频率是客观存在的,与试验次数无关
C、概率是随机的,在试验前不能确定
D、随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率
4、数学测试后,成绩统计显示全班50名同学中,有10名同学的分数在90分以上。
若设"分数在90分以上"为事件A,则事件A发生的频率为_________。
典例探究突破
类型一:
事件类型的判断
例1:
在下列事件中,哪些是必然事件?
哪些是不可能事件?
哪些是随机事件?
①如果a,b都是实数,那么a+b=b+a;
②从分别标有1,2,3,4,5,6的6张号签中任取一张,得到4号签;
③没有水分,种子发芽;
④某电话总机在60秒内接到至少15次传呼;
⑤在标准大气压下,水的温度达到50℃时沸腾;
⑥同性电荷,相互排斥。
变式训练:
指出下列事件是必然事件、不可能事件,还是随机事件。
(1)中国北方立春以后,不下雪.
(2)"神枪手"射击一次,中靶.
(3)掷10枚硬币,正面皆朝上.
(4)没有水分,种子发芽.
(5)在地球上,向上抛一块砖头,砖头落地.
(6)信奉道教的人长生不老.
(7)若|a|>2,则a>2.
类型二试验结果分析
例2:
指出下列试验的结果:
(1)从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个袋子中任以2个小球;
(2)从1,3,6,10四个球中任取两个数(不重复)作差。
类型二:
频率与概率的理解及应用
例3:
李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学,下表是李老师这门课3年来学生的考试成绩分布:
成绩
人数
90分以上
43
80分〜89分
182
70分〜79分
260
60分〜69分
90
50分〜59分
62
50分以下
8
经济学院一年级的学生王小慧下学期将修李老师的高等数学课,用已有的信息估计她得以下分数的概率(结果保留到小数点后三位):
(1)90分以上;
(2)60分〜69分;(3)60分以下。
变式训练:
某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下表:
每批粒数n
2
5
10
70
130
310
700
1500
2000
3000
发芽的粒数m
2
4
9
60
116
282
639
1339
1806
2715
发芽的频率
(1)计算表中每批油菜籽发芽的频率(结果保留到小数点后三位);
(2)任取一粒油菜秄,在相同条件下发芽的概率是多少?
课时作业:
1、选择题(每小题5分,共20分)
1、从12个同类产品(其中10个是正品,2个是次品)中任意抽取3个的必然事件是()
A.3个都是正品B.至少有1个是次品
C.3个都是次品D.至少有1个是正品
2、下列说法:
1频率反映事件发生的频繁程度,概率反映事件发生的可能性大小;
2做n次随机试验,事件A发生m次,则事件A发生的频率
就是事件的概率;
3百分率是频率,但不是概率;
4频率是不能脱离n次试验的试验值,而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值;
5频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值。
其中正确的是()
A.①②③④B.①④⑤C.①②③④⑤D.②③
3、下列事件中,随机事件是()
A、向区间(0,1)内投点,点落在(0,1)区间
B、向区间(0,1)内投点,点落在(1,2)区间
C、向区间(0.2)内投点,点落在(0,1)区间
D、向区间(0,2)内投点,点落在(-1,0)区间
4.某人将一枚硬币连掷了10次,正面向上出现了6次,若用A表示正面向上这一事件,则A的()
A.概率是
B.频率是
C.频率为6D.概率接近0.6
2、填空题(每小题5分,共10分)
5、①某地3月6日下雨;
2函数:
在定义域上是减函数;
3实数的绝对值小于0;|
4
5某人射击8次恰有4次中靶。
其中必然事件是________,不可能事件是________,随机事件是________•
6.已知随机事件A发生的频率是0.02,事件A出现了10次,那么可能共进行了
________次试验.
3、解答题(每小题10分,共30分)
7.某射手在同一条件下进行射击,结果如下表所示:
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中靶心的次数m
8
19
44
92
178
455
击中靶心的频率
(1)计算表中击中耙心的频率;
(2)这个射手射击一次,击中耙心的概率约是多少?
8.某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力,出了10个智力题,每个题10分。
然后作了统计,下表是统计结果。
贫困地区:
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
16
27
52
104
256
402
得60分以上的频率
发达地区:
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
17
29
56
111
276
440
得60分以上的频率
(1)利用计算器计算两地区参加测试的儿童中得60分以上的频率;
(2)求两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率。
3.1.2概率的意义
知识梳理
1、对概率的正确理解
随机事件在一次试验中发生与否是随机的,但随机性中含有________,认识了这种随机性中的________,就能比较准确地预测随机事件发生的________.
2、游戏的公平性
(1)裁判员用抽签器决定谁先发球,不管哪一名运动员先猜,猜中并取得发球的概率均为________,所以这个规则是________的.
(2)在设计某种游戏规则时,一定要考虑这种规则对每个人都是________的这一重要原则。
3、决策中的概率思想
如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务,那么"________"可以作为决策的准则。
这种判断问题的方法称为极大似然法.极大似然法是统计中重要的统计思想方法之一.
4、天气预报的概率解释
天气预报的"降水"是一个________,"概率为90%"指明了"降水"这个随机事件发生的________为90%.在一次试验中,概率为90%的事件也________,因此,"昨天没有下雨"并不能说明"咋天的降水概率为90%"的天气预报是________的.
5、孟德尔与遗传机理中的统计规律
孟德尔在自己长达七、八年的试验中,观察到了遗传规律,这种规律是一种________规律。
思考探究
同一个随机事件在相同条件下在每一次试验中发生的概率都一样吗?
自主测评
1、下列说法正确的是()
A、某事件发生的频率为
B、小概率事件就是不可能事件.大概率事件就是必然事件
C、某事件发生的概率随试验次数的变化而变化
D、连掷3次硬币,可能3次正面均朝上
2、设某厂产品的次品率为2%.则该厂8000件产品中合格品可能为()
A.160件B.78W件C.7998件D.7800件
3、每道选择题有4个选择支,其中只有1个选择支是正确的.某次考试共有12道选择题,某人说:
"每个选择支正确的概率是
,我每题都选择第一个选择支,则一定有3题选择结果正确"这句话()
A.正确B.错误C.不一定D.无法解释
4、某射击教练评价一名运动员时说:
"你射中的概率是90%."你认为下面两个解释中能代表教练的观点的为_________。
1该射击运动员射击了100次.恰有90次击中目标;
2该射击运动员射击一次,中靶的机会是90%。
典例探究突破
类型一:
概率意义的理解
例1(12分)如果掷一枚质地均匀的硬币,连续5次正面向上,有人认为下次出现反面向上的概率大于
,这种理解正确吗?
类型二:
等概率事件与游戏公平性的判断
例2:
如图所示,有两个可以自由转动的均匀转盘A、B,转盘A被平均分成3等份,分别标上1.2.3三个数字;转盘B被平均分成4等份,分别标上3,4.5.6四个数字。
有人为甲、乙两人设计了一个游戏规则:
自由转动转盘A与B。
转盘停止后,指针各指向一个数字,将指针所指的两个数字相加.如果和是6,那么甲获胜,否则乙获胜.你认为这样的游戏规则公平吗?
如果公平,请说明理由;如果不公平,怎样修改规则才能使游戏对双方公平?
变式训练:
有一个转盘游戏.转盘被平均分成10等份(如图所示),转动转盘,当转盘停止后,指针指向的数字即为转出的数字,游戏规则如下:
两个人参加,先确定猜数方案,甲转动转盘,乙猜,若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符,则乙获胜,否则甲获胜,猜数方案从以下三种方案中选一种:
A.猜"是奇数"或"是偶数"
B.猜"是4的整数倍数"或"不是4的整数倍数"
C.猜"是大于4的数"或"不是大于4的数"。
请回答下列问题:
(1)如果你是乙,为了尽可能获胜,你会选哪种猜数方案,并且怎样猜?
为什么?
(2)为了保证游戏的公平性,你认为应选哪种猜数方案,为什么?
类型三:
概率的实际应用
例3:
一个箱子中放置了若干个大小相同的白球和黑球,从箱中抽到白球的概率是99%,抽到黑球的概率是1%,现在随机取出一球.你估计这个球是白球还是黑球?
变式训练:
某校共有学生12000人,学校为增强交通安全意识,准备随机抽查12名学生参加测试,其中有部分学生认为他被抽查到的概率是
,不可能抽査到他,所以不想准备交通安全知识参加应试,你认为他的做法对吗?
课时作业:
一、选择题(每小题5分,共20分)
1、"某彩票中奖概率为
意味着()
A、买1000张彩票就一定能中奖
B、买1000张彩票中一次奖
C、买1000张彩票一次奖也不中
D、买彩票中奖的可能性为^
2、已知某厂的产品合格率为90%,现抽出10件产品检查,则下列说法正确的是
A、合格产品少于9件B、合格产品多于9件
C、合格产品正好是9件D、合格产品可能是9件
3、根据某医疗所的调查,某地区居民血型的分布为:
0型50%,A型15%,AB型5%,B型30%.现有一血型为O型的病人需要输血,若在该地区任选一人,
那么能为病人输血的概率为()
A、50%B、15%C、45%D、65%
4、从16个同类产品(其中有14个正品,2个次品)中任意抽取3个,下列事件中概率为1的是()
A、三个都是正品
B、三个都是次品
C、三个中至少有一个是正品
D、三个中至少有一个是次品
5、掷一颗骰子,骰子落地时向上的数是偶数但不是3的倍数的概率是________.
6、玲玲和倩倩下象棋,为了确定谁先走第一步,玲玲对倩倩说:
"拿一个飞镖射向如图所示的耙中,若射中区域所标的数字大于3,则我先走第一步,否则你先走第一步".你认为这个游戏规则公平吗?
答:
_________.
7、掷一枚骰子,出现"6点"的概率是
,是指一枚骰子掷6次,恰出现一次6点吗?
如果不是,应如何理解?
8、某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化,10000个鱼卵能孵化8513尾鱼苗,根据概率的统计定义解答下列问题:
(1)这种鱼卵的孵化概率(孵化率)是多少?
(2)30000个鱼卵大约能孵化多少尾鱼苗?
(3)要孵化5000尾鱼苗,大概需备多少个鱼(精确到百位)
3.1.3概率的基本性质
知识梳理
1、事件的关系与运算
定义
事件的关系
包含
关系
一般地,对地事件A与事件B,如果事件A发生,则事件B_______,这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
_______(或_______)
事件
互斥
若
为_______(
),那么称事件A与事件B互斥
若______,则A与B互斥
事件
对立
若
为______,
为_______,那么称事件A与事件B互为对立事件。
若
=
,且
则A与B对立
并事件
若某事件发生当且仅当______,则称此事为事件A与事件B的并事件(或和事件)
______(或______)
交事件
若某事件发生当且仅当______,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
______(或______)
2、概率的向个基本性质
(1)概率的取值范围为_______。
(2)_______的概率为1,_______的概率为0。
(3)概率加法公式为:
如果事件A与B为互斥事件,则P(
)=_______。
特例:
若A与B为对立事件,则P(A)=_______,P(
)=_______,P(
)=_______
思考探究:
1、如何判定互斥事件与对立事件?
2、如何应用互斥事件的概率加法公式解题的步骤是什么?
自主测评:
1、事件A与B是对立事件,且P(A)=0.6,则P(B)等于()
A.0.4B.0.5C.0.6D.1
2、把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人,每人分得1
张,事件"甲分得红牌"与事件"乙分得红牌"是()
A.对立事件B.不可能事件
C.互斥但不对立事件D.以上答案都不对
3、给出以下结论:
(1)互斥事件一定对立;
(2)对立事件一定互斥;
(3)互斥事件不一定对立;
(4)事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率;
(5)事件A与B互斥,则有P(A)=1—P(B).
其中正确命题的个数为()
A.0个B.1个C.2个D.3个
4.在掷骰子的游戏中,向上的数字是3或4的概率为___________
类型一:
事件的关系的判定
例1:
某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛,判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判别它们是不是对立事件。
(1)恰有一名男生与恰有2名男生;
(2)至少有1名男生与全是男生;
(3)至少有1名男生与全是女生;
(4)至少有1名男生与至少有1名女生.
变式训练:
判断下列每对事件是否为互斥事件,是否为对立事件,并说明理由。
从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10)中任取一张。
(1)"抽出红桃"与"抽出黑桃";
(2)"抽出红色牌"与"抽出黑色牌";
(3)"抽出的牌的点数为5的倍数"与"抽出的牌的点数大于9"。
类型二:
事件的运算
例2:
(12分)盒子里有6个红球,4个白球,现从中任取三个球,设事件A={3个球中有1个红球,2个白球},事件B={3个球中有2个红球,1个白球},事件C={3个球中至少有1个红球},事件D={3个球中既有红球又有白球}。
问
(1)事件D与A、B是什么样的运算关系?
(2)事件C与A的交事件是什么事件?
例3:
在数学考试中,小明的成绩在90分及以上概率是0.18,在80-90分的概率是0.51,在70-79分的概率是0.15,在60-69分的概率是0.09,60分以下的概率是0.07。
计算:
(1)小明在数学考试中取得80分及以上成绩的概率;
(2)小时考试及格的概率。
变式训练:
甲、乙两人玩一种游戏,每次由甲、乙各出1到5根手指头,若和为偶数算甲赢,否则算乙赢。
(1)若以A表示和为6的事件,求P(A)
(2)现连玩三次,若以B表示甲至少赢一次的事件,C表示乙至少赢两次的事件,试问B与C是否为互斥事件?
为什么?
(3)这种游戏规则公平吗?
说明理由。
课时作业:
1、下列说法正确的是()
A.事件A、B中至少有一个发生的概率一定比/\、B中恰有一个发生的概率大
B.事件A、B同时发生的概率一定比事件A、B恰有一个发生的概率小
C.互斥事件一定是对立事件,对立事件不一定是互斥事件
D.互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件
2、从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是()
A.至少有1个白球和都是白球
B.至少有1个A球和至少有1个红球
C.恰有1个白球和恰有2个白球
D.至少有1个白球和都是红球
3、—个人打耙时连续射击两次,事件"至少有一次中靶"的互斥事件是()
A.两次都中靶B.两次都不中耙
C.只有一次中耙D.至多一次中耙
4、在一次随机试验中.彼此互斥的事件A、B、C、D的概率分别是0.2、0.2、0.3、0.3.则下列说法正确的是()
A.A+B与C是互斥事件,也是对立事件
B.B+C与D是互斥事件,也是对立事件
C.A+C与B+D是互斥事件,但不是对立事件
D.A与B+C+D是互斥事件,也是对立事件
5、在10件产品中有8件一级品和2件二级品,从中任取3件.记"3件全是一级品"为事件A,则事件A的对立事件为___________。
6、由经验得知,在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下:
排队人数
0
1
2
3
4
5人以上
概率
0.10
0.16
0.30
0.30
0.10
0.04
则至多有2人排队的概率是____________.
7、从装有5只红球,5只白球的袋中任意取出3只球.判断下列每对事件是否为互斥事件.是否为对立事件。
(1)"取出2只红球和1只白球"与"取出1只红球和2只白球"'
(2)"取出2只红球和]只白球"与"取出3只红球":
(3)"取出3只红球"与"取出3只球中至少有1只白球";
(4)"取出3只红球"与"取出3只球中至少有1只红球".
8、一盒中装有各色球12个,其中5个红球、4个黑球、2个A球、1个绿球。
从中随机取出1球,求:
(1)取出1球是红球或黑球的概率:
(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率。