八下四边形综合练习题2.docx
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八下四边形综合练习题2
八下期四边形练习题2.学生
（2013•江西模拟）如图1，在平面直角坐标中，直角梯形OABC的顶点A的坐标为（4，0），直线y=-
1
4
x+3经过顶点B，与y轴交于顶点C，AB∥OC．
（1）求顶点B的坐标；
（2）如图2，直线l经过点C，与直线AB交于点M，点O´为点O关于直线l的对称点，连接CO´，并延长交直线AB于第一象限的点D，当CD=5时，求直线l的解析式；
（3）在
（2）的条件下，点P在直线l上运动，点Q在直线OD上运动，以P、Q、B、C为顶点的四边形能否成为平行四边形？
若能，求出点P的坐标；若不能，说明理由．
考点：
一次函数综合题；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质．
专题：
综合题．
分析：
（1）设点B的坐标为（4，y），把x=4代入y=-
1
4
x+3中得y=2，即可求出B点的坐标；
（2）过C点作CN⊥AB于N，求出M（4，1），设l解析式y=kx+b把（0，3）（4，1）代入并求解，可得解析式；
（3）AD=6，BC为一边∴D（4，6）∴OD的解析式为y=
3
2
x过P，Q作x轴平行线，设P（x，-
1
4
x+3）∴Q（x-4，4-
1
2
x）代入y=
3
2
x中得x=5∴P1（5，
1
2
），同理P2（-2，4），当BC为对角线时，设P（a，-
1
2
a+3）Q（b，
3
2
b）
a+b＝4
−
1
2
a+3+
3
2
b＝5
a＝2
b＝2
，∴p3（2，2）．
解答：
解：
（1）∵A（4，0），AB∥OC，设点B的坐标为（4，y）
把x=4代入y=-
1
4
x+3中，得：
y=2，
∴B（4，2）；
（2）过C点作CN⊥AB于N，∵AB∥OC，∴∠OCM=∠DMC，
由题意∠DCM=∠OCM，
∴∠DCM=∠DMC
∴CD=MD=5，
∵y=-
1
4
x+3，当x=0时y=3，
∴OC=3，
∵CN=OA=4，
∴DN=
52−42
=3，
∴NM=5-3=2，
∴AM=1
∴M（4，1），
设l解析式y=kx+b把（0，3）（4，1）代入
得：
3＝b
1＝4k+b
，解得
k＝−
1
2
b＝3
，
∴l的解析式为：
y=-
1
2
x+3，
（3）∵AD=6，BC为一边，∴D（4，6），
∴OD的解析式为y=
3
2
x，
过P作y轴垂线交直线AD于点U，过点Q作x轴平行线分别与y轴交于点V，与y轴的平行线交x轴于N，
设P（x，-
1
2
x+3），
∵∠OCQ=∠ABP，∠CVQ=∠PUB=90°，且CQ=PB，
∴△CVQ≌△BUP，则PU=QV=x-4，
∴Q（x-4，4-
1
2
x）代入y=
3
2
x中，得：
x=5，
∴P1（5，
1
2
），
备用如图2，同理P2（-2，4），
当BC为对角线时，设P（a，-
1
2
a+3）、Q（b，
3
2
b）
a+b＝4
−
1
2
a+3+
3
2
b＝5
，
解得：
a＝2
b＝2
，
∴p3（2，2）．
如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，点E、F分别在边BC、CD上．
（1）若AB=4，试求菱形ABCD的面积；
（2）若∠AEF=60°，求证：
AB=CE+CF．
解
（1）作AM⊥BC于点M，AM=2，AM=
菱形ABCD的面积为
（2）补短法：
延长FC至点N，使CN=CE，连EN,先证△CEN是等边三角形，再证
△FEN≌△AEC（ASA），得FN=AC=AB即可。
注意：
也可延长EC.
变式1：
如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，点E是边BC上的动点，∠AEF=60°，点F在边CD上．下列结论：
①BE=DF②AE=EF③∠BAE=∠CEF④AB=CE+CF．其中正确结论的个数是（）
A1B2C、3D、4
答案：
①错故选C
变式2：
如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，点E是边BC上的动点，∠AEF=60°，点F在边CD上．
求证：
①∠BAE=∠CEF②AE=EF③AB=CE+CF
如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE。
将△ADE沿对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF。
①求证：
△ABG≌△AFG；②求GC的长；③求证：
AG∥CF;④求△EGC的面积。
A1B2C、3D、4
已知：
如图上右，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝
．
①求证：
△APD≌△AEB；②求证：
EB⊥ED③求点B到直线AE的距离；④求S△APD＋S△APB；⑤求S正方形ABCD
如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合．展开后，折痕DE分别交AB，AC于点E，G．连接GF．
（1）求证：
四边形AEFG是菱形；
（2）求证：
BE=2OG．
如图，正方形ABCD中，M为AD边上的一点，连接BM，过点C作CN∥BM，交AD的延长线于点N，在CN上截取CE=BC，连接BE交CD于F，
（1）若∠AMB=60°，CE=
，求DF的长度；
（2）求证：
BM=DN+CF．
..如图，在平面直角坐标系中，直线
分别交x轴、y轴于A、B两点，以OA、OB为边作矩形OACB，D为BC的中点，以M（4，0），N（8，0）为斜边端点作等腰直角三角形PMN，点P在第一象限，设△OAB与△PMN重叠部分的面积为S．
（1）求点P的坐标．
（2）在b值的变化过程中，若△PCD为等腰三角形，且PC=PD，请直接写出b的值．
答案：
b的值为4．
∵点C、D的坐标分别为（2b，b），（b，b），PC=PD，P（6，2），
∴（6-2b）2+（2-b）2=（6-b）2+（2-b）2
∴b=4或b=0（舍去）．
1.如图，在正方形ABCD中，E为正方形ABCD内一点，且∠AEB=90°，tan∠BAE=
，将△ABE绕点B逆时针旋转90°得到△CBF，连接EF、AC、CE，G为AE的中点，连接CG．有下列结论：
①△BEF为等腰直角三角形；②S正方形ABCD=8S△ECG；③∠ECB=∠CAG；④CG=AD．
其中正确结论的个数是（ ）
·
A．1B．2C．3D．4
提示：
②错，选C
2.2013•雅安）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：
①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE．其中正确结论有（ ）个．
A．2
B．3
C．4
D．5
3.如图，正方形ABCD，点P是对角线AC上一点，连接BP，过P作PQ⊥BP，PQ交CD于Q，连接BQ交AC于G，若AP=
2
，Q为CD中点，则下列结论：
①∠PBC=∠PQD；②BP=PQ；③∠BPC=∠BQC；④正方形ABCD的面积是16；
其中正确结论的个数是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
4.（2008•重庆）如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合．展开后，折痕DE分别交AB，AC于点E，G．连接GF．下列结论：
①∠AGD=112.5°；②tan∠AED=2；③S△AGD=S△OGD；④四边形AEFG是菱形；⑤BE=2OG．其中正确结论的序号是
①④⑤①④⑤
5.如图，正方形ABCD中，点E是BC边的中点，连接DE，过点C作CF⊥DE交BD于点G，交AB于点H，连接BF，以下结论：
①AH=BH；②∠BFH=45°；③HF+EF＝
2
BF；④DG=2BG．其中正确的结论是（ ）
A．①②
B．①③
C．①②③
D．①②③④
6.（2013•随州）如图，正方形ABCD中，AB=3，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．下列结论：
①点G是BC中点；②FG=FC；③S△FGC=
9
10
．
其中正确的是（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
7.如图，正方形ABCD的三边中点E、F、G．连ED交AF于M，GC交DE于N，下列结论：
①GM⊥CM；
②CD=CM；
③四边形MFCG为等腰梯形；
④∠CMD=∠AGM．其中正确的有（ ）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．①②③④
8.如图，正方形ABCD中，E、F均为中点，则下列结论中：
①AF⊥DE；②AD=BP；③PE+PF=
2
PC；④PE+PF=PC．
其中正确的是（ ）
A．①④
B．①②④
C．①③
D．①②③
提示：
（4）错，选D
9.
如图，正方形ABCD的三边中点E、F、G．连ED交AF于M，GC交DE于N，下列结论：
①GM⊥CM；②CD=CM；③四边形MFCG为等腰梯形；④∠CMD=∠AGM，其中正确的有
•
10如图，已知E、F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：
①∠AME=90°；②∠BAF=∠EDB；③∠BMO=90°；④MD=2AM=4EM；⑤AM=
2
3
MF．其中正确结论的个数是（ ）
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
11.
如图，正方形ABCD中，O为BD中点，以BC为边向正方形内作等边△BCE，连接并延长AE交CD于F，连接BD分别交CE、AF于G、H，下列结论：
①∠CEH=45°；②GF∥DE；
③2OH+DH=BD；④BG=
2
DG；⑤S△BEC：
S△BGC＝
3
+1
2
．
其中正确的结论是（ ）
A．①②③
B．①②④
C．①②⑤
D．②④⑤
12.如图，正方形ABCD中，AB=6，点G是边BC的中点，连接AG．将△ABC沿AG对折至△AFG，延长GF交边CD于点E，连接AE、CF．下列结论：
①△AFE≌△ADE；②EC=2DE；③S△EFC=2；④∠BAG+∠AFC=180°．其中正确结论的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
13.（2013•钦州模拟）正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为（ ）
A．10
B．12
C．14
D．16
提示：
解法1：
设正方形ABCD的边长为m,设正方形RKPF的边长为b，列代数式化简
解法2：
连BD、EG、FK，则三角形DBE的面积=三角形BGE的面积,三角形KGE的面积=三角形FGE的面积,故△DEK的面积=正方形BEFG的面积=16
13.正方形ABCD、正方形BEFG和正方形DMNK的位置如图所示，点A在线段NF上，AE=8，则△NFP的面积为（ ）
A．30
B．32
C．34
D．36
14.三个正方形ABCD、BEFG、CHIJ如下图所示摆放，已知ABCD的边长为10，BEFG的边长为6，阴影部分的面积是．
15.（2013•宝安区二模）如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，连接DF，且P是线段DF的中点，连接PG，PC．
（1）如图1中，PG与PC的位置关系是
，数量关系是
；
（2）如图2将条件“正方形ABCD和正方形BEFG”改为“矩形ABCD和矩形BEFG”其它条件不变，求证：
PG=PC；
（3）如图3，若将条件“正方形ABCD和正方形BEFG”改为“菱形ABCD和菱形BEFG”，点A，B，E在同一条直线上，连接DF，P是线段DF的中点，连接PG、PC，且∠ABC=∠BEF=60°，求
PG
PC
的值．
17.如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．
（1）探究PG与PC的位置关系及
PG
PC
的值（写出结论，不需要证明）；
（2）如图2，将原问题中的正方形ABCD和正方形BEFG换成菱形ABCD和菱形BEFG，且∠ABC=∠BEF=60度．探究PG与PC的位置关系及
PG
PC
的值，写出你的猜想并加以证明；
（3）如图3，将图2中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的边BG恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，问题
（2）中的其他条件不变．你在
（2）中得到的两个结论是否发生变化？
写出你的猜想并加以证明．
18.矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的B′处，再沿B′G折叠四边形，使B′D边与B′F重合，且B′D′过点F．已知AB=4，AD=13
（1）试探索EF与B′G的位置关系，并说明理由；
（2）若四边形EFGB′是菱形，求∠BFE的度数；
（3）若点D′与点F重合，求此时图形重叠部分的面积．
19.（2013•贵港）如图，点A（a，1）、B（-1，b）都在双曲线y=-
3
x
（x＜0）上，点P、Q分别是x轴、y轴上的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时，PQ所在直线的解析式是（ ）
A．y=x
B．y=x+1
C．y=x+2
D．y=x+3
答案：
C
20.（2010•塘沽区二模）已知：
如图①，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥BC？
（2）设△AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，并且存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形，求此时△AQP的面积．
21.已知，如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm，点P从点A沿AB以每秒2cm的速度向点B运动，点Q从点C以每秒1cm的速度向点A运动，设点P、Q分别从点A、C同时出发，运动时间为t（秒）（0＜t＜6），回答下列问题：
（1）直接写出线段AP、AQ的长（含t的代数式表示）：
AP=
，AQ=
；
（2）设△APQ的面积为S，写出S与t的函数关系式；
（3）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时间t，使四边形PQP′C为菱形？
若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．
22.（2008•青岛）已知：
如图①，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥BC；
（2）设△AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？
若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；
（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？
若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．
23.（1997•重庆）已知如图，正方形ABCD中，E为DC上一点，连接BE，作CF⊥BE于P交AD于F点，若恰好使得AP=AB．求证：
E为DC中点．
24.如图正方形ABCD中，E为AD边上的中点，过A作AF⊥BE，交CD边于F，M是AD边上一点，且有BM=DM+CD．
（1）求证：
点F是CD边的中点；
（2）求证：
∠MBC=2∠ABE．
25.（2014•浦东新区二模）已知：
如图，在正方形ABCD中，点E是边AD的中点，联结BE，过点A作AF⊥BE，分别交BE、CD于点H、F，联结BF．
（1）求证：
BE=BF；
（2）联结BD，交AF于点O，联结OE．求证：
∠AEB=∠DEO．
26.如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，BF平分∠CBE交CD于F，试说明BE=CF+AE．
27.如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．
（1）求证：
CE=CF；
（2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？
为什么？
（3）根据你所学的知识，运用
（1）、
（2）解答中积累的经验，完成下列各题：
①如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=12，E是AB的中点，且∠DCE=45°，求DE的长；
②如图3，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC，BD=2，CD=3，则△ABC的面积为
（直接写出结果，不需要写出计算过程）．
28.已知：
如图，在正方形ABCD中，E为BC中点，F为CD上一点，AE平分∠BAF．
求证：
AF=CF+AB．
（2011重庆市）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=450，CD=2，BC⊥CD。
过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连结EG、AF．
（1）求EG的长；
（2）求证：
CF=AB+AF．
（2010重庆市）已知：
如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°．点E是DC的中点，过点E作DC的垂线交AB于点P，交CB的延长线于点M．点F在线段ME上，且满足CF＝AD，MF＝MA．
（1）若∠MFC＝120°，求证：
AM＝2MB；
（2）求证：
∠MPB＝90°－
∠FCM．
（2009重庆市）
．已知：
如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90º，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC。
（1）求证：
BG=FG；
（2）若AD=DC=2，求AB的长。
（2008重庆市）已知：
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E。
求证：
（1）△BFC≌△DFC；
（2）AD=DE
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