图形的相似导学案.docx
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图形的相似导学案
27.1图形的相似
（一）
教学目的:
（1）从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似,理解相似图形概念．
（2）了解成比例线段的概念，会确定线段的比．
重点、难点
1．重点：
相似图形的概念与成比例线段的概念．
2．难点：
成比例线段概念．
一.观察图片，体会相似图形
1、同学们，请观察下列几幅图片，你能发现些什么？
你能对观察到的图片特点进行归纳吗？
（课本图27.1-1）（课本图27.1-2）
2、小组讨论、交流．得到相似图形的概念．
什么是相似图形?
3、思考：
如图27.1-3是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们相似吗?
观察思考，小组讨论回答：
二、成比例线段概念
1．问题：
如果把老师手中的教鞭与铅笔，分别看成是两条线段AB和CD，那么这两条线段的比是多少？
归纳：
两条线段的比，就是两条线段长度的比．
2、成比例线段：
对于四条线段a,b,c,d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如
（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
【注意】
（1）两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计算时要注意统一单位；
（2）线段的比是一个没有单位的正数；（3）四条线段a,b,c,d成比例，记作
或a:
b=c:
d；（4）若四条线段满足
，则有ad=bc．
三、例题讲解
例1（补充：
选择题）如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形相似的是（）
例2（补充）一张桌面的长a=1.25m，宽b=0.75m，那么长与宽的比是多少？
（1）如果a=125cm，b=75cm，那么长与宽的比是多少？
（2）如果a=1250mm，b=750mm，那么长与宽的比是多少？
小结：
上面分别采用m、cm、mm三种不同的长度单位，求得的
的值是________的，所以说，两条线段的比与所采用的长度单位______，但求比时两条线段的长度单位必须____．
例3（补充）已知：
一张地图的比例尺是1:
32000000，量得北京到上海的图上距离大约为3.5cm，求北京到上海的实际距离大约是多少km？
分析：
根据比例尺=
，可求出北京到上海的实际距离．
二.巩固练习
1.如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？
2．如图，图形a～f中，哪些是与图形
（1）或
（2）相似的？
3、下列说法正确的是（）
A．小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似.
B．商店新买来的一副三角板是相似的.
C．所有的课本都是相似的.
D．国旗的五角星都是相似的.
4、填空题
形状的图形叫相似形；两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形的或而得到的。
5．观察下列图形，指出哪些是相似图形：
6．如图，请测量出右图中两个形似的长方形的长和宽，
（1）（小）长是_______cm，宽是_______cm；（大）长是_____cm，宽是_______cm；
（2）（小）
；（大）
．
（3）你由上述的计算，能得到什么结论吗？
7．在比例尺是1:
8000000的“中国政区”地图上，量得福州与上海之间的距离时7.5cm，那么福州与上海之间的实际距离是多少？
8．AB两地的实际距离为2500m，在一张平面图上的距离是5cm，那么这张平面地图的比例尺是多少？
27.1图形的相似
（二）
一、教学目标
1．知道相似多边形的主要特征，即：
相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
2．会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计算．
二、重点、难点
1．重点：
相似多边形的主要特征与识别．
2．难点：
运用相似多边形的特征进行相关的计算．
三、探索新知
1、观察图片，体会相似图形性质（教材P36页）
（1）图27.1-4
（1）中的△A1B1C1是由正△ABC放大后得到的,观察这两个图形,它们的对应角有什么关系？
对应边又有什么关系呢？
图27.1-4
（3）对于图27.1-4
（2）中两个相似的正六边形，是否也能得到类
（4）似的结论？
（3）什么叫成比例线段？
（阅读课本回答）
2、如图的左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形．
问题：
对于图中两个相似的四边形，它们的对应角，对应边的比是否相等．
3．【结论】：
（1）相似多边形的特征：
相似多边形的对应角______，对应边的比_______．
反之，如果两个多边形的对应角______，对应边的比_______，那么这两个多边形_______．几何语言：
在⊿ABC和⊿A1B1C1中
若
．
则⊿ABC和⊿A1B1C1相似
（2）相似比：
相似多边形________的比称为相似比．
问题：
相似比为1时，相似的两个图形有什么关系？
结论：
相似比为1时，相似的两个图形______，因此________形是一种特殊的相似形．
四、例题讲解
例1（补充）（选择题）下列说法正确的是（）
A．所有的平行四边形都相似B．所有的矩形都相似
C．所有的菱形都相似D．所有的正方形都相似
分析：
A中平行四边形各角不一定对应相等，因此所有的平行四边形不一定都相似，故A错；B中矩形虽然各角都相等，但是各对应边的比不一定相等，因此所有的矩形不一定都相似，故B错；C中菱形虽然各对应边的比相等，但是各角不一定对应相等，因此所有的菱形不一定都相似，故C也错；D中任两个正方形的各角都相等，且各边都对应成比例，因此所有的正方形都相似，故D说法正确，因此此题应选D．
例2、例（教材P37页）
如图27.1-6，四边形ABCD和EFGH相似，求角
的大小和EH的长度
．
27.1-6
例3（补充）
已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且A1B1:
B1C1:
C1D1:
D1A1=7:
8:
11:
14，若四边形ABCD的周长为40，求四边形ABCD的各边的长．
分析：
因为两个四边形相似，因此可根据相似多边形的对应边的比相等来解题．
解：
五、课堂练习
1．在比例尺为1﹕10000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是30cm，求两地的实际距离．
2．如图所示的两个直角三角形相似吗？
为什么？
3．如图所示的两个五边形相似，求未知边
、
、
、
的长度．
六、当堂检测
1．（选择题）△ABC与△DEF相似，且相似比是
，则△DEF与△ABC与的相似比是（）．
A．
B．
C．
D．
2．（选择题）下列所给的条件中，能确定相似的有（）
（1）两个半径不相等的圆；
（2）所有的正方形；（3）所有的等腰三角形；（4）所有的等边三角形；（5）所有的等腰梯形；（6）所有的正六边形．
A．3个B．4个C．5个D．6个
3．已知四边形ABCD和四边形A1B1C1D1相似，四边形ABCD的最长边和最短边的长分别是10cm和4cm，如果四边形A1B1C1D1的最短边的长是6cm，那么四边形A1B1C1D1中最长的边长是多少？
4．如图，AB∥EF∥CD，CD=4，AB=9，若梯形CDEF与梯形EFAB相似，求EF的长．
5．如图，一个矩形ABCD的长AD=acm，宽AB=bcm，E、F分别是AD、BC的中点，连接E、F，所得新矩形ABFE与原矩形ABCD相似，求a:
b的值．（
:
1）
27.2.1相似三角形的判定
（一）
教学目的:
（5）会用符号“∽”表示相似三角形如△ABC∽△
;
（6）知道当△ABC与△
的相似比为k时，△
与△ABC的相似比为1/k．
（7）理解掌握平行线分线段成比例定理
重点、难点
教学重点:
理解掌握平行线分线段成比例定理及应用．
教学难点:
掌握平行线分线段成比例定理应用．
一、知识链接
1、相似多边形的主要特征是什么？
2、相似三角形有什么性质？
二合作探究
1）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．
在△ABC与△A′B′C′中，
如果∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,且
．
我们就说△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′，k就是它们的相似比．
反之如果△ABC∽△A′B′C′，
则有∠A=_____,∠B=_____,∠C=____,且
．
2）问题：
如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？
明确
（1）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形。
（2）用符号“∽”表示相似三角形如△ABC∽△
;
（3）当△ABC与△
的相似比为k时，△
与△ABC的相似比为1/k．
3）活动1（教材P40页探究1）
（1）如图27.2-1）,任意画两条直线l1,l2,再画三条与l1,l2相交的平行线l3,l4,l5.分别量度l3,l4,l5.在l1上截得的两条线段AB,BC和在l2上截得的两条线段DE,EF的长度,AB︰BC与DE︰EF相等吗?
任意平移l5,再量度AB,BC,DE,EF的长度,AB︰BC与DE︰EF相等吗?
（2）问题，AB︰AC=DE︰（），BC︰AC=（）︰DF．强调“对应线段的比是否相等”
（3）归纳总结：
平行线分线段成比例定理三条_____截两条直线，所得的____线段的比______。
应重点关注：
平行线分线段成比例定理中相比线段同线；
4）例1如图、若AB=3cm，BC=5cm，EK=4cm，写出
==_____、
=______。
AE
求FK的长?
BK
FC
4）活动2平行线分线段成比例定理推论
思考：
1、如果把图27.2-1中l1,l2两条直线相交，交点A刚落到l3上，如图27.2-2
（1），，所得的对应线段的比会相等吗？
依据是什么？
2、如果把图27.2-1中l1,l2两条直线相交，交点A刚落到l4上，如图27.2-2
（2），所得的对应线段的比会相等吗？
依据是什么？
3、归纳总结：
平行线分线段成比例定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的_______线段的比_________.
三.练习巩固
如图，在△ABC中，DE∥BC，AC=4，AB=3，EC=1.求AD和BD.
四.小结巩固
（1）谈谈本节课你有哪些收获．“三角形相似的预备定理”．这个定理揭示了有三角形一边的平行线，必构成相似三角形，因此在三角形相似的解题中，常作平行线构造三角形与已知三角形相似．
（2）相似比是带有顺序性和对应性的：
如△ABC∽△A′B′C′的相似比
，那么△A′B′C′∽△ABC的相似比就是
，它们的关系是互为倒数．
五、当堂检测
1．如图，△ABC∽△AED,其中DE∥BC，找出对应角并写出对应边的比例式．
2．如图，△ABC∽△AED，其中∠ADE=∠B，找出对应角并写出对应边的比例式．
3、已知：
梯形ABCD中，AD∥BC，EF∥BC，AE=FC，
，
，求：
AE的长。
AD
EF
BC
27.2.1相似三角形的判定
（二）
一、学习目标
1．经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程．
2．会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题．
二、重点、难点
1．重点：
相似三角形的定义与三角形相似的预备定理．
2．难点：
三角形相似的预备定理的应用．
三知识链接
（1）相似多边形的主要特征是什么？
（2）平行线分线段成比例定理及其推论的内容是什么？
（3）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．
在△ABC与△A′B′C′中，
如果∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,且
．
我们就说△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′，k就是它们的相似比．
反之如果△ABC∽△A′B′C′，
则有∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,且
．
（4）问题：
如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？
四、探索新知．
1问题：
如果△ABC∽△ADE,那么你能找出哪些角的关系？
边呢？
2、思考
如图27.2-3，在△ABC中，DE∥BC，DE分别交AB，AC于点D，E。
问题：
（1）△ADE与△ABC满足“对应角相等”吗？
为什么？
（1）△ADE与△ABC满足对应边成比例吗？
由“DE∥BC”的条件可得到哪些线段的比相等？
（2）根据以前学习的知识如何把DE移到BC上去？
（作辅助线EF∥AB）
你能证明AE:
AC=DE:
BC吗？
（4）写出△ABC∽△ADE的证明过程。
（5）、归纳总结：
判定三角形相似的（预备）定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所成的三角形与原来三角形相似。
五、例题讲解
例1（补充）如图△ABC∽△DCA，AD∥BC，∠B=∠DCA．
（1）写出对应边的比例式；
（2）写出所有相等的角；
（3）若AB=10,BC=12,CA=6．求AD、DC的长．
分析：
可类比全等三角形对应边、对应角的关系来寻找相似三角形中的对应元素．对于（3）可由相似三角形对应边的比相等求出AD与DC的长．
解：
例2（补充）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=EC，DB=1cm，AE=4cm，BC=5cm，求DE的长．
分析：
由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，再由相似三角形的性质，有
，又由AD=EC可求出AD的长，再根据
求出DE的长．
解：
六、课堂练习
1．（选择）下列各组三角形一定相似的是（）
A．两个直角三角形B．两个钝角三角形
C．两个等腰三角形D．两个等边三角形
2．（选择）如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形一共有（）
A．1对B．2对C．3对D．4对
3、如图，AB∥EF∥CD，图中共有对相似三角形，写出来并说明理由；
4．如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE:
EA=2:
3，EF=4，求CD的长．
七、当堂检测
1．如图，△ABC∽△AED,其中DE∥BC，写出对应边的比例式．
2．如图，△ABC∽△AED，其中∠ADE=∠B，写出对应边的比例式．
3．如图，DE∥BC，
（1）如果AD=2，DB=3，求DE:
BC的值；
（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的长．
4、如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h．（设网球是直线运动）
27.2.1相似三角形的判定（三）
学习目标:
（1）初步掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的判定方法，以及“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法．
（2）能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．
重点、难点
学习重点:
掌握两种判定方法，会运用两种判定方法判定两个三角形相似。
学习难点:
（1）三角形相似的条件归纳、证明；
（2）会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似．
一.知识链接
（1）两个三角形全等有哪些判定方法？
（2）我们学习过哪些判定三角形相似的方法？
（3）相似三角形与全等三角形有怎样的关系？
二、探索新知
探讨问题：
1、如图，如果要判定△ABC与△A’B’C’相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？
2、可否用类似于判定三角形全等的SSS方法，能否通过一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应的比相等，来判定两个三角形相似呢？
3、探究2
任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？
这两个三角形相似吗？
与同学交流一下，看看是否有同样的结论。
（1）问题：
怎样证明这个命题是正确的呢？
（2）探求证明方法．（已知、求证、证明）
如图27.2-4，在△ABC和△A′B′C′中，
，
求证△ABC∽△A′B′C′证明：
4【归纳】
三角形相似的判定方法1
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．
5、探讨问题：
可否用类似于判定三角形全等的SAS方法，能否通过两个三角形的两组对应边的比相等和它们对应的夹角相等，来判定两个三角形相似呢？
（画图，自主展开探究活动）
6【归纳】
三角形相似的判定方法2
两个三角形的两组对应边的比相等，且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似．
三、例题讲解
解：
归纳分析：
判定两个三角形是否相似，可以根据已知条件，画草图，看是否符合相似三角形的定义或三角形相似的判定方法中，对于
（1）由于是已知一对对应角相等及四条边长，因此看是否符合三角形相似的判定方法2“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”，对于
（2）给的几个条件全是边，因此看是否符合三角形相似的判定方法1“三组对应边的比相等的两个三角形相似”即可，其方法是通过计算成比例的线段得到对应边．
例2（补充）已知：
如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=
，求AD的长．
分析：
由已知一对对应角相等及四条边长，猜想应用“两组对应边的比相等且它们的夹角相等”来证明．计算得出
，结合∠B=∠ACD，证明△ABC∽△DCA，再利用相似三角形的定义得出关于AD的比例式
，从而求出AD的长．
解：
四、课堂练习
1．如果在△ABC中∠B=30°，AB=5㎝，AC=4㎝，在△A’B’C’中，∠B’=30°A’B’=10㎝，A’C’=8㎝，这两个三角形一定相似吗？
试着画一画、看一看？
2．如图，△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，求证：
△ABC∽△DEF．
五、回顾与反思．
（1）谈谈本节课你有哪些收获．
六当堂检测
1．如图，AB•AC=AD•AE，且∠1=∠2，求证：
△ABC∽△AED．
2．已知：
如图，P为△ABC中线AD上的一点，且BD2=PD•AD，求证：
△ADC∽△CDP．
27.2.1相似三角形的判定（四）
一、学习目标
1．掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法．
2．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．
二、重点、难点
1．重点：
三角形相似的判定方法3——“两角对应相等，两个三角形相似”
2．难点：
三角形相似的判定方法3的运用．
三、知识链接
（1）我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？
（2）如图，△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD•AB，那么△ACD与△ABC相似吗？
说说你的理由．
（3）如
（2）题图，△ABC中，点D在AB上，如果∠ACD=∠B，那么△ACD与△ABC相似吗？
（4）【归纳】
三角形相似的判定方法3
如果一个三角形的两个角与另一个三角形两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
四、例题讲解
例1（教材P48例2）．弦AB和CD相交于⊙o内一点P,求证:
PAPB=PCPD
分析：
要证PA•PB=PC•PD，需要证
，则需要证明这四条线段所在的两个三角形相似．由于所给的条件是圆中的两条相交弦，故需要先作辅助线构造三角形，然后利用圆的性质“同弧上的圆周角相等”得到两组角对应相等，再由三角形相似的判定方法3，可得两三角形相似．
例2（补充）已知：
如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF的长．
分析：
要求的是线段DF的长，观察图形，我们发现AB、AD、AE和DF这四条线段分别在△ABE和△AFD中，因此只要证明这两个三角形相似，再由相似三角形的性质可以得到这四条线段对应成比例，从而求得DF的长．由于这两个三角形都是直角三角形，故有一对直角相等，再找出另一对角对应相等，即可用“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法来证明这两个三角形相似．
五、课堂练习
1、填一填
（1）如图3，点D在AB上，当∠＝∠时，
△ACD∽△ABC。
（2）如图4，已知点E在AC上，若点D在AB上，则满足
条件，就可以使△ADE与原△ABC相似。
2．已知：
如图，∠1=∠2=∠3，求证：
△ABC∽△ADE．
3.如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，试说明△ADE∽△EFC.
4．下列说法是否正确，并说明理由．
（1）有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形；
（2）有一个角相等的两等腰三角形是相似三角形．
六、作业
1、图1中DE∥FG∥BC，找出图中所有的相似三角形。
2、图2中AB∥CD∥EF，找出图中所有的相似三角形。
3、在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A＝80°，∠C＝60°，∠A′＝80°，∠B′＝40°，那么这两个三角形是否相似？
为什么？
4、已知：
如图，△ABC的高AD、BE交于点F．求证：
．
5．已知：
如图，BE是△ABC的外接圆O的直径，CD是△ABC的高．
（1）求证：
AC•BC=BE•CD；
（2）若CD=6，AD=3，BD=8，求⊙O的直径BE的长．
6.已知D、E分别是△ABC的边AB,AC上的点，若∠A=35°,∠C=85°,∠AED=60°求证：
AD·AB=AE·AC
7、如图：
在Rt△ABC中，∠ABC=900，BD⊥AC于D，若E是BC中点，ED的延长线交BA的延长线于F，
求证：
AB:
BC=DF:
BF
27.2.2相似三角形应用举例
（一）
教学目的:
1．进一步巩固相似三角形的知识．
2．能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题．
3．通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力．
重点、难点
1．重点：
运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度．
2．难点：
灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）．
一、知识链接
1、判断两三角形相似有哪些方法?
2、相似三角形有什么性质？
二、.探索新知
1、问题1：
学校操场上的国旗旗杆的高度是多少？
你有什么办法测量？
2、世界现存规模最大的金字塔位于哪个国家，叫什么金字塔？
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一”．塔的４个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约230多米．据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间．原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低．
在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：
“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！
”，这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？
3、例题讲解
例3：
据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高度．如图，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO．（思考如何测出OA的长？
）
分析：
根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在
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