福师《常微分方程》期末试卷A.docx
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《常微分方程》期末考试A卷
姓名:
贾丽专业:
数学与应用数学学号:
192201503064388学习中心:
奥鹏培训中心
一、填空题(每个空格4分,共40分)
1、dydx
2
x
dydx
3y2
0
是
一
阶微分方程,是
方程(填“线性”或“非线性”)。
非线性
2、给定微分方程y2x,它的通解是
y=x2+C(C为任意常
数),通过点(2,3)的特解是y=x2-1。
3、微分方程M(x,y)dxN(x,y)dy0为恰当微分方程的充要条件是
Mx,yNx,y。
y
x
4、方程
x4x2
y12
2
C1xC2
y'
'x21
的通解为,满足初始条件
y|x12,y|x35的特解为
yx4x21x912264。
5、微分方程d2y25y0的通解为dx2
yC1cos5xC2sin5x。
6、微分方程
d2ydx2
6
dydx
8
y
0
的通解为
yc1e2xc2e4x,该方程可化为一阶线性微分方程组
dz
dydx6z
z
8
y。
dx
二、求解下列微分方程(每小题8分,共32分)。
1、dyexy;
dx
解:
dyexdxey
eydyexdxeyexC(C为任意常数)
2、dy2xy4x;
dx
解:
px2x,Qx4x
用公式法ye2xdxe2xdx•4xdxC
ex22ex2dx2Cex22ex2C
2Cex2y2Cex2
3、d2xdt2
6
dxdt
5x
e2t;
解:
2650
11,25齐次的解:
xC1etC2e5t又212k0
设x*b0e2t
带入解得b0
121
x
C1et
C2e5t
1e2t21
4、
dxdtdydt
2x4y5x3y.
解:
由dx2x4y得,y1x1dx③
dt
24dt
故dy1dx1d2xdt2dt4dt2
5x31x1dx24dt
d2xdt2
5
dxdt
14x
0,25140
12,27
xC1e2tC2e7t④
④带入③得:
y
C1e2t
54
C2e7t
xC1e2tC2e7t
y
C1e2t
54
C2e7t
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《常微分方程》试卷共2页(第1页)
答案务必写在对应的作答区域内,否则不得分,超出黑色边框区域的答案无效!
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三、(8
分)考虑方程
dydx
(y2
9)
f
(x,y),假设
f
(x,y)及
f'y
(x,y)
在
xOy平面上连续,试证明:
对于任意x0及|y0|3,方程满足
y(x0)y0的解都在(,)上存在。
证明:
根据题设,可以证明右端函数在整个xoy平面上,满足延展定理
及存在与唯一性定理的条件,易于看到,y3为方程在,上的解。
由延展定理可知,yx0y0,x0任意,y03的解y=y(x)
又不能穿过直线y3,故只能向两侧延展,而无限远离原点,从而,这应在,上存在。
121
四、(10分)设A12
10
11,求解方程组
dXdt
AX
满足初始条
1件
(0)0的解(t)。
0
解:
由EA1230
得11二重,2
3.
2
1对应特征向量1
,2
4
3
2
10
2
0
4
3
2
解得114214
v1
1
21
41
2
,v2
1
21
41
2
1e3t1et
22
t
e3tEv1
etE
tA
Ev2
14
e3t
14
et
12
e3t
12
et
五、(10分)叙述一阶微分方程的解的存在唯一性定理的内容,并给出唯一性的证明。
证明:
一阶微分方程dyfx,y
(1)
dx其中f(x,y)是矩形区域R:
xx0a,yy0b上的连续函数。
定义1如果存在常数L0,使得不等式
fx,y1fx,y2Ly1y2,对于所有x,y1x,y2R都成立,则函数f(x,y)在R上关于y满足利普希茨条件。
定理1如果f(x,y)在R上连续且关于y满足利普希茨条件,则方程
(1)存在唯一的解y=x,定义于区间xx0h上,连
续且满足初始条件x0
y0,这里
h
min
a,
bM,Mmaxfx,y。
x,yR
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《常微分方程》试卷共2页(第2页)
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