中考二轮复习讲义 二次函数和平行四边形存在问题无答案.docx
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中考二轮复习讲义二次函数和平行四边形存在问题无答案
平行四边形存在问题
存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题,这类问题多以压轴题形式出现,其包涵知识覆盖面较广,综合性较强,题意构思非常精巧,解题方法灵活,对学生分析问题和解决问题的能力要求较高,是近几年中考的“热点”,更是难点。
存在性问题类型很多,今天研究分析平行四边形存在性问题的常规方法。
以函数为背景的平行四边形存在问题,是代数几何综合题中难度较大的一类问题,也是近几年陕西中考24题常考的综合题型,不少学生遇到这类问题,总感觉无从下手,谈之色变!
希通过对平行四边形存在性问题的探究,让学生积累起以函数为背景的平行四边形存在问题的常规解题方法,在后面的中考复习中到能有所帮助。
两个重要结论,解题的切入点
1.线段中点坐标公式
平面直角坐标系中,点A坐标为(
),点B坐标为(
),则线段的中点坐标为(
)
2.平行四边形顶点坐标公式:
(简称:
“对点法”)
平行四边形ABCD的顶点坐标分别为A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC)
D(xD,yD),则:
xA+xC=xB+xD;yA+yC=yB+yD.
平面直角坐标系中,平行四边形两组相对顶点的横坐标之和相等,纵坐标之和也相等.
平面直角坐标系中的平移
平面内,线段AB平移得到线段A'B' ,
则①AB∥A'B' ,AB=A'B' ;②AA'∥BB',AA'=BB'.
B到A的平移法则与B'到A'的平移法则相同;A到点A'与点B到点B'的运动法则也是相同。
xA+xB’=xB+xA’;yA+yB’=yB+yA’.
即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等.
【问题呈现】
如图,线段AB平移得到线段A'B' ,已知点A(-2,2),B(-3,-1), B' (3,1),则点A'的坐标是________.
方法一:
(平移法)
解析思路:
∵AB∥A'B',AB=A'B',由平移的性质知:
线段A'B'是由线段AB按照某个方向平移一定距离得到的,只要找到平移的方向以及平移距离那问题就可以解决。
平移后A对应A',B对应B'。
∵B(-3,-1),B'(3,1)
∴点B向右平移|-3-3|或|3-(-3)|个单位,再向上平移|-1-1|或|1-(-1)|个单位得到。
即点B向右平移6个单位,再向上平移2个单位得到点B’
将A(-2,2)向右平移6个单位,再向上平移2个单位可得A’(4,4),即A’(4,4)
也可以看作是由线段AA'平移得到BB',A平移后对应B,A'对应B',由A(-2,2),B(-3,1)找到平移的方向和距离,再根据相同的平移法则求出A'即可。
方法二:
(对点法)
解析思路:
∵AB∥A'B',AB=A'B'
∴四边形ABB'A'是平行四边形
设A’(xA’,yA’)
又∵A(-2,2),B(-3,-1),B’(3,1)
-2+3=-3+xA’; 2+1=-1+yA’
-2+3=-3+xA’; 2+1=-1+yA’
∴
=4,
=4
∴A’(4,4)
也可以用中点坐标公式来求,先说明四边形ABB’A是平行四边形,则对角线交点为E,E点既是AB’中点,也是BA’中点;根据A(-2,2)B’(3,1)求出AB’的中点坐标E(0.5,1.5)
因为中点E(0.5,1.5),B(-3,-1),所以可知A’(4,4)
对点法实际上就是由中点坐标公式推导而来的。
模型分布
在平行四边形有关存在性问题中,常会遇到这样两类探究性的问题:
(1)已知三点的位置,在二次函数上或在坐标平面内找一动点,使这四点构成平行四边形(简称“三定一动”);
(2)已知两个点的位置,在二次函数上或在坐标平面内找两个动点,使这四点构成平行四边形(简称“两定两动”);平行四边形的这四个点有可能是定序的,也有可能没有定序;由于定序较为简单,所以笔者就不再举例说明。
学生在拿到这类题型时常常无从下笔,比较典型的两种错误:
一是确定动点位置时出现遗漏,二是在具体计算动点坐标时出现方法不当或错解。
实际上,这类题型的解法是有章可循的,就是要掌握好解决这类题型的基本思路和解题技巧。
平行四边形存在性问题解题策略
1.基本思路:
(1)分清题型(属于三定一动还是两定两动,因为这两种题型的分类标准有所不同);
(2)分类讨论且作图(利用分类讨论不重不漏的寻找动点具体位置);
(3)利用几何特征计算(不同的几何存在性要用不同的解题技巧)。
可以把存在性问题的基本思路叫做“三步曲”:
一“分”二“作”三“算”。
2.平行四边形题型攻略:
(1)如果为“三定一动”,要找出平行四边形第四个顶点,则符合条件的有3个点;这三个点的找法是以三个定点为顶点画三角形,过每个顶点画对边的平行线,三条直线两两相交,产生所要求的3个点;
(2)如果为“两定两动”,要找出平行四边形第三、四个顶点,将两个定点连成定线段,将此线段按照作为平行四边形的边或对角线两种分类讨论。
3.平行四边形解题技巧:
(1)若平行四边形的四个顶点都能用坐标来表示,则直接利用坐标系中平行四边形的基本特征:
即对边平行且相等或对边水平距离相等和竖直距离相等列方程求解;
(2)若平行四边形的四个顶点中某些点不能用坐标表示,则利用列方程组解图形交点的方法解决;
(3)灵活运用平行四边形的中心对称的性质,也可使问题变得简单.
典例分析
模型1:
三定一动
【问题呈现】
例1:
如图1,平面直角坐标系中,已知A(-1,0),B(1,-2),C(3,1),点D是平面内一动点,若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形,则点D的坐标是_____
“三定一动”确定平行四边形的方法
已知不在同一直线上的三点A、B、C,在平面内另找一个点D,使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形.答案有三种:
以AB为对角线的□ACBD1,以AC为对角线的□ABCD2,以BC为对角线的□ABD3C.
解析:
第一步:
首先我们”分清题目模型”;
∵A(-1,0),B(1,-2),C(3,1),这三点均为定点,点D位置不确定,可知是“三定一动”模型。
第二步:
寻找分类标准,进行分类讨论并作图。
∵A、B、C三定均为定点,则AB、AC、BC为定线,以AB、AC、BC分别为对角线分类讨论;作图:
过点A作BC的平行线,过点B作AC的平行线,过点C作AB的平行线;三条直线相交于D1,D2,D3;
第三步:
计算,(代数法求解点M的坐标)
方法一:
(平移距离法)设点D1(m,n),利用平行四边形对边水平距离相等和竖直距离相等可得
n-1=0+2; m-3=-1-1
∴n=3,m=1 ∴D1(1,3)
设D2(a,b),则a-1=-1-3, b-(-2)=0-1
∴a=-3, b=-3 ∴D2(-3,-3)
同理可得D3(5,-1)
方法二:
(平移法)
如图,过△ABC三个顶点,分别作对边的平行线,三条直线两两相交的三个交点就是要求的点D.
1)因为D1C∥AB,且D1C=AB,那么沿BA方向平移点C可以得到D1;
∵点B(1,-2)向左平移2个单位,再向上平移2个单位可以与点A(-1,0)重合;
所以点C(3,1)向左平移2个单位,再向上平移2个单位可以得到点D1(1,3);
2)因为D2A∥BC,D2A=BC,那么沿CB方向平移点A可以得到D2;
∵点C(3,1)向左平移2个单位,再向下平移3个单位可以与点B(1,-2)重合;
∴点A(-1,0)向左平移2个单位,再向下平移3个单位可以得到点D2(-3,-3);
3)因为D3C∥AB,D3C=AB,那么沿AB方向平移点C可以得到D3;
∵点A(-1,0)向右平移2个单位,再向下平移2个单位可以与点B(1,-2)重合;
∴点C(3,1)向右平移2个单位,再向下平移2个单位可以得到D3(5,-1)
反思:
通过定线平移方向,找出两定点的平移规律,确定另外两点的平移规律;
方法三:
(对点法)
设点D(m,n)
1)若AC为对角线时,则有:
xD+xB=xA+xC ,yD+yB=yA+yC
m+1=-1+3, n-2=0+1
∴m=1, n=3
∴D1(1,3)
2)若AB为对角线时,则有:
xD+xC=xA+xB ,yD+yC=yA+yB
m+3=-1+1 ,n+1=0-2
∴m=-3, n=-3
∴D2(-3,-3)
3)若BC为对角线时,则有:
xD+xA=xB+xC ,yD+yA=yB+yC
∴m-1=1+3, n+0=-2+1
m=5, n=-1
∴D3(5,-1)
反思:
已知三个定点的坐标,可设出抛物线上第四个顶点的坐标,运用平行四边形顶点坐标公式列方程(组)求解.这种题型由于三个定点构成的三条线段中哪条为对角线不清楚,往往要以这三条线段分别为对角线分类,分三种情况讨论.
方法四(中点坐标公式),
若AC为对角线时,取AC中点O
∵A(-1,0),C(3,1)
则O点坐标为(1,0.5)
B点与D点关于点O对称
∵B(1,-2)所以D1(1,3)
若AB为对角线时,取AB中点Q
则Q点坐标为(0,-1)
点D与点C关于点Q对称
∵C(3,1)
∴D2(-3,-3)
若BC为对角线时,取BC的中点W
则W的坐标为(2,-0.5)
∵A(-1,0)
∴D3(5,-1)
变式训练1
1.已知抛物线L:
y=ax²+bx+c(a≠0)经过A(3,0),B(-1,0),C(0,3)三点。
(1)求抛物线解析式
(2)求该抛物线顶点坐标
(3)在坐标平面内是否存在点D,使以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形?
若存在,求出点D坐标,若不存在,请说明理由;
变式训练2
如图,二次函数L:
x的图形经过△AOC的三个顶点,其中A(-1,m),B(n,n);
(1)求A、B两点的坐标
(2)在坐标平面上找点C,使以A、O、B、C为顶点的四边形是平行四边形这样的点C有几个?
(3)能否将抛物线L平移后经过A、C两点,若能求出平移后经过A、C两点的一条抛物线解析式;若不能,说明理由?
模型2:
两定两动
两定两动模型的分类标准:
先确定定线,以定线为边或以定线为对角线进行分类讨论。
【问题呈现】
例2 如图5,在平面直角坐标系中,抛物线A(-1,0),B(3,0),C(0,-1)三点.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)点Q在y轴上,点P在抛物线上,要使以点Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形,求所有满足条件点P的坐标.
解:
(1)易求抛物线的表达式为
x-1
(2)解析:
第一步:
首先我们“分析清题型”
∵A(-1,0),B(3,0)是两个定点,而P,Q点位置不确定,可知是“两定两动”模型;
第二步:
寻找分类标准,进行分类讨论并作图;
∵点A、B为定点,连接AB,则AB为定线;
分类标准:
1)以定线AB为平行四边形边;
2)以定线AB为平行四边形对角线;
第三步:
利用“几何特征计算”,分析几何特征,建等式求解点P坐标。
方法一:
(平移距离法)
由题意知点Q在y轴上,设点Q坐标为(0,t);点P在抛物线上,设点P坐标为(m,
m-1))
要使以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,则分以下情况讨论;
1)若以AB为边时,则AB∥PQ, AB=PQ;
①则点B到点Q的水平距离就等于点A到点P的水平距离
∴|-1-m|=3-0
∴1+m=3或1+m=-3
∴m=2,(舍去) m=-4
∴P1(-4,7)
②点A到点Q的水平距离等于点B到点P的水平距离
m-3=1,所以m=4
∴p2(4,5/3)
2)若以AB为对角线时,则AQ∥PB,AQ=PB
点A到点Q的水平距离等于点P到点B的水平距离
∴1=3-m
∴m=2P3(2,-1)
综合以上这样的点有3个,分别是P1(-4,7),p2(4,
), P3(2,-1)
方法二:
(把特殊直线上的点看作定点,转化“三定一动”)
由题意知点Q在y轴上,设点Q坐标为(0,t);点P在抛物线上,
设点P坐标为(m
m-1)).
点Q在y轴上,是个动点,但可理解成一个定点,这样就转化为三定一动了.
①当以AQ为对角线时,由四个顶点的横坐标公式得:
-1+0=3+m,
∴m=-4,∴P1(-4,7);
②当以BQ为对角线时,得:
-1+m=3+0,∴m=4,∴P2(4,5/3);
③当以AB为对角线时,得:
-1+3=m+0,∴m=2,∴P3(2,-1).
综上,满足条件的点P为P1(-4,7)、P2(4,5/3)、P3(2,-1).
反思:
这种题型往往特殊,一个动点在抛物线上,另一个动点在x轴(y轴)或对称轴或某一定直线上.设出抛物线上的动点坐标,另一个动点若在x轴上,纵坐标为0,则用平行四边形顶点纵坐标公式;若在y轴上,横坐标为0,则用平行四边形顶点横坐标公式.该动点哪个坐标已知就用与该坐标有关的公式.本例中点Q的纵坐标t没有用上,可以不设.另外,把在定直线上的动点看成一个定点,这样就转化为三定一动了,分别以三个定点构成的三条线段为对角线分类,分三种情况讨论.
方法三:
(对点法)
第一步:
根据各点特征,设出各点坐标
∵A(-1,0),B(3,0)
由题意知点Q在y轴上,设点Q坐标为(0,t);点P在抛物线上,
设点P坐标为(m,
m-1).
第二步:
以其中一个定点与其余三个点相对(对角线),利用对点法建立方程求解;
要使以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,分以下情况讨论;
当点B与点A相对时,则有
∴m=2 P1(2,-1)
②当点B与点Q相对时,则有
∴m=4,P2(4,5/3)
当点B与点P相对时,则有
∴m=-4, P3(-4,7)
综合以上这样的点P有三个,分别是
P1(2,-1)、P2(4,5/3)、P3(-4,7).
方法四:
(几何性质+中点公式)
∵A(-1,0),B(3,0);
由题意知点Q在y轴上,设点Q坐标为(0,t);点P在抛物线上,
设点P坐标为(m,
m-1).
要使以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,则分以下情况;
?
当AB为边时,则AB∥PQ,AB=PQ=4
因为点Q的横坐标为0,则PQ=4,
∴点P的横坐标为4或-4
当x=4时,则y=16/3-8/3-1=5/3
∴P1(4,5/3)
当x=-4时,则y=8-1=7;
∴P2(-4,7)
当AB为对角线时,取AB中点H,
则H(1,0)
∵点Q的横坐标为0,点Q与点P关于点H对称;
则P点的横坐标为2
∴P3(2,-1)
综合以上,则这样的点P有3个,分别是P1(4,5/3),P2(-4,7),P3(2,-1);
函数综合问题中,平行四边形的存在性问题, 可以用坐标平移法从“几何”的角度解决问题,需要先画出图形,再求解,才能使问题直观呈现,问题较简单时,优越性较突出,动点多时,不容易画出来。
变式训练3
1.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点,点M在这条抛物线上,点P在y轴上,如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形,求点M的坐标.
2. 如图,抛物线y=x²-2x-3与x轴交A、B两点(A点在B点左侧),直线l与抛物线交于A、C两点,其中C点的横坐标为2.
(1)求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式;
(2)P是线段AC上的一个动点,过P点作y轴的平行线交抛物线于E点,求线段PE长度的最大值;
(3)点G是抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?
如果存在,求出所有满足条件的F点坐标;如果不存在,请说明理由.