管理运筹学线性规划案例《食用调和油生产计划》.docx

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管理运筹学线性规划案例《食用调和油生产计划》

1.问题的提出

调和油又称高合油，它是根据使用需要，将两种以上经精炼的油脂（香味油除外）按比例调配制成的食用油。

其原料常选用精炼大豆油、菜籽油、花生油、葵花籽油、棉籽油等，还可配有精炼过的米糠油、玉米胚油、油茶籽油、红花籽油、小麦胚油等特种油酯。

调和油是是目前市场上比较常见的食用油类之一，以其油色澄清、透明，味道香醇可口，营养较纯种食用油更加丰富均衡，逐渐成为市场上的主流。

在调和油制作成本上，厂家可根据配方，以一定的加工工艺将几种油脂混合配制，取代了传统的纯种油脂，从而大大降低了成本和市面价格，更加迎合消费者追求“物美价廉”的消费心理，为企业带来了效益。

但在调和油的生产过程中，伴随着原料的采购、贮存、加工，都必然要有一定资金和设备上的投入。

当然，除了这些必须具备的，以为了保证调和油质量的程序外，如何降低相关原料和设备所受社会和市场因素引起的价格升高，原料过长时间保养带来的负经济利润，从而实现企业生产成本降低，成为生产厂家不得不考虑的一个问题。

2.问题分析

在上述的问题中，存在着一个不争的事实。

价格会随着社会和市场的因素的影响而产生变化，其关系即为“经济函数”（通过广泛地进行市场调查并且采集足够的统计资料，分析确定各宗经济变量之间的函数关系）。

而大量低价采购原料又会带来贮存和保鲜方面成本的升高。

相应关系式可概括为：

生产成本=原料价格*数量+贮存保鲜费用+加工费（加工成本+工人工资）+机器折损费+产品维护费用。

3.题目要求

食油厂精炼两种类型的原料油——菜籽油和花生油，并将精制油混合得到一种调和油产品。

生产流程如下图所示：

花生油3採購

菜籽油原料油来自两个产地，而花生原料油来自另外三个产地。

据预测，这5种原料油的价格从一至六月分别为：

表1五种原料油的价格（元/吨）

菜籽油1

菜籽油2

花生油1

花生油2

花生油3

一月

6200

6300

9400

9200

9250

二月

6400

9200

8800

9250

三月

6200

6600

9400

9000

8850

四月

6300

6200

9300

9350

五月

6000

6300

9700

9200

9150

六月

5800

6200

9600

8700

9450

平均价格

6150.0

6333.3

9433.3

9033.3

9216.7

成品调和油售价为11000元/吨。

菜籽油和花生油需要由不同的生产线来精炼。

菜籽油精练生产线的每月最大处理能力为200吨/月，花生油精练生产线最大处理能力为250吨/月。

五种原料油都各自备有贮罐，每个贮罐的容量均为1000吨，每吨原料油每月的存贮费用为300元。

而各种精制油以及产品无油罐可存贮。

精炼的加工费用可略去不计。

产品的销售没有任何问题。

产品食油的硬度有一定的技术要求，它取决于各种原料油的硬度以及混合比例。

产品食油的硬度与各种成份的硬度以及所占比例成线性关系。

根据技术要求，产品食油的硬度必须不小于3.0而不大于6.0。

各种原料油的硬度如下表（精制过程不会影响硬度）：

表2各种原料油的硬度（无量纲）

菜籽油1

菜籽油2

花生油1

花生油2

花生油3

8.8

6.1

2.0

4.2

5.0

假设在一月初，每种原料油都有500吨存贮而要求在六月底仍保持这样的贮备。

问题1：

根据表1预测的原料油价格，编制逐月各种原料油采购量、耗用量及库存量计划，使1～6月份的利润最大。

问题2：

对于以下三种情况，分别编制逐月各种原料油采购量、耗用量及库存量计划，使本年内的利润最大。

1.如果每一个月所用的原料油不得多于三种。

2.如果在某一个月用某一种原料油，那么这种油的用量不能少于20吨。

3.如果在一个月中用了菜籽油1或菜籽油2，则在这个月中就必须用花生油3。

4.模型建立与求解

对问题1建模：

假设：

1.每类油脂都有其独特的气味、颜色等物理性质，不能与其它油脂替换使用。

2.生产过程足够严格，工人严格按照配方配制调和油，不存在油料替换使用的现象。

3.生产过程中，相关的原料的存储量满足该次生产所需。

4.配制调和油时，5种油的比例为p1:

p2:

p3:

p4:

p5使得

3≤（8.8p1+6.1p2+2.0p3+4.2p4+5.0p5）≤6

5.假设油料混合后，体积不变。

一、生产所需量的关系

由假设4，设每月生产n吨调和油，则所需各种原料分别为np1,np2,np3,np4,np5（单位：

吨），则所有变量应满足下列条件

n（p1+p2）≤200

n（p3+p4+p5）≤250

p1+p2+p3+p4+p5=1

8.8p1+6.1p2+2.0p3+4.2p4+5.0p5≥3

8.8p1+6.1p2+2.0p3+4.2p4+5.0p5≤6

np1≤200

np2≤200

np3≤250

np4≤250

np5≤250

二、根据价格表分析出的合理进货时间

再分析各种原料的价格，由表1所示，油料1的价格，2月最高，6月最低，考虑存贮费的因素，则加上存贮费后的价格将超越其下月的进货价格，则应尽量保证当月买进当月用完。

由于最初油罐中存有花生油300吨，则应尽量将其用尽后再进货，以减少存贮费的开支。

油料2的情况类似油料1。

花生油1的价格，5月最高，2月最低，但加上存贮的费用，2月所进3月使用的油料将比3月进货价格更高，故不应在2月大量进货。

4月的价格较稍高，加成后小于5月等同6月，故可在4月多进货或者6月购买当月所需。

花生油2可当月进货或在3月进3、4两月的原料。

花生油3应在3月和5月分别将本月和下月的油料买进。

三、具体进货方案的讨论

根据第二项内容的分析情况，对不同类型（相同类型之给出一种方案）情况的假设下的进货方案进行讨论，具体内容请参见附表1，以下只给出讨论后的进货方案。

情况一：

油料1或2只能维持两个月的生产，第三月需进货花生油1，第三月需进货，花生油2、3可满足6个月的生产需要。

对应情况为

月份

菜籽油1

菜籽油2

花生油1

花生油2

花生油3

一月进货

月份

菜籽油1

菜籽油2

花生油1

花生油2

花生油3

二月进货

三月进货

3np1-500

3np3-500

四月进货

np1

3np3

五月进货

np1

六月进货

np1+500

6np2

结余

500

情况二：

菜籽油的情况同情况1。

花生油1可维持3个月的生产，则花生油2、3仍可维持6个月的生产，不需进货。

对应情况为：

月份

菜籽油1

菜籽油2

花生油1

花生油2

花生油3

一月进货

二月进货

三月进货

3np1-500

四月进货

np1

6np3

五月进货

np1

六月进货

np1+500

6np2

结余

500

情况三：

菜籽油的情况同情况1。

花生油1可维持4个的生产，花生油2或3仍可维持6个月的生产，得到以下的结果

月份

菜籽油1

菜籽油2

花生油1

花生油2

花生油3

一月进货

二月进货

三月进货

3np1-500

四月进货

np1

2np3+500

五月进货

np1

六月进货

np1+500

6np2

结余

500

情况四：

菜籽油的情况同情况1。

花生油1可维持4个的生产，花生油2或3可维持5个月的生产，以花生油2为例，得到以下的结果

月份

菜籽油1

菜籽油2

花生油1

花生油2

花生油3

一月进货

二月进货

三月进货

3np1-500

四月进货

np1

2np3+500

五月进货

np1

六月进货

np1+500

6np2

结余

500

根据以上讨论思想，给出菜籽油1可维持三个月生产的情况（菜籽油2的讨论与之相似）

情况五：

油料1或2只能维持三个月的生产，第三月需进货花生油1，第三月需进货，花生油2、3可满足6个月的生产需要。

对应情况为

月份

菜籽油1

菜籽油2

花生油1

花生油2

花生油3

一月进货

二月进货

三月进货

3np3-500

四月进货

4np1-500

3np3

五月进货

np1

六月进货

np1+500

6np2

结余

500

情况六：

菜籽油的情况同情况5。

花生油1可维持3个月的生产，则花生油2、3仍可维持6个月的生产，不需进货。

对应情况为：

月份

菜籽油1

菜籽油2

花生油1

花生油2

花生油3

一月进货

二月进货

三月进货

四月进货

4np1-500

6np3

五月进货

np1

六月进货

np1+500

6np2

结余

500

情况七：

菜籽油的情况同情况5。

花生油1可维持4个的生产，花生油2或3仍可维持6个月的生产，得到以下的结果

月份

菜籽油1

菜籽油2

花生油1

花生油2

花生油3

一月进货

二月进货

三月进货

四月进货

4np1-500

2np3+500

五月进货

np1

六月进货

np1+500

6np2

结余

500

情况八：

菜籽油的情况同情况5。

花生油1可维持4个的生产，花生油2或3可维持5个月的生产，以花生油2为例，得到以下的结果

月份

菜籽油1

菜籽油2

花生油1

花生油2

花生油3

一月进货

二月进货

三月进货

四月进货

4np1-500

2np3+500

五月进货

np1

六月进货

np1+500

6np2

结余

500

对问题2建模：

①原料油不得多于三种

假设：

1.每类油脂都有其独特的气味、颜色等物理性质，不能与其它油脂替换使用。

2.生产过程足够严格，工人严格按照配方配制调和油，不存在油料替换使用的现象。

3.生产过程中，相关的原料的存储量满足该次生产所需。

4.配制调和油时，3种油的比例为p1:

p2:

p3使得

3≤（8.8p1+6.1p2+2.0p3）≤6

5.假设油料混合后，体积不变。

6.为方便起见，假定后六个月的价格与前六个月的价格一致。

一、生产所需量的关系

由假设4，设每月生产n吨调和油，则所需各种原料分别为np1,np2,np3（单位：

吨），则所有变量应满足下列条件

n（p1+p2）≤200

np1≤200

np2≤200

n（p3+p4+p5）≤250

np3≤250

np4≤250

np5≤250

p1+p2+p3=1

8.8p1+6.1p2+2.0p3+4.2p4+5.0p5≥3

8.8p1+6.1p2+2.0p3+4.2p4+5.0p5≤6

二、根据价格表分析出的合理进货时间

分析各种原料的价格，可参照问题1中的分析结果

三、具体进货方案的讨论

使用的原料油不多于3种，则可能出现的配制方法为

序号

菜籽油1

菜籽油2

花生油1

花生油2

花生油3

√

前三种可归为只考虑花生油的情况的模型，以下讨论花生油进货的方案。

菜籽油的进货情参考第一问中给出的方案中关于菜籽油的进货形式。

由于只采用一种花生油，所选花生油是唯一进入精炼生产线中的花生油。

考虑到花生油精炼生产线上最多每月加工250吨，以花生油1为例，给出以下假设和购进方案。

方案一：

500吨材料可供加工2个月。

根据对价格表的分析得知，花生油1在4、10月份买进最为合适。

参照问题1中的建模方案，给出采购和剩余量的表格

一月进货

二月进货

三月进货

3np3-500

剩余

500-np3

剩余

500-2np2

剩余

四月进货

3np3

五月进货

六月进货

剩余

np3

剩余

np3

剩余

七月进货

np3

八月进货

np3

九月进货

np3

剩余

十月进货

3np3

十一月进货

十二月进货

500

剩余

2np3

剩余

np3

剩余

500

方案二：

500吨材料可供加工3个月。

一月进货

二月进货

三月进货

剩余

500-np3

剩余

500-2np2

剩余

500-3np3

四月进货

6np3-500

五月进货

六月进货

剩余

2np3

剩余

np3

剩余

七月进货

np3

八月进货

np3

九月进货

np3

剩余

十月进货

3np3

十一月进货

十二月进货

500

剩余

2np3

剩余

np3

剩余

500

……

对于使用花生油2或3的情况，建模方法类似。

中间三种可认为是变量为菜籽油1的情况，分析方法为：

分析菜籽油1的采购方案，花生油的采购方案可参照问题1中所给方案中的花生油部分。

后面三种是变量为菜籽油2的情况。

分析方法类似。

②原料油不得少于20吨

该种情况的分析方法更为简单，只是需要在第一项内容中约束条件条件，npi≥20（i=1,2,3……）

40≤n（p1+p2）≤200

20≤np1≤200

20≤np2≤200

60≤n（p3+p4+p5）≤250

20≤np3≤250

20≤np4≤250

20≤np5≤250

p1+p2+p3+p4+p5=1

8.8p1+6.1p2+2.0p3≥3

8.8p1+6.1p2+2.0p3≤6

建模方法与分析方法与问题1中类似

③使用了菜籽油，必须用花生油3

约束条件增加：

p5>0

5.模型评价与改进

在生产过程中，厂家都是在尽量减少生产成本，并改进配方，以迎合市场的需要并获得最大的利润。

在中国市场上，目前有很多种品牌和品种调和油，其配方存在较大的差异，价格也有很大的差距。

虽然国家出台了一定的标准，但只有一级油、二级油、三级油、四级油。

之分，并不指调和油的配比方案，各企业生产的调和油多是执行其各自的企业标准。

这种情况直接导致了调和油的配比差异，对建模的有效性和实用性产生影响。

以上的建模方法中，只给出了不同原料油之间的配比，参照的标准为调和油的硬度关系，但在实际中还要考虑营养的配比。

目前市场上热销的一种“健康比例”调和油，是按照不同脂肪酸的含量进行配比。

在原料的采购方面，忽视了实际生产中可能出现的问题，而仅仅考虑了采购价格和存贮费用对成本的影响。

例如，市场上的产品销量减少或脱销，都对下季度乃至下个月的生产带来影响；再者，价格表的数据往往是根据往年的经验进行预测，但常常会出现一些特殊情况造成影响。

6.参考文献

1.陈汝栋，数学模型与数学建模[M],北京：

国防工业出版社，2006:

111-114

2.许洪范，数学建模教程[M]，北京：

国防工业出版社，2004：

92-99

3.XX百科搜索：

调和油，

食用油，

附表1具体进货方案的讨论

由于油罐中存贮着500吨的原料，显然，满足前两个月的生产需要，不需要进行原料的采购给出进货量和剩余量方案

月份

菜籽油1

菜籽油2

花生油1

花生油2

花生油3

一月进货

二月进货

结余

500-2np1

500-2np2

500-2np3

500-2np4

500-2np5

三月的情况做如下讨论：

情况1：

油料1或2只能维持两个月的生产，第三月需进货。

以油料1需进货为例即500-3np1≤0，则油料1应进货（3np1-500）吨，而油料2可满足6个月的生产需求。

考虑花生油1—3的生产需要。

以下我们假设一种情况讨论，即某一种原料用量最多，最先需要进货，以花生油1为例，第三月需进货（3np3-500）吨，则花生油2、3可满足6个月的生产需要。

对应情况为

月份

菜籽油1

菜籽油2

花生油1

花生油2

花生油3

三月进货

3np1-500

3np3-500

结余

500-3np2

500-3np4

500-3np5

情况2：

菜籽油的情况同情况1。

花生油1可维持3个月的生产，则花生油2、3仍可维持6个月的生产，不需进货。

月份

菜籽油1

菜籽油2

花生油1

花生油2

花生油3

三月进货

3np1-500

结余

500-3np2

500-3np3

500-3np4

500-3np5

情况3：

菜籽油的情况同情况1。

花生油1可维持4个的生产，花生油2或3仍可维持6个月的生产，得到以下的结果

月份

菜籽油1

菜籽油2

花生油1

花生油2

花生油3

三月进货

3np1-500

结余

500-3np2

500-3np3

500-3np4

500-3np5

情况4：

菜籽油的情况同情况1。

花生油1可维持4个的生产，花生油2或3可维持5个月的生产，以花生油2为例，得到以下的结果

月份

菜籽油1

菜籽油2

花生油1

花生油2

花生油3

三月进货

3np1-500

结余

500-3np2

500-3np3

500-3np4

500-3np5

四月的进货情况在三月情况的基础上作以下的讨论：

情况1：

油料1、3继续进货，油料2、4、5继续维持。

对应情况为

月份

菜籽油1

菜籽油2

花生油1※

花生油2

花生油3

四月进货

np1

3np3

结余

500-4np2

2np3+500

500-4np4

500-4np5

※花生油1在本月本需np3吨，但由于花生油1在4月已进货，则其在5、6月仍需继续进货，根据第二项的讨论结果，应在本月大量进货。

则花生油1最终在本月所进原料为：

四月所需+五月所需+六月所需+保底原料500吨=np3+np3+np3+500=3np3+500（<1000）吨，剩余（2np3+500）吨。

情况2：

菜籽油的情况同情况1。

花生油1第四月需进货，则花生油2、3继续维持，不需进货。

月份

菜籽油1

菜籽油2

花生油1

花生油2

花生油3

四月进货

np1

6np3

结余

500-4np2

2np3+500

500-4np4

500-4np5

花生油1在本月本需（4np3-500）吨，根据情况1的分析，花生油1最终在本月所进原料为：

四月所需+五月所需+六月所需+保底原料500吨=（4np3-500）+np3+np3+500=6np3（<1000）吨，剩余（2np3+500）吨。

情况3：

菜籽油的情况同情况1。

花生油1可维持4个的生产，本月不需进货，但由于加成和成本低，需在本月进货。

进货量为：

5月np3+6月np3+保底500=（2np3+500）吨，本月剩余（1000-2np3）吨。

花生油2或3仍可维持6个月的生产，得到以下的结果

月份

菜籽油1

菜籽油2

花生油1

花生油2

花生油3

四月进货

np1

2np3+500

结余

500-4np2

1000-2np3

500-4np5

情况4：

菜籽油的情况同情况1。

花生油1可维持4个的生产，其进货情况类似情况3。

花生油2或3可维持5个月的生产，以花生油2为例，得到以下的结果

月份

菜籽油1

菜籽油2

花生油1

花生油2

花生油3

四月进货

np1

2np3+500

结余

500-4np2

1000-2np3

500-3np5

五月的进货情况在四月情况的基础上作以下的讨论：

情况1：

菜籽油1继续进货，其余油料继续维持。

对应情况为

月份

菜籽油1

菜籽油2

花生油1

花生油2

花生油3

五月进货

np1

结余

500-5np2

np3+500

500-5np4

500-5np5

情况2：

类似于情况1

月份

菜籽油1

菜籽油2

花生油1

花生油2

花生油3

五月进货

np1

结余

500-5np2

np3+500

500-5np4

500-5np5

情况3：

花生油1已完成进货，本月可满足生产需求

月份

菜籽油1

菜籽油2

花生油1

花生油2

花生油3

五

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