高考数学文科一轮复习 定点 定值 探索性问题.docx

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高考数学文科一轮复习定点定值探索性问题

听课手册破解难点优质课四定点定值探索性问题

破解难点一　定点问题

1.参数法:

参数法解决定点问题的思路:

（1）引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量,即确定题目中的核心变量（此处设为k）;

（2）利用条件找到k与过定点的曲线F（x,y）=0之间的关系,得到关于k与x,y的等式,再研究变化量与参数何时没有关系,找到定点.

案例（选取六年全国卷）

关键步

[2017·全国卷Ⅱ]设O为坐标原点,动点M在椭圆C:

+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足=　.

（1）求点P的轨迹方程;

（2）设点Q在直线x=-3上,且·=1,证明:

过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.

……

（2）由题意知F（-1,0）.设Q（-3,t）,P（m,n）,则=（-3,t）,=（-1-m,-n）,【关键1:

用参数表示P,Q的坐标及向量,】

·=3+3m-tn,

=（m,n）,=（-3-m,t-n）.

由·=1得-3m-m2+tn-n2=1,

又由

（1）知m2+n2=2,故3+3m-tn=0,

所以·=0,【关键2:

根据

（1）中点P的轨迹方程,在·=1的前提下,证明·=0】

即⊥.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.【关键3:

利用平面内过一点作一条直线的垂线的唯一性,即得直线l过点F】

2.由特殊到一般法:

由特殊到一般法求解定点问题时,常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.

案例（选取六年全国卷）

关键步

[2017·全国卷Ⅰ]已知椭圆C:

+=1（a>b>0）,四点P1（1,1）,P2（0,1）,P3,P4

1,

中恰有三点在椭圆C上.

（1）求C的方程;

（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点,若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明:

l过定点.

……

（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2.如果l与x轴垂直,设l:

x=t,由题设知t≠0,且|t|<2,可得A,B的坐标分别为

t,

t,-

则k1+k2=-=-1,得t=2,不符合题设.【关键1:

设出直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2,验证当直线l与x轴垂直时,直线过定点的情况】

从而可设l:

y=kx+m（m≠1）.将y=kx+m代入+y2=1得（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0.

由题设可知Δ=16（4k2-m2+1）>0.

设A（x1,y1）,B（x2,y2）,则x1+x2=-,x1x2=.而k1+k2=+=+=.

由题设k1+k2=-1,故（2k+1）x1x2+（m-1）（x1+x2）=0,

即（2k+1）·+（m-1）·=0,

解得k=-.【关键2:

设出直线l的方程并与椭圆方程联立,消去y得到关于x的一元二次方程,利用韦达定理及条件找到直线l中两个参数的关系】

当且仅当m>-1时,Δ>0,于是l:

y=-x+m,即y+1=-（x-2）,所以l过定点（2,-1）.

【关键3:

将k与m的关系再回代变形,得到直线过定点】

例1[2018·安徽淮南二模]已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点在y轴上,且抛物线上有一点P（m,5）到焦点的距离为6.

（1）求该抛物线C的方程;

（2）已知抛物线上一点M（4,t）,过点M作抛物线的两条弦MD和ME,且MD⊥ME,判断直线DE是否过定点,并说明理由.

[总结反思]对于满足一定条件的曲线上的两点的连线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题,证明直线或曲线过定点,一般有两种方法:

①分离参数法,一般可以根据需要选定参数λ∈R,结合已知条件求出直线或曲线的方程,分离参数得到等式f1（x,y）λ2+f2（x,y）λ+f3（x,y）=0（一般地,fi（x,y）（i=1,2,3）为关于x,y的二元一次关系式）,由上述原理可得方程组从而求得该定点;②特殊探求法,一般先考虑动直线或曲线的特殊情况,找出定点的位置,再证明该定点在该直线或该曲线上（将定点的坐标代入直线或曲线的方程后等式恒成立）.

变式题已知椭圆C:

+=1（a>b>0）的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,且椭圆C的离心率为.

（1）求椭圆C的方程;

（2）设P是椭圆C的右顶点,过P点作两条直线分别与椭圆C交于另一点A,B,若直线PA,PB的斜率之积为-,求证:

直线AB恒过一个定点,并求出这个定点的坐标.

例2[2018·南昌模拟]已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,且过点P,直线l与椭圆交于A,B两点（A,B两点不是左、右顶点）,当直线l的斜率为时,弦AB的中点D在直线y=-x上.

（1）求椭圆C的方程.

（2）若以AB为直径的圆过椭圆的右顶点,则直线l是否经过定点?

若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.

[总结反思]定点问题可通过取特殊值来确定“定点”是什么,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题,证明该式是恒定的.定点问题与证明问题类似,在求定点之前已知该值的结果,因此求解时应设参数,运用推理,到最后必定参数统消,定点显现.

破解难点二　定值问题

1.直接消参求定值:

常见定值问题的处理方法:

（1）确定一个（或两个）变量为核心变量,其余量均利用条件用核心变量进行表示;

（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量）,然后进行化简,看能否得到一个常数.

案例（选取六年全国卷）

关键步

[2017·全国卷Ⅰ]设A,B为曲线C:

y=上两点,A与B的横坐标之和为4.

（1）求直线AB的斜率;

（2）设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.

（1）设A（x1,y1）,B（x2,y2）,则x1≠x2,y1=,y2=,x1+x2=4,【关键1:

设出点的坐标,代入抛物线方程】

于是直线AB的斜率k===1.【关键2:

点差法求斜率】

（续表）

案例（选取六年全国卷）

关键步

[2017·全国卷Ⅲ]在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为（0,1）.当m变化时,解答下列问题:

（1）能否出现AC⊥BC的情况?

说明理由.

（2）证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.

……

（2）BC的中点坐标为

可得BC的中垂线方程为y-=x2

x-

.【关键1:

求出点的坐标及直线方程】

由

（1）可得x1+x2=-m,所以AB的中垂线方程为x=-.

联立又+mx2-2=0,可得

所以过A,B,C三点的圆的圆心坐标为

-,-

半径r=.【关键2:

求圆心坐标及半径】

故圆在y轴上截得的弦长为2=3,【关键3:

消元求弦长】

即过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.

[2015·全国卷Ⅱ]已知椭圆C:

+=1（a>b>0）的离心率为,点（2,）在C上.

（1）求C的方程;

（2）直线l不经过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M,证明:

直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.

……

（2）设直线l:

y=kx+t（k≠0,t≠0）,A（x1,y1）,B（x2,y2）,M（xM,yM）.【关键1:

设出直线的方程与点的坐标】

将y=kx+t代入+=1得（2k2+1）x2+4ktx+2t2-8=0.

故xM==,yM=k·xM+t=.【关键2:

直线方程与椭圆方程联立消元,用参数表示点的坐标】

于是直线OM的斜率kOM==-,即kOM·k=-.【关键3:

用参数表示直线的斜率】

所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.

2.从特殊到一般求定值:

常用处理技巧:

（1）在运算过程中,尽量减少所求表达式中变量的个数,以便于向定值靠拢;

（2）巧妙利用变量间的关系,例如点的坐标符合曲线方程等,尽量做到整体代入,简化运算.

案例（选取六年全国卷）

关键步

[2015·四川卷]如图,椭圆E:

+=1（a>b>0）的离心率是,点P（0,1）在短轴CD上,且·=-1.

（1）求椭圆E的方程.

（2）设O为坐标原点,过点P的动直线与椭圆交于A,B两点.是否存在常数λ,使得·+λ·为定值?

若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由.

……

（2）（i）当直线AB斜率不存在时,直线AB即为直线CD.

此时,·+λ·=·+·=-2-1=-3.【关键1:

分类讨论,证明当AB斜率不存在时·+λ·为定值】

（ii）当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+1,A,B的坐标分别为（x1,y1）,（x2,y2）.

联立得（2k2+1）x2+4kx-2=0.

其判别式Δ=（4k）2+8（2k2+1）>0,所以x1+x2=-,x1x2=-.【关键2:

当直线斜率存在时,联立直线方程与椭圆方程,用参数表示交点的坐标】

从而·+λ·=x1x2+y1y2+λ[x1x2+（y1-1）（y2-1）]=（1+λ）（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1==--λ-2.

所以,当λ=1时,--λ-2=-3.【关键3:

构造·+λ·关于k,λ的表达式,得到当λ=1时·+λ·的值】

此时,·+λ·=-3为定值.

故存在常数λ=1,使得·+λ·为定值-3.

例3[2018·湖北荆州中学月考]已知动圆过定点A（2,0）,且在y轴上截得弦MN的长为4.

（1）求动圆圆心的轨迹E的方程.

（2）设B（1,0）,过点A斜率为k（k>0）的直线l交轨迹E于P,Q两点,PB,QB的延长线分别交轨迹E于S,T两点.

①若△PQB的面积为3,求k的值;

②记直线ST的斜率为kST,证明:

为定值,并求出这个定值.

[总结反思]求解代数式为定值的问题,常依题意设变量,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式,化简计算,并在计算推理的过程中消去变量,即可得出定值.

变式题已知抛物线C:

y2=2px（p>0）在第一象限内的点P（2,t）到焦点F的距离为.

（1）若M,过点M,P的直线l1与抛物线相交于另一点Q,求的值.

（2）若直线l2与抛物线C相交于A,B两点,与圆N:

（x-a）2+y2=1相交于D,E两点,O为坐标原点,OA⊥OB,试问:

是否存在实数a,使得|DE|的长为定值?

若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.

破解难点三　探索性问题

探索性问题的解法:

先假设存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,推证满足条件的结论,若方程组有实数解,则元素（点、直线、曲线或参数）存在;否则,元素（点、直线、曲线或参数）不存在.要注意的是:

（1）当条件和结论不唯一时要分类讨论;

（2）当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件;（3）当条件和结论都不确定,按常规方法解题很难时,要开放思维,采取另外合适的方法.

案例（选取六年全国卷）

关键步

[2016·全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy中,直线l:

y=t（t≠0）交y轴于点M,交抛物线C:

y2=2px（p>0）于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.

（1）求;

（2）除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?

说明理由.

……

（2）直线MH与C除H以外没有其他公共点.理由如下:

直线MH的方程为y-t=x,即x=（y-t）,【关键1:

设出直线方程】

代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,【关键2:

联立直线方程与抛物线方程,求出交点的坐标】

即直线MH与C只有一个公共点,所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.【关键3:

根据方程的解得到直线与曲线C的公共点情况】

例4[2018·山西太原一模]已知椭圆C:

+=1（a>b>0）的左顶点为A,右焦点为F2（2,0）,点B（2,-）在椭圆C上.

（1）求椭圆C的方程.

（2）若直线y=kx（k≠0）与椭圆C交于E,F两点,直线AE,AF分别与y轴交于点M,N,在x轴上是否存在点P,使得无论非零实数k怎样变化,总有∠MPN为直角?

若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

[总结反思]

（1）对于存在性问题,通常先假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在,将不确定性问题明朗化,然后推出结论;

（2）由于解析几何问题的解答中一般要涉及大量的计算,因此在解题时要注意运算的合理性和正确性.

变式题[2018·安徽六安一中月考]已知椭圆C:

+=1（a>b>0）的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点,点D在椭圆C上,直线l:

y=kx+m与椭圆C交于A,P两点,与x轴、y轴分别相交于点N和点M,且=,点Q是点P关于x轴的对称点,QM的延长线交椭圆于点B,过点A,B分别作x轴的垂线,垂足为A1,B1.

（1）求椭圆C的方程.

（2）是否存在直线l,使得点N平分线段A1B1?

若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.

完成专题突破训练（四）