八下四边形综合练习题2.docx
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八下四边形综合练习题2
八下期四边形练习题2.学生
(2013•江西模拟)如图1,在平面直角坐标中,直角梯形OABC的顶点A的坐标为(4,0),直线y=-
1
4
x+3经过顶点B,与y轴交于顶点C,AB∥OC.
(1)求顶点B的坐标;
(2)如图2,直线l经过点C,与直线AB交于点M,点O´为点O关于直线l的对称点,连接CO´,并延长交直线AB于第一象限的点D,当CD=5时,求直线l的解析式;
(3)在
(2)的条件下,点P在直线l上运动,点Q在直线OD上运动,以P、Q、B、C为顶点的四边形能否成为平行四边形?
若能,求出点P的坐标;若不能,说明理由.
考点:
一次函数综合题;一次函数图象上点的坐标特征;待定系数法求一次函数解析式;平行四边形的性质.
专题:
综合题.
分析:
(1)设点B的坐标为(4,y),把x=4代入y=-
1
4
x+3中得y=2,即可求出B点的坐标;
(2)过C点作CN⊥AB于N,求出M(4,1),设l解析式y=kx+b把(0,3)(4,1)代入并求解,可得解析式;
(3)AD=6,BC为一边∴D(4,6)∴OD的解析式为y=
3
2
x过P,Q作x轴平行线,设P(x,-
1
4
x+3)∴Q(x-4,4-
1
2
x)代入y=
3
2
x中得x=5∴P1(5,
1
2
),同理P2(-2,4),当BC为对角线时,设P(a,-
1
2
a+3)Q(b,
3
2
b)
a+b=4
−
1
2
a+3+
3
2
b=5
a=2
b=2
,∴p3(2,2).
解答:
解:
(1)∵A(4,0),AB∥OC,设点B的坐标为(4,y)
把x=4代入y=-
1
4
x+3中,得:
y=2,
∴B(4,2);
(2)过C点作CN⊥AB于N,∵AB∥OC,∴∠OCM=∠DMC,
由题意∠DCM=∠OCM,
∴∠DCM=∠DMC
∴CD=MD=5,
∵y=-
1
4
x+3,当x=0时y=3,
∴OC=3,
∵CN=OA=4,
∴DN=
52−42
=3,
∴NM=5-3=2,
∴AM=1
∴M(4,1),
设l解析式y=kx+b把(0,3)(4,1)代入
得:
3=b
1=4k+b
,解得
k=−
1
2
b=3
,
∴l的解析式为:
y=-
1
2
x+3,
(3)∵AD=6,BC为一边,∴D(4,6),
∴OD的解析式为y=
3
2
x,
过P作y轴垂线交直线AD于点U,过点Q作x轴平行线分别与y轴交于点V,与y轴的平行线交x轴于N,
设P(x,-
1
2
x+3),
∵∠OCQ=∠ABP,∠CVQ=∠PUB=90°,且CQ=PB,
∴△CVQ≌△BUP,则PU=QV=x-4,
∴Q(x-4,4-
1
2
x)代入y=
3
2
x中,得:
x=5,
∴P1(5,
1
2
),
备用如图2,同理P2(-2,4),
当BC为对角线时,设P(a,-
1
2
a+3)、Q(b,
3
2
b)
a+b=4
−
1
2
a+3+
3
2
b=5
,
解得:
a=2
b=2
,
∴p3(2,2).
如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,点E、F分别在边BC、CD上.
(1)若AB=4,试求菱形ABCD的面积;
(2)若∠AEF=60°,求证:
AB=CE+CF.
解
(1)作AM⊥BC于点M,AM=2,AM=
菱形ABCD的面积为
(2)补短法:
延长FC至点N,使CN=CE,连EN,先证△CEN是等边三角形,再证
△FEN≌△AEC(ASA),得FN=AC=AB即可。
注意:
也可延长EC.
变式1:
如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,点E是边BC上的动点,∠AEF=60°,点F在边CD上.下列结论:
①BE=DF②AE=EF③∠BAE=∠CEF④AB=CE+CF.其中正确结论的个数是()
A1B2C、3D、4
答案:
①错故选C
变式2:
如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,点E是边BC上的动点,∠AEF=60°,点F在边CD上.
求证:
①∠BAE=∠CEF②AE=EF③AB=CE+CF
如图,正方形ABCD中,AB=6,点E在边CD上,且CD=3DE。
将△ADE沿对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连结AG、CF。
①求证:
△ABG≌△AFG;②求GC的长;③求证:
AG∥CF;④求△EGC的面积。
A1B2C、3D、4
已知:
如图上右,在正方形ABCD外取一点E,连接AE、BE、DE.过点A作AE的垂线交DE于点P.若AE=AP=1,PB=
.
①求证:
△APD≌△AEB;②求证:
EB⊥ED③求点B到直线AE的距离;④求S△APD+S△APB;⑤求S正方形ABCD
如图,在正方形纸片ABCD中,对角线AC、BD交于点O,折叠正方形纸片ABCD,使AD落在BD上,点A恰好与BD上的点F重合.展开后,折痕DE分别交AB,AC于点E,G.连接GF.
(1)求证:
四边形AEFG是菱形;
(2)求证:
BE=2OG.
如图,正方形ABCD中,M为AD边上的一点,连接BM,过点C作CN∥BM,交AD的延长线于点N,在CN上截取CE=BC,连接BE交CD于F,
(1)若∠AMB=60°,CE=
,求DF的长度;
(2)求证:
BM=DN+CF.
..如图,在平面直角坐标系中,直线
分别交x轴、y轴于A、B两点,以OA、OB为边作矩形OACB,D为BC的中点,以M(4,0),N(8,0)为斜边端点作等腰直角三角形PMN,点P在第一象限,设△OAB与△PMN重叠部分的面积为S.
(1)求点P的坐标.
(2)在b值的变化过程中,若△PCD为等腰三角形,且PC=PD,请直接写出b的值.
答案:
b的值为4.
∵点C、D的坐标分别为(2b,b),(b,b),PC=PD,P(6,2),
∴(6-2b)2+(2-b)2=(6-b)2+(2-b)2
∴b=4或b=0(舍去).
1.如图,在正方形ABCD中,E为正方形ABCD内一点,且∠AEB=90°,tan∠BAE=
,将△ABE绕点B逆时针旋转90°得到△CBF,连接EF、AC、CE,G为AE的中点,连接CG.有下列结论:
①△BEF为等腰直角三角形;②S正方形ABCD=8S△ECG;③∠ECB=∠CAG;④CG=AD.
其中正确结论的个数是( )
·
A.1B.2C.3D.4
提示:
②错,选C
2.2013•雅安)如图,正方形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上,△AEF是等边三角形,连接AC交EF于G,下列结论:
①BE=DF,②∠DAF=15°,③AC垂直平分EF,④BE+DF=EF,⑤S△CEF=2S△ABE.其中正确结论有( )个.
A.2
B.3
C.4
D.5
3.如图,正方形ABCD,点P是对角线AC上一点,连接BP,过P作PQ⊥BP,PQ交CD于Q,连接BQ交AC于G,若AP=
2
,Q为CD中点,则下列结论:
①∠PBC=∠PQD;②BP=PQ;③∠BPC=∠BQC;④正方形ABCD的面积是16;
其中正确结论的个数是( )
A.4
B.3
C.2
D.1
4.(2008•重庆)如图,在正方形纸片ABCD中,对角线AC、BD交于点O,折叠正方形纸片ABCD,使AD落在BD上,点A恰好与BD上的点F重合.展开后,折痕DE分别交AB,AC于点E,G.连接GF.下列结论:
①∠AGD=112.5°;②tan∠AED=2;③S△AGD=S△OGD;④四边形AEFG是菱形;⑤BE=2OG.其中正确结论的序号是
①④⑤①④⑤
5.如图,正方形ABCD中,点E是BC边的中点,连接DE,过点C作CF⊥DE交BD于点G,交AB于点H,连接BF,以下结论:
①AH=BH;②∠BFH=45°;③HF+EF=
2
BF;④DG=2BG.其中正确的结论是( )
A.①②
B.①③
C.①②③
D.①②③④
6.(2013•随州)如图,正方形ABCD中,AB=3,点E在边CD上,且CD=3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG,CF.下列结论:
①点G是BC中点;②FG=FC;③S△FGC=
9
10
.
其中正确的是( )
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
7.如图,正方形ABCD的三边中点E、F、G.连ED交AF于M,GC交DE于N,下列结论:
①GM⊥CM;
②CD=CM;
③四边形MFCG为等腰梯形;
④∠CMD=∠AGM.其中正确的有( )
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.①②③④
8.如图,正方形ABCD中,E、F均为中点,则下列结论中:
①AF⊥DE;②AD=BP;③PE+PF=
2
PC;④PE+PF=PC.
其中正确的是( )
A.①④
B.①②④
C.①③
D.①②③
提示:
(4)错,选D
9.
如图,正方形ABCD的三边中点E、F、G.连ED交AF于M,GC交DE于N,下列结论:
①GM⊥CM;②CD=CM;③四边形MFCG为等腰梯形;④∠CMD=∠AGM,其中正确的有
•
10如图,已知E、F分别为正方形ABCD的边AB,BC的中点,AF与DE交于点M,O为BD的中点,则下列结论:
①∠AME=90°;②∠BAF=∠EDB;③∠BMO=90°;④MD=2AM=4EM;⑤AM=
2
3
MF.其中正确结论的个数是( )
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
11.
如图,正方形ABCD中,O为BD中点,以BC为边向正方形内作等边△BCE,连接并延长AE交CD于F,连接BD分别交CE、AF于G、H,下列结论:
①∠CEH=45°;②GF∥DE;
③2OH+DH=BD;④BG=
2
DG;⑤S△BEC:
S△BGC=
3
+1
2
.
其中正确的结论是( )
A.①②③
B.①②④
C.①②⑤
D.②④⑤
12.如图,正方形ABCD中,AB=6,点G是边BC的中点,连接AG.将△ABC沿AG对折至△AFG,延长GF交边CD于点E,连接AE、CF.下列结论:
①△AFE≌△ADE;②EC=2DE;③S△EFC=2;④∠BAG+∠AFC=180°.其中正确结论的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
13.(2013•钦州模拟)正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示,点G在线段DK上,正方形BEFG的边长为4,则△DEK的面积为( )
A.10
B.12
C.14
D.16
提示:
解法1:
设正方形ABCD的边长为m,设正方形RKPF的边长为b,列代数式化简
解法2:
连BD、EG、FK,则三角形DBE的面积=三角形BGE的面积,三角形KGE的面积=三角形FGE的面积,故△DEK的面积=正方形BEFG的面积=16
13.正方形ABCD、正方形BEFG和正方形DMNK的位置如图所示,点A在线段NF上,AE=8,则△NFP的面积为( )
A.30
B.32
C.34
D.36
14.三个正方形ABCD、BEFG、CHIJ如下图所示摆放,已知ABCD的边长为10,BEFG的边长为6,阴影部分的面积是.
15.(2013•宝安区二模)如图1,在正方形ABCD和正方形BEFG中,点A,B,E在同一条直线上,连接DF,且P是线段DF的中点,连接PG,PC.
(1)如图1中,PG与PC的位置关系是
,数量关系是
;
(2)如图2将条件“正方形ABCD和正方形BEFG”改为“矩形ABCD和矩形BEFG”其它条件不变,求证:
PG=PC;
(3)如图3,若将条件“正方形ABCD和正方形BEFG”改为“菱形ABCD和菱形BEFG”,点A,B,E在同一条直线上,连接DF,P是线段DF的中点,连接PG、PC,且∠ABC=∠BEF=60°,求
PG
PC
的值.
17.如图1,在正方形ABCD和正方形BEFG中,点A,B,E在同一条直线上,P是线段DF的中点,连接PG,PC.
(1)探究PG与PC的位置关系及
PG
PC
的值(写出结论,不需要证明);
(2)如图2,将原问题中的正方形ABCD和正方形BEFG换成菱形ABCD和菱形BEFG,且∠ABC=∠BEF=60度.探究PG与PC的位置关系及
PG
PC
的值,写出你的猜想并加以证明;
(3)如图3,将图2中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转,使菱形BEFG的边BG恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上,问题
(2)中的其他条件不变.你在
(2)中得到的两个结论是否发生变化?
写出你的猜想并加以证明.
18.矩形ABCD沿EF折叠,使点B落在AD边上的B′处,再沿B′G折叠四边形,使B′D边与B′F重合,且B′D′过点F.已知AB=4,AD=13
(1)试探索EF与B′G的位置关系,并说明理由;
(2)若四边形EFGB′是菱形,求∠BFE的度数;
(3)若点D′与点F重合,求此时图形重叠部分的面积.
19.(2013•贵港)如图,点A(a,1)、B(-1,b)都在双曲线y=-
3
x
(x<0)上,点P、Q分别是x轴、y轴上的动点,当四边形PABQ的周长取最小值时,PQ所在直线的解析式是( )
A.y=x
B.y=x+1
C.y=x+2
D.y=x+3
答案:
C
20.(2010•塘沽区二模)已知:
如图①,在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动,速度为1cm/s;点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动,速度为2cm/s;连接PQ.若设运动的时间为t(s)(0<t<2),解答下列问题:
(1)当t为何值时,PQ∥BC?
(2)设△AQP的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;
(3)如图②,连接PC,并把△PQC沿QC翻折,得到四边形PQP′C,并且存在某一时刻t,使四边形PQP′C为菱形,求此时△AQP的面积.
21.已知,如图①,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AB=12cm,点P从点A沿AB以每秒2cm的速度向点B运动,点Q从点C以每秒1cm的速度向点A运动,设点P、Q分别从点A、C同时出发,运动时间为t(秒)(0<t<6),回答下列问题:
(1)直接写出线段AP、AQ的长(含t的代数式表示):
AP=
,AQ=
;
(2)设△APQ的面积为S,写出S与t的函数关系式;
(3)如图②,连接PC,并把△PQC沿QC翻折,得到四边形PQP′C,那么是否存在某一时间t,使四边形PQP′C为菱形?
若存在,求出此时t的值;若不存在,说明理由.
22.(2008•青岛)已知:
如图①,在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动,速度为1cm/s;点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动,速度为2cm/s;连接PQ.若设运动的时间为t(s)(0<t<2),解答下列问题:
(1)当t为何值时,PQ∥BC;
(2)设△AQP的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;
(3)是否存在某一时刻t,使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分?
若存在,求出此时t的值;若不存在,说明理由;
(4)如图②,连接PC,并把△PQC沿QC翻折,得到四边形PQP′C,那么是否存在某一时刻t,使四边形PQP′C为菱形?
若存在,求出此时菱形的边长;若不存在,说明理由.
23.(1997•重庆)已知如图,正方形ABCD中,E为DC上一点,连接BE,作CF⊥BE于P交AD于F点,若恰好使得AP=AB.求证:
E为DC中点.
24.如图正方形ABCD中,E为AD边上的中点,过A作AF⊥BE,交CD边于F,M是AD边上一点,且有BM=DM+CD.
(1)求证:
点F是CD边的中点;
(2)求证:
∠MBC=2∠ABE.
25.(2014•浦东新区二模)已知:
如图,在正方形ABCD中,点E是边AD的中点,联结BE,过点A作AF⊥BE,分别交BE、CD于点H、F,联结BF.
(1)求证:
BE=BF;
(2)联结BD,交AF于点O,联结OE.求证:
∠AEB=∠DEO.
26.如图,在正方形ABCD中,E为AD上一点,BF平分∠CBE交CD于F,试说明BE=CF+AE.
27.如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.
(1)求证:
CE=CF;
(2)在图1中,若G在AD上,且∠GCE=45°,则GE=BE+GD成立吗?
为什么?
(3)根据你所学的知识,运用
(1)、
(2)解答中积累的经验,完成下列各题:
①如图2,在直角梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠B=90°,AB=BC=12,E是AB的中点,且∠DCE=45°,求DE的长;
②如图3,在△ABC中,∠BAC=45°,AD⊥BC,BD=2,CD=3,则△ABC的面积为
(直接写出结果,不需要写出计算过程).
28.已知:
如图,在正方形ABCD中,E为BC中点,F为CD上一点,AE平分∠BAF.
求证:
AF=CF+AB.
(2011重庆市)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠DCB=450,CD=2,BC⊥CD。
过点C作CE⊥AB于E,交对角线BD于F,点G为BC中点,连结EG、AF.
(1)求EG的长;
(2)求证:
CF=AB+AF.
(2010重庆市)已知:
如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°.点E是DC的中点,过点E作DC的垂线交AB于点P,交CB的延长线于点M.点F在线段ME上,且满足CF=AD,MF=MA.
(1)若∠MFC=120°,求证:
AM=2MB;
(2)求证:
∠MPB=90°-
∠FCM.
(2009重庆市)
.已知:
如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90º,DE⊥AC于点F,交BC于点G,交AB的延长线于点E,且AE=AC。
(1)求证:
BG=FG;
(2)若AD=DC=2,求AB的长。
(2008重庆市)已知:
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,BC=DC,CF平分∠BCD,DF∥AB,BF的延长线交DC于点E。
求证:
(1)△BFC≌△DFC;
(2)AD=DE