中考二轮复习讲义 二次函数和平行四边形存在问题无答案.docx

中考二轮复习讲义 二次函数和平行四边形存在问题无答案.docx

《中考二轮复习讲义 二次函数和平行四边形存在问题无答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考二轮复习讲义 二次函数和平行四边形存在问题无答案.docx（19页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

中考二轮复习讲义二次函数和平行四边形存在问题无答案

平行四边形存在问题

存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题多以压轴题形式出现，其包涵知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年中考的“热点”，更是难点。

存在性问题类型很多，今天研究分析平行四边形存在性问题的常规方法。

以函数为背景的平行四边形存在问题，是代数几何综合题中难度较大的一类问题，也是近几年陕西中考24题常考的综合题型，不少学生遇到这类问题，总感觉无从下手，谈之色变！

 希通过对平行四边形存在性问题的探究，让学生积累起以函数为背景的平行四边形存在问题的常规解题方法，在后面的中考复习中到能有所帮助。

两个重要结论，解题的切入点

1.线段中点坐标公式

平面直角坐标系中，点A坐标为（

），点B坐标为（

），则线段的中点坐标为（

）

2.平行四边形顶点坐标公式：

（简称:

“对点法”）

平行四边形ABCD的顶点坐标分别为A（xA,yA），B（xB,yB），C（xC,yC）

D（xD,yD），则：

xA+xC=xB+xD；yA+yC=yB+yD.

平面直角坐标系中，平行四边形两组相对顶点的横坐标之和相等，纵坐标之和也相等．

平面直角坐标系中的平移

平面内，线段AB平移得到线段A'B' ，

则①AB∥A'B' ，AB=A'B' ；②AA'∥BB'，AA'=BB'.

B到A的平移法则与B'到A'的平移法则相同；A到点A'与点B到点B'的运动法则也是相同。

xA+xB’=xB+xA’；yA+yB’=yB+yA’.

即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等．

【问题呈现】

如图，线段AB平移得到线段A'B' ，已知点A（-2，2），B（-3，-1）， B' （3，1），则点A'的坐标是________.

方法一：

（平移法）

解析思路：

∵AB∥A'B',AB=A'B'，由平移的性质知：

线段A'B'是由线段AB按照某个方向平移一定距离得到的，只要找到平移的方向以及平移距离那问题就可以解决。

平移后A对应A'，B对应B'。

∵B（-3，-1），B'（3,1）

∴点B向右平移|-3-3|或|3-（-3）|个单位，再向上平移|-1-1|或|1-（-1）|个单位得到。

即点B向右平移6个单位，再向上平移2个单位得到点B’

将A（-2，2）向右平移6个单位，再向上平移2个单位可得A’（4，4）,即A’（4,4）

也可以看作是由线段AA'平移得到BB'，A平移后对应B,A'对应B',由A（-2，2）,B（-3，1）找到平移的方向和距离，再根据相同的平移法则求出A'即可。

方法二：

（对点法）

解析思路：

∵AB∥A'B'，AB=A'B'

∴四边形ABB'A'是平行四边形

设A’（xA’,yA’）

又∵A（-2，2）,B（-3，-1）,B’（3,1）

-2+3=-3+xA’;  2+1=-1+yA’

-2+3=-3+xA’;  2+1=-1+yA’

∴

=4,

=4

∴A’（4,4）

也可以用中点坐标公式来求，先说明四边形ABB’A是平行四边形，则对角线交点为E，E点既是AB’中点，也是BA’中点；根据A（-2,2）B’（3,1）求出AB’的中点坐标E（0.5，1.5）

因为中点E（0.5,1.5）,B（-3，-1），所以可知A’（4,4）

对点法实际上就是由中点坐标公式推导而来的。

模型分布

在平行四边形有关存在性问题中，常会遇到这样两类探究性的问题：

（1）已知三点的位置，在二次函数上或在坐标平面内找一动点，使这四点构成平行四边形（简称“三定一动”）；

（2）已知两个点的位置，在二次函数上或在坐标平面内找两个动点，使这四点构成平行四边形（简称“两定两动”）；平行四边形的这四个点有可能是定序的，也有可能没有定序；由于定序较为简单，所以笔者就不再举例说明。

学生在拿到这类题型时常常无从下笔，比较典型的两种错误：

一是确定动点位置时出现遗漏，二是在具体计算动点坐标时出现方法不当或错解。

实际上，这类题型的解法是有章可循的，就是要掌握好解决这类题型的基本思路和解题技巧。

平行四边形存在性问题解题策略

1.基本思路：

（1）分清题型（属于三定一动还是两定两动，因为这两种题型的分类标准有所不同）；

（2）分类讨论且作图（利用分类讨论不重不漏的寻找动点具体位置）；

（3）利用几何特征计算（不同的几何存在性要用不同的解题技巧）。

可以把存在性问题的基本思路叫做“三步曲”：

一“分”二“作”三“算”。

2.平行四边形题型攻略：

（1）如果为“三定一动”，要找出平行四边形第四个顶点，则符合条件的有3个点；这三个点的找法是以三个定点为顶点画三角形，过每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生所要求的3个点；

（2）如果为“两定两动”，要找出平行四边形第三、四个顶点，将两个定点连成定线段，将此线段按照作为平行四边形的边或对角线两种分类讨论。

3.平行四边形解题技巧：

（1）若平行四边形的四个顶点都能用坐标来表示，则直接利用坐标系中平行四边形的基本特征：

即对边平行且相等或对边水平距离相等和竖直距离相等列方程求解；

（2）若平行四边形的四个顶点中某些点不能用坐标表示，则利用列方程组解图形交点的方法解决；

（3）灵活运用平行四边形的中心对称的性质，也可使问题变得简单.

典例分析

模型1：

三定一动

【问题呈现】

例1：

如图1，平面直角坐标系中，已知A（-1，0），B（1，-2），C（3，1），点D是平面内一动点，若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标是_____

 “三定一动”确定平行四边形的方法

已知不在同一直线上的三点A、B、C，在平面内另找一个点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形．答案有三种：

以AB为对角线的□ACBD1，以AC为对角线的□ABCD2，以BC为对角线的□ABD3C．

解析：

第一步：

首先我们”分清题目模型”;

∵A（-1，0），B（1，-2），C（3，1），这三点均为定点，点D位置不确定，可知是“三定一动”模型。

第二步：

寻找分类标准，进行分类讨论并作图。

∵A、B、C三定均为定点，则AB、AC、BC为定线，以AB、AC、BC分别为对角线分类讨论；作图：

过点A作BC的平行线，过点B作AC的平行线，过点C作AB的平行线；三条直线相交于D1,D2，D3;

第三步：

计算，（代数法求解点M的坐标）

方法一：

（平移距离法）设点D1（m,n），利用平行四边形对边水平距离相等和竖直距离相等可得

   n-1=0+2; m-3=-1-1

∴n=3,m=1  ∴D1（1,3）

设D2（a,b），则a-1=-1-3,   b-（-2）=0-1

∴a=-3, b=-3 ∴D2（-3，-3）

同理可得D3（5，-1）  

方法二：

（平移法）

如图，过△ABC三个顶点，分别作对边的平行线，三条直线两两相交的三个交点就是要求的点D．

1）因为D1C∥AB，且D1C=AB,那么沿BA方向平移点C可以得到D1;

∵点B（1，-2）向左平移2个单位，再向上平移2个单位可以与点A（-1,0）重合；

所以点C（3,1）向左平移2个单位，再向上平移2个单位可以得到点D1（1,3）；

2）因为D2A∥BC，D2A=BC,那么沿CB方向平移点A可以得到D2;

  ∵点C（3,1）向左平移2个单位，再向下平移3个单位可以与点B（1，-2）重合；

 ∴点A（-1,0）向左平移2个单位，再向下平移3个单位可以得到点D2（-3，-3）;

3）因为D3C∥AB，D3C=AB,那么沿AB方向平移点C可以得到D3;

 ∵点A（-1,0）向右平移2个单位，再向下平移2个单位可以与点B（1，-2）重合；

∴点C（3,1）向右平移2个单位，再向下平移2个单位可以得到D3（5，-1）

反思：

通过定线平移方向，找出两定点的平移规律，确定另外两点的平移规律；

方法三：

（对点法）

设点D（m,n）

1）若AC为对角线时，则有：

xD+xB=xA+xC ,yD+yB=yA+yC

      m+1=-1+3, n-2=0+1

    ∴m=1, n=3

 ∴D1（1,3）

2）若AB为对角线时，则有：

xD+xC=xA+xB ,yD+yC=yA+yB

 m+3=-1+1 ,n+1=0-2

∴m=-3, n=-3

∴D2（-3，-3）

3）若BC为对角线时，则有：

xD+xA=xB+xC ,yD+yA=yB+yC

∴m-1=1+3,  n+0=-2+1

m=5, n=-1

∴D3（5，-1）

反思：

已知三个定点的坐标，可设出抛物线上第四个顶点的坐标，运用平行四边形顶点坐标公式列方程（组）求解.这种题型由于三个定点构成的三条线段中哪条为对角线不清楚，往往要以这三条线段分别为对角线分类，分三种情况讨论.

方法四（中点坐标公式），

若AC为对角线时，取AC中点O

∵A（-1,0），C（3,1）

则O点坐标为（1,0.5）

B点与D点关于点O对称

∵B（1，-2）所以D1（1,3）

若AB为对角线时，取AB中点Q

则Q点坐标为（0，-1）

点D与点C关于点Q对称

∵C（3,1）

∴D2（-3，-3）

若BC为对角线时，取BC的中点W

则W的坐标为（2，-0.5）

∵A（-1，0）

∴D3（5，-1）

变式训练1

1.已知抛物线L：

y=ax²+bx+c（a≠0）经过A（3，0）,B（-1,0），C（0,3）三点。

（1）求抛物线解析式

（2）求该抛物线顶点坐标

（3）在坐标平面内是否存在点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形？

若存在，求出点D坐标，若不存在，请说明理由；

变式训练2

如图，二次函数L：

x的图形经过△AOC的三个顶点，其中A（-1，m），B（n,n）；

（1）求A、B两点的坐标

（2）在坐标平面上找点C，使以A、O、B、C为顶点的四边形是平行四边形这样的点C有几个？

（3）能否将抛物线L平移后经过A、C两点，若能求出平移后经过A、C两点的一条抛物线解析式；若不能，说明理由？

模型2：

两定两动

两定两动模型的分类标准：

先确定定线，以定线为边或以定线为对角线进行分类讨论。

【问题呈现】

例2  如图5，在平面直角坐标系中，抛物线A（-1,0）,B（3,0）,C（0,-1）三点.

（1）求该抛物线的表达式；

（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件点P的坐标.

解：

（1）易求抛物线的表达式为

x-1

（2）解析：

第一步：

首先我们“分析清题型”

∵A（-1,0），B（3,0）是两个定点，而P,Q点位置不确定，可知是“两定两动”模型；

第二步：

寻找分类标准，进行分类讨论并作图；

∵点A、B为定点，连接AB，则AB为定线；

分类标准：

1）以定线AB为平行四边形边；

   2）以定线AB为平行四边形对角线；

第三步：

利用“几何特征计算”，分析几何特征，建等式求解点P坐标。

方法一：

（平移距离法）

由题意知点Q在y轴上，设点Q坐标为（0,t）；点P在抛物线上，设点P坐标为（m, 

m-1））

要使以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，则分以下情况讨论；

1）若以AB为边时，则AB∥PQ, AB=PQ；

①则点B到点Q的水平距离就等于点A到点P的水平距离

∴|-1-m|=3-0

∴1+m=3或1+m=-3

∴m=2,（舍去） m=-4

∴P1（-4,7）

 ②点A到点Q的水平距离等于点B到点P的水平距离

 m-3=1,所以m=4

 ∴p2（4,5/3）

2）若以AB为对角线时，则AQ∥PB,AQ=PB

点A到点Q的水平距离等于点P到点B的水平距离

∴1=3-m

∴m=2P3（2，-1）

综合以上这样的点有3个，分别是P1（-4,7），p2（4,

）， P3（2，-1）

方法二：

（把特殊直线上的点看作定点，转化“三定一动”）

由题意知点Q在y轴上，设点Q坐标为（0,t）；点P在抛物线上，

设点P坐标为（m

m-1））.

点Q在y轴上，是个动点，但可理解成一个定点，这样就转化为三定一动了．

①当以AQ为对角线时，由四个顶点的横坐标公式得：

-1+0=3+m，

∴m=-4，∴P1（-4,7）；

②当以BQ为对角线时，得：

-1+m=3+0，∴m=4，∴P2（4,5/3）；

③当以AB为对角线时，得：

-1+3=m+0，∴m=2，∴P3（2,-1）.

综上，满足条件的点P为P1（-4,7）、P2（4,5/3）、P3（2,-1）.

反思：

这种题型往往特殊，一个动点在抛物线上，另一个动点在x轴（y轴）或对称轴或某一定直线上．设出抛物线上的动点坐标，另一个动点若在x轴上，纵坐标为0，则用平行四边形顶点纵坐标公式；若在y轴上，横坐标为0，则用平行四边形顶点横坐标公式．该动点哪个坐标已知就用与该坐标有关的公式．本例中点Q的纵坐标t没有用上，可以不设．另外，把在定直线上的动点看成一个定点，这样就转化为三定一动了，分别以三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况讨论. 

方法三：

（对点法）

第一步：

根据各点特征，设出各点坐标

∵A（-1,0），B（3,0）

由题意知点Q在y轴上，设点Q坐标为（0,t）；点P在抛物线上，

设点P坐标为（m,

m-1）.

第二步：

以其中一个定点与其余三个点相对（对角线），利用对点法建立方程求解；

要使以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，分以下情况讨论；

当点B与点A相对时，则有

∴m=2 P1（2，-1）

②当点B与点Q相对时，则有

∴m=4,P2（4,5/3）

当点B与点P相对时，则有

∴m=-4,  P3（-4,7）

综合以上这样的点P有三个，分别是

P1（2,-1）、P2（4,5/3）、P3（-4,7）.

方法四：

（几何性质+中点公式）

∵A（-1,0），B（3,0）；

由题意知点Q在y轴上，设点Q坐标为（0,t）；点P在抛物线上，

设点P坐标为（m,

m-1）.

要使以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，则分以下情况；

?

当AB为边时，则AB∥PQ，AB=PQ=4

因为点Q的横坐标为0，则PQ=4，

∴点P的横坐标为4或-4

当x=4时，则y=16/3-8/3-1=5/3

∴P1（4,5/3）

当x=-4时，则y=8-1=7;

∴P2（-4,7）

当AB为对角线时，取AB中点H，

则H（1,0）

∵点Q的横坐标为0，点Q与点P关于点H对称；

则P点的横坐标为2

∴P3（2，-1）

综合以上，则这样的点P有3个，分别是P1（4,5/3）,P2（-4,7），P3（2，-1）；

  函数综合问题中，平行四边形的存在性问题， 可以用坐标平移法从“几何”的角度解决问题，需要先画出图形，再求解，才能使问题直观呈现，问题较简单时，优越性较突出，动点多时，不容易画出来。

变式训练3

1.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝－x2+2x＋3与x轴交于A、B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标． 

2. 如图，抛物线y=x²-2x-3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．

（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；

（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；

（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？

如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．