有界线性算子的谱.docx
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有界线性算子的谱
第一节有界线性算子的谱
1.算子代数
定义:
厶(X)是一复Banach空间,并且为一具有线性运算与乘法运算的代数系统,我们称英为算子代数。
性质:
设R,S,T“(X),xC,则有
1、结合律:
(RS)T=R(ST),Tm+B=rnr(m,neN);
2、a(ST)=(aS)T=S(aT);
3、R(S+T)=RS+R「(R+S)T=RT+ST;
4、单位算子/满足:
IT=TI=T;
5、7\XtX为同构O存在A.B^L(X),使得AT=[=TB:
必左4=B,称它为T的
逆,记作T~\并称丁为可逆算子。
以GZXX)记厶(X)中的可逆算子的全体。
6、若S、TwGL(X),贝iJSreGL(X),且
(ST)"1=T^S'\(Tny[=(T-I)/\
当TwGL(X)时约宦厂〃=(厂丫⑺>0),厂=I,因而对任何"乙厂有意义。
注:
1、算子乘法不满足交换律;
2、阿|邙||||71,||鬥|井『(心);
3、若在厶(X)中SqS、TqT,则必有SnTn->STo
定义:
设丁属于某算子代数,称
/(7')=工%7'”=%/+<7'+・・・+©7'”+・・・
n-0
(其中系数eC(//>0)为算子幕级数。
性质:
设通常幕级数有收敛半径R,则当TeMX),||T||?
时级数ZF-0
工0Z1卜工闯P『vs
引理3丄1设TeL(X),则
X(/_丁尸=工厂『
“■0
只要貝右端级数收敛。
特別,当|卩||<1时上式必成立。
推论:
若T,SwL(X),T可逆,则
00
(T+S)-=工厂l_S厂g
/r-()
只要英右端级数收敛:
特别,当||s||适当小时必成立。
二、谱与谱半径
定义3.1.2设Tw厶(X),
1、若不可逆,即AI-TeGL(X),则称2为丁的谱值。
以b(T)记T的谱值的全体,成其为T的谱:
称
G(T)=supU|
j1€为T的谱半径,它是以原点为中心且包含b(T)的最小的圆的半径。
2、令p(T)=C\R(A,T)=(AI-Tyi(Aep(T))
为预解式,也记为尺(刃或心。
3、若2eC,存在XH0,使得7k=/U(这相当于xeN(AI-T)),则称2为T的特征值,并称x为T关于2的特征向量,称N(AI-T)为T关于特征值几的特征子空间。
以<7,(7)idT的特征值的全体,称其为T的点谱。
性质:
1、bp(T)ub(T);
2、若TeL(X),dimX2/-T因而勺⑺)=b(T)。
3、若dimX=oo,贝ij可能有勺⑴工旷⑺),即谱值未必是特征值。
泄理3.1.3(Gelfand左理)设TwL(X),则“厂)是非空紧集,且成立谱半径公式:
阿呷卩
三、某些应用
定理3.1.4设幕级数工%的收敛半径为R、TwL(X)°
1、若怙⑺2、若W)>R,则级数工a“T发散。
注:
若ra(J)=R,级数XaJn可能收敛,也可能发散。
第二节算子函数
一、解析扩张
由定理3」.4可推得:
若
旳—0
是圆
Dr(A))=UeC:
|2-^|内的复解析函数,则当TeL(X),ra(T-^/)/(门=茲(T—3(3.2.3)
n.O
有意义,且上式右端级数绝对收敛。
因
几wcr(T)(,
于是
0(了一人)/)v厂ob(T—如)U0(0)ob(T)U几+0(0)=Dr
(2)
所以:
(3.2.3)表示一个泄义于集合{TeUXy.a(T)^Dr(^)}±.的算子函数/(T)o我们将/(厂)视为复解析函数/(兄)的某种扩张。
特别,熟知的初等函数都可适当地扩张为算子
函数。
例如,对数函数
可扩张为集{丁e厶(X):
b(厂)u0
(1)}上的算子对数函数
类似地,还可左义算子的指数函数正弦函数sinT,等等。
但是,在通过深入思考后,我们发现这种推广并非可以简单地实现,我们将会发现以下的问题:
1、幫级数仅能表达圆域内的解析函数。
对任意开集Q(czC)内的解析函数/(几)及满足b(T)uGWTeL(X),应如何定义/(T)?
2、/(T)能继承/(刃的哪些性质?
3、函数/(T)仅只是/(兄)的形式扩张,还是有某些不可缺少的实质性应用?
为解决以上问题,先介绍算子积分的概念。
设厶是复平而上任一可求长曲线,T(r)是立义于厶上而取值于厶(X)中的函数(称为算子值函数),则可用通常的"分割、求和、取极限”的方式泄义丁⑴)沿厶的积分:
其中必眄,…,%为厶上顺次排列的分点,6与%分别为厶的起点与终点,冬是厶上介于
71与£之间的任一点,5=rz-r^Cl性质:
1.当丁匕)对厂连续时,上述积分必存在。
2、对任给的//eX*与xwX有
<"J,T(r)dr^x>=£<仏T(r)x>dr
F而考虑任意复解析函数的扩张问题。
取定非空开集GuC,以H(G)记C内的复解
析函数之全体,令
Dn={7'eL(X):
<7(T)c=Q}
设/(Z)eH(Q),TeDn,今探求/(T)的合理泄义。
因未必有某个圆0•(久°),使得
形如式(3.23)的左义式一般不再有效。
注意到在复函数理论中,复解析函数不仅可表为幕级数,而且可表为积分,即有如下形式的Cauchy公式表示:
2托iJL
其中厶是0内任一围绕几的简单闭曲线(或称用道,且假定沿英正方向行进时,保持2所
在区域在左边),我们设想将/(T)类似地立义为
f(T)=/(r)(r/-n_,^r(326)
2托iJL
定义3.2.1任给/
(2)eH(⑵与TeDn,取。
内任一用绕b(7)的用逍厶,依式
(3.2.6)定义/(T),则得到一个从Q到L(X)的函数/(T),称它为/(几)的解析扩张,或简称为扩张。
注:
1、式(3.2.6)右端的积分必存在。
2、式(3.2.6)右端的积分不依赖于厶的选择。
3、世义式(3.2.3)与(3.2.6)(两者都可使用时)是一致的。
4、/(门的确是/(兄)的扩张。
首先,
显然是一等距嵌入,且此嵌入保持乘积运算。
因此,不妨认为Cu厶(X),即将几与2/等同。
显然b(〃)={/l},因此可以认为GuQ。
VAeQ,在G内取一围绕;I的围道厶,则
/(2Z)=?
Lj[/(r)(rZ-AZ)-,Jr
=/(r)(r-2)-W=/W/»
2ttiJL
可见/(A/)与/(几)一致。
二、解析扩张的性质
定理3.2.2设/(A),^
(2)eH(Q),/?
(2)e,guCuC,TeQ,则
1、(/+g)(T)=/(D+g(T):
2、(M)=/(T)g(C;
3、(ho/)(T)=/7(/(T))0
定理3.2.3(谱映射定理)设/
(2)e/7(Q),7'eZ)n,则有
三、谱分解
定理324(谱分解定理)设TeL(X),o-(D=U则存在X的拓扑直和分解:
X=X1©X2©...©X/I,(3.2.17)
使得每个X,是T的不变子空间(即TXjUXJSiS),且cr(7;)=“,
Tx=》石兀(x=》兀,X:
eX)、(3.2.18)
i
此处7;=TIXr.看作X,上的有界线性算子。
证明:
取充分小的£>0,令
fl,={2eC:
J(2,使得可互不相交.令n=(jQ,,则。
为开集,b(T)uC•以/亿)记篡之特征函数,则1
Z(A)eH(Q).令P、=/(T),Xf=RX,以下验证X,(Id)即为所求.
⑴验证(3217)式。
显然有恒等式:
fiWfjW==1(八⑵。
i
于是,由定理3.2.2得
P.P}=6jPQ严IQSj<«)•(3.2.19)
r
特别,用=A(19S),由工R=I得
X=mZXi,这意味着对每个xeX有分解
ri
%=》兀,Xj已X:
(1i
因Xj=P,X,故对式(3.2.20)中的忑有>',•eX,使兀=£“,从而由式(3.2.19)有兀=工6弓儿=工纟号兀=£工®=Pix。
iji
这表明分解式(3.2.20)是惟一的,因而直和分解式(3.2.17)成立,且片就是从X到X,的投影。
下证X:
=2(》弓)(19Sn)。
若xwN(^P),则x=Ix=^p,x+p,x=pix^PiX=X/°反之,若xwXj,则有
Ptx=x,这是因为,由Xi的定义,有yeX,使得£y=x,所以Ptx=P~y=Pty=x.
故(力即=a_£)x=—g=0,所以"N(才)。
又Xi=N(^P,gS)是X声>*/护
的闭子空间(有界算子工P,的核是闭子空间),故式(3.2.17)是拓扑直和。
洋i
(2)证明(3218)。
任给xeX,令x,=Z>x(l
Tx=TD="=ZTz・
iii
因TXj=TRX=P[XuRX=X「故X,(l
(3)证明b(£)=q(l彳S)。
只要证b(G=“。
不妨设n=2(否则合并
cr2,cr3,---,(7w)0任取20e0(几)=厶(刃/(入一兄),
则^
(2)eH(n)(几为0
(2)的可去极点)。
由定理3.2.2有
P2=W-T)(p(T)=©(7%V-巧;(3.2.21)
•••0(兄)=厶
(2)0
(2),所以
0(T)=P2(p(Ty(p(T)XuX2(3.2.22)
上式后一式成立是因为(p(T)X=P2(p(T)Xu巴X=X?
。
式(3.2.22)表明(p(T)IX2可看作从X?
到X?
的算子,记作3:
由式(3.2.21)推岀
I=P2\X2=(^I-T2)B=-石),
可见儿®(石)。
这推出人已旷⑺),否则,设人)/-7;可逆,则有有界算子色,使得
(V-7])^i=^(V-2n1)=/IXI,
MxeX,作直和分解x=x,+x2,x1GX1,x2eX?
能义算子S:
XtX如下:
S:
xT坊召+Bx2
S的线性性显然,而
||氐国阳|+|应卜剛|对|+||砌对|
由第二章习题17,存在常数C>0,使得卜』SC||H|,卜2〔|SC制,故
|圈|勺砧||+||陶|勻岡啊|+|网帆卜C(|岡|+|网|)卜||
可见S有界,而
(^)/-T)Sx=—T)(Blxl+Bx2)=(A^I—T)Bxx}+(2^1—T)Bx2
=(入J-TJBe+(入)/-T)B£(•/BlxleXJ
=(人)/一TJBe+(如-T2)Bx2
=x{+x2=xo
同理:
S(^I-T)x=xo
将推岀^I-T可逆,这与入Eb|Ub(T)相矛盾。
这就证明了巧ub(7;)。
反之,若人e甲),则必入"(£)。
否则,A.I-T可逆,这将推出\I-TX与;V-驾
均可逆。
若儿已6,则依上段所证将有入&r(7]),矛盾,故必Aoecr,,因此=第四节Hilbert空间上的有界线性算子
以下假立H是给左的复Hilbert空间。
一、相伴算子泄义3.4.1任给TwL(H),由恒等式
决左一个算子T仕L(H),称它为T的相伴算子。
下面说明:
T*的确存在。
首先,任给ywH、由
wvW=(xeH)
r
显然泄义了一个itveH*,且帆.卜円卜||。
由Riesz表现左理,存在由讥(因而也就由y)
惟一决定的y*eH,使得
wv(x)=<>(xeH),
且卜*11=帆||。
只要令T*y=y*,就得到一个确泄的算子y—*,它使得
恒等式(3.4.2)成立,且
P"円诽||7>|卜
下证是线性的,即
T*(ay\+fiy2)=aT^y\+pT^y2(ayfteC,yt.y2eH),
这只需注意到下而的推理即可:
==a+/?
<7x,y2>
=a+0
=(Vxe//)o
故左义3.4.1是合理的。
例:
设A=[atj\eC,xw,则Vx,yeC”,有
<心y>=工(5>代氏=D/X/讦=工耳工石儿=<兀A*y>>
fJji这表明a*=[石]=才,即A*即为A的共辘转置。
例:
设TeL(Z?
(J))是以K(x,y)el3(JxJ)为核的积分算子,J=[a,b](a
(J),有
("(y)心jK(x,y)v(x)clx
=fv(x)clxfK(x,yMy^dy=
=Ju(x)dx^K(y^x)v(y)dy=<>
所以T*是以疋而为核的积分算子。
命题3.4.2对任给的T、S已LlH\a、0已C,成立以下等式:
(刃+处)*=齢+如;
(73)*=S*T*,(rr)*=(T*)n:
(7'-1)*=(T*r,(若T可逆):
厂**=7•:
||T*||=||T||;
||T||2=||7T*||=||r*T||.
推论:
映射
是等距共辄同构。
二、自伴算子与U算子
在线性代数中,对AeC,xn,若有A4*=A*A,则称4为正规矩阵;若A=4*,则称A
为Herinite对称矩阵;若A*=A-1,则称A为U矩阵。
定义3.4.3设TeL(H)o若7T*=T*T,则称T为正规算子;若丁=丁*,则称丁为自伴
算子:
若T*=T",则称丁为U算子。
注:
1、自伴算子与U算子都是正规算子。
2、若AeL(H)是自伴算子,则T=ebK是U算子。
3、若TeL(H)是U算子,且b(T)不充满复平而上的单位圆周,则必有自伴算子AeL(H),
使得T=
命题:
3.3.4设TeL(H),则以下结论成立:
1、T是正规算子o||7x||=||T*x||(Vxe/7),2、T是自伴算子OV7\x>wR(Vxw/7)。
3、了是U算子OT.H—H是等距同构。
泄理3.4.5设TeL(H)0
1、若T是正规算子,贝il^(T)=||T||e
2、若T是自伴算子,则b(T)uR;设[加,M]是包含b(厂)的最小闭区间,贝IJ
m=inf.M=sup:
ll'l"1|x||-l
||T||=sup<7x,x>
I卜
3、若丁是U算子,则V2e0-(7),有"|=1,即bDuSjS】表单位圆周。
三、正算子
泄义3.4.7设T、SeL(H)是自伴算子。
若<7\">nO(V.yH),则称了为正算子,记作
T>0:
若T—SnO,则约)iLT>S或SS7\
注:
1、自伴算子是正算子的充要条件是英谱值非负。
2、H上的自伴算子全体构成一实向量空间。
(记为LS(H))o
3、每个TwL(H)有惟一分解:
T=A+iB,A,BeL=H)
且A=(T+T*)/2,B=(T-T^)/2
因而T*=A-iBo
泄义若TwL(H)满足
>m||x||"(VxeHjn>0)
则称T为正泄算子。
四、正投影
泄义若H=A㊉A-是正交分解,则由此分解决上的从H到4的投影称为正投影算子或正投影,通常记作化。
注:
VxeH,巳x就是x在A中的最佳逼近。
命题3.4.10TeL(H)是正投影o尸=T=T*o
推论1、设PeL(H)2、0