概率论习题参考解答1.docx
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概率论习题参考解答1
概率论第二章习题参考解答
1.用随机变量来描述掷一枚硬币的试验结果.写出它的概率函数和分布函数.
解:
假设ξ=1对应于"正面朝上",ξ=0对应于反面朝上.则
P（ξ=0）=P（ξ=1）=0.5.
其分布函数为
2.如果ξ服从0-1分布,又知ξ取1的概率为它取0的概率的两倍,写出ξ的分布律和分布函数.
解:
根据题意有
P（ξ=1）=2P（ξ=0）
（1）
并由概率分布的性质知
P（ξ=0）+P（ξ=1）=1
（2）
将
（1）代入
（2）得
3P（ξ=0）=1,即P（ξ=0）=1/3
再由
（1）式得
P（ξ=1）=2/3
因此分布律由下表所示
ξ
0
1
P
1/3
2/3
而分布函数为
3.如果ξ的概率函数为P{ξ=a}=1,则称ξ服从退化分布.写出它的分布函数F（x）,画出F（x）的图形.
解:
它的图形为
4.一批产品分一,二,三级,其中一级品是二级品的两倍,三级品是二级品的一半,从这批产品中随机地抽取一个检验质量,用随机变量描述检验的可能结果,写出它的概率函数.
解设ξ取值1,2,3代表取到的产品为一,二,三级,则根据题意有
P（ξ=1）=2P（ξ=2）
（1）
P（ξ=3）=P（ξ=2）/2
（2）
由概率论性质可知
P（ξ=1）+P（ξ=2）+P（ξ=3）=1（3）
（1）,
（2）代入（3）得:
2P（ξ=2）+P（ξ=2）+P（ξ=2）/2=1
解得P（ξ=2）=2/7,再代回到
（1）和
（2）得
P（ξ=1）=4/7,P（ξ=3）=1/7
则概率函数为
或列表如下:
ξ
1
2
3
P
4/7
2/7
1/7
5.一批产品20个,其中有5个次品,从这批产品中随意抽取4个,求这4个中的次品数ξ的分布律.
解:
基本事件总数为,
有利于事件{ξ=i}（i=0,1,2,3,4）的基本事件数为,则
ξ
0
1
2
3
4
P
0.2817
0.4696
0.2167
0.031
0.001
6.一批产品包括10件正品,3件次品,有放回地抽取,每次一件,直到取得正品为止,假定每件产品被取到的机会相同,求抽取次数ξ的概率函数.
解:
每次抽到正品的概率相同,均为p=10/13=0.7692,则每次抽到次品的概率q=1-p=0.2308则ξ服从相应的几何分布,即有
7.上题中如果每次取出一件产品后,总以一件正品放回去,直到取得正品为止,求抽取次数ξ的分布律.
解:
这样抽取次数就是有限的,因为总共只有3件次品,即使前面三次都抽到次品,第四次抽时次品已经全部代换为正品,因此必然抽到正品,这样ξ的取值为1,2,3,4.
不难算出,
ξ的分布律如下表所示:
ξ
1
2
3
4
P
0.7692
0.1953
0.0328
0.0027
8.自动生产线在调整之后出现废品的概率为p,当在生产过程中出现废品时立即重新进行调整,求在两次调整之间生产的合格品数ξ的概率函数.
解:
事件ξ=i说明生产了i次正品后第i+1次出现废品,这是i+1个独立事件的交（1次发生i次不发生,因此有
P（ξ=i）=p（1-p）i,（i=0,1,2,…）
9.已知随机变量ξ只能取-1,0,1,2四个值,相应概率依次为,确定常数c并计算P{ξ<1|ξ≠0}.
解:
根据概率函数的性质有
即
得
设事件A为ξ<1,B为ξ≠0,（注:
如果熟练也可以不这样设）则
10.写出第4题及第9题中各随机变量的分布函数.
解:
第4题:
第9题:
当x<-1时:
F（x）=P（ξ≤x）=0
当-1≤x<0时:
F（x）=P（ξ≤x）=P（ξ=-1）=
当0≤x<1时:
F（x）=P（ξ≤x）=P（ξ=-1）+P（ξ=0）=
当1≤x<2时:
F（x）=P（ξ≤x）=P（ξ=-1）+P（ξ=0）+P（ξ=1）=
当x≥2时:
F（x）=P（ξ≤x）=1
综上所述,最后得:
11.已知ξ~,求ξ的分布函数F（x）,画出F（x）的图形.
解:
当x<0时:
F（x）=0;
当0≤x<1时:
当x≥1时:
F（x）=1
综上所述,最后得
图形为
12.已知ξ~,求P{ξ≤0.5};P（ξ=0.5）;F（x）.
解:
因ξ为连续型随机变量,因此取任何点的概率均为零,所以P{ξ=0.5}=0,
求F（x）:
当x<0时,F（x）=0
当0≤x<1时,
当x≥1时,F（x）=1
综上所述,最后得:
13.某型号电子管,其寿命（以小时计）为一随机变量,概率密度,某一个电子设备内配有3个这样的电子管,求电子管使用150小时都不需要更换的概率.
解:
先求一个电子管使用150小时以上的概率P（ξ≥150）为:
则3个这样的电子管构成贝努里独立试验概型,试验三次发生三次的概率为
14.设连续型随机变量ξ的分布函数为:
求系数A;P（0.3<ξ<0.7）;概率密度φ（x）.
解:
因ξ是连续型随机变量,因此F（x）也必是连续曲线,则其在第二段（0,1）区间的曲线必能和第三段（1,+∞）的曲线接上,则必有
A×12=1,即A=1.则分布函数为
P（0.3<ξ<0.7）=F（0.7）-F（0.3）=0.72-0.32=0.49-0.09=0.4
概率密度φ（x）为
15.服从柯西分布的随机变量ξ的分布函数是F（x）=A+Barctgx,求常数A,B;P{|ξ|<1}以及概率密度φ（x）.
解:
由F（-∞）=0,
得A+Barctg（-∞）=
（1）
再由F（+∞）=1,
得
（2）
综和
（1）,
（2）两式解得
即
16.服从拉普拉斯分布的随机变量ξ的概率密度,求系数A及分布函数F（x）.
解:
这实际上是一个分段函数,φ（x）可重新写为
根据性质,又因φ（x）为偶函数,因此有
则有A=1/2
因此.
求分布函数F（x）.
当x<0时,有
当x≥0时,有
综上所述,最后得
17.已知,计算P{ξ≤0.2|0.1<ξ≤0.5}
解:
设事件A={ξ≤0.2},B={0.1<ξ≤0.5},则要计算的是条件概率P（A|B）,而
而事件AB={ξ≤0.2}∩{0.1<ξ≤0.5}={0.1<ξ≤0.2}
因此有
最后得
18.已知,确定常数c.
解:
首先证明普阿松广义积分,因为函数并不存在原函数,因此需要一技巧.令,则
作极坐标代换,令,则积分区间为全平面,即θ从0积到2π,r从0积到+∞,且,因此有
所以I=π.
现确定常数c,由性质,
得
19.已知,求常数c及P{a-1<ξ≤a+1}.
解:
由性质得
解得,因此有
则
20.二元离散型随机变量（ξ,η）有如下表所示的联合概率分布:
η
ξ
0
1
2
3
4
5
6
0
0.202
0.174
0.113
0.062
0.049
0.023
0.004
1
0
0.099
0.064
0.040
0.031
0.020
0.006
2
0
0
0.031
0.025
0.018
0.013
0.008
3
0
0
0
0.001
0.002
0.004
0.011
求边缘概率分布,ξ与η是否独立?
解:
按下表计算ξ与η的边缘分布:
η
ξ
0
1
2
3
4
5
6
pi
（1）
0
0.202
0.174
0.113
0.062
0.049
0.023
0.004
0.627
1
0
0.099
0.064
0.040
0.031
0.020
0.006
0.260
2
0
0
0.031
0.025
0.018
0.013
0.008
0.095
3
0
0
0
0.001
0.002
0.004
0.011
0.018
pj
（2）
0.202
0.273
0.208
0.128
0.100
0.060
0.029
得ξ的边缘分布如下表所示:
ξ
0
1
2
3
P
0.627
0.260
0.095
0.018
以及η的边缘分布如下表所示:
η
0
1
2
3
4
5
6
P
0.202
0.273
0.208
0.128
0.1
0.06
0.029
当i=1及j=0时,
因
因此ξ与η相互间不独立.
21.假设电子显示牌上有3个灯泡在第一排,5个灯泡在第二排.令ξ,η分别表示在某一规定时间内第一排和第二排烧坏的灯泡数.若ξ与η的联合分布如下表所示:
η
ξ
0
1
2
3
4
5
0
0.01
0.01
0.03
0.05
0.07
0.09
1
0.01
0.02
0.04
0.05
0.06
0.08
2
0.01
0.03
0.05
0.05
0.05
0.06
3
0.01
0.01
0.04
0.06
0.06
0.05
试计算在规定时间内下列事件的概率:
（1）第一排烧坏的灯泡数不超过一个;
（2）第一排与第二排烧坏的灯泡数相等;
（3）第一排烧坏的灯泡数不超过第二排烧坏的灯泡数.
解:
假设事件A为第一排烧坏的灯泡数不超过一个,B为第一排与第二排烧坏的灯泡数相等,C为第一排烧坏的灯光数不超过第二排烧坏的灯泡数.
则事件A发生的概率为上表中头两排概率之和
事件B发生的概率为上表中从0行0列开始的斜对角线之和
事件C发生的概率为上表中斜对角线上右的各个数相加（包括斜对角线上的数）,但为减少运算量,也可以考虑其逆事件的概率,然后用1减去它.而的概率为上表中斜对角线的左下角的所有概率之和（不包括斜对角线）:
22.袋中装有标上号码1,2,2的3个球,从中任取一个并且不再放回,然后再从袋中任取一球,以ξ,η分别记为第一,二次取到球上的号码数,求（ξ,η）的分布律（袋中各球被取机会相同）.
解:
因为有两个2一个1,因此第一次取到2号的概率为P（ξ=2）=2/3,第一次取到1号的概率为P（ξ=1）=1/3.第一次取到2号后还剩下一个2号一个1号,则在此条件下第二次取到1号的概率P（η=1|ξ=2）=P（η=2|ξ=2）=1/2.而第一次取到1号后还剩下两个2号,因此这时P（η=1|ξ=1）=0,P（η=2|ξ=1）=1.
综上所述并用乘法法则可得
（ξ,η）的分布律如下表所示:
η
ξ
1
2
1
0
1/3
2
1/3
1/3
23.（ξ,η）只取下列数组中的值：
且相应的概率依次为1/6,1/3,1/12,5/12.列出（ξ,η）的概率分布表,写出关于η的边缘分布.
解:
从上面数组可知ξ只取-1,0,2这三个值,而η只取0,,1这三个值,因此总共可构成九个数对,其中只有四个数对的概率不为零.
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