指数函数经典题易错题.docx
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指数函数经典题易错题
指数函数（经典题、易错题）
指数函数（经典题、易错题）
一．选择题（共22小题）
1．若函数，且0≤x≤1，则有（ ）
A．
f（x）≥1
B．
C．
D．
2．函数y=（）x2+2x﹣1的值域是（ ）
A．
（﹣∞，4）
B．
（0，+∞）
C．
（0，4]
D．
[4，+∞）
3．函数的值域为（ ）
A．
（0，1]
B．
（0，+∞）
C．
（1，+∞）
D．
（﹣∞，+∞）
4．函数y=4x+2x+1+5，x∈[1，2]的最大值为（ ）
A．
20
B．
25
C．
29
D．
31
5．函数y=3|x|﹣1的定义域为[﹣1，2]，则函数的值域为（ ）
A．
[2，8]
B．
[0，8]
C．
[1，8]
D．
[﹣1，8]
6．函数的值域是（ ）
A．
（0，+∞）
B．
（0，1）
C．
（0，1]
D．
[1，+∞）
7．（2011?
山东）若点（a，9）在函数y=3x的图象上，则tan的值为（ ）
A．
0
B．
C．
1
D．
8．设a、b、c、d都是大于零且不等于1的实数，y=ax、y=bx、y=cx、y=dx在同一坐标系中的图象如图
（1）所示，则a、b、c、d的大小关系是（ ）
A．
a＞b＞c＞d
B．
a＞b＞d＞c
C．
a＞d＞c＞b
D．
a＞c＞b＞d
9．如图，设a，b，c，d＞0，且不等于1，y=ax，y=bx，y=cx，y=dx在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小顺序（ ）
A．
a＜b＜c＜d
B．
a＜b＜d＜c
C．
b＜a＜d＜c
D．
b＜a＜c＜d
10．（2012?
四川）函数y=ax﹣a（a＞0，a≠1）的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．把函数y=2x﹣2+3的图象按向量平移，得到函数y=2x+1﹣1的图象，则向量=（ ）
A．
（﹣3，﹣4）
B．
（3，4）
C．
（﹣3，4）
D．
（3，﹣4）
12．函数y=3x﹣1的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
13．函数f（x）=4x+5×2x﹣1+1的值域是（ ）
A．
（0，1）
B．
[1，+∞）
C．
（1，+∞）
D．
[0，1]
14．已知a=，b=，c=，则下列关系中正确的是（ ）
A．
a＜b＜c
B．
c＜a＜b
C．
a＜c＜b
D．
b＜a＜c
15．若a＞0，a≠1，则函数y=ax﹣1的图象一定过点（ ）
A．
（0，1）
B．
（1，1）
C．
（1，0）
D．
（0，﹣1）
16．已知a，b∈R，且a＞b，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A．
a2＞b2
B．
（）a＜（）b
C．
lg（a﹣b）＞0
D．
＞1
17．函数的单调增区间为（ ）
A．
[﹣1，+∞）
B．
（﹣∞，﹣1]
C．
（﹣∞，+∞）
D．
（﹣∞，0]
18．函数y=ax﹣1+1（0＜a≠1）的图象必经过点（ ）
A．
（0，1）
B．
（1，1）
C．
（1，2）
D．
（0，2）
19．已知a=30.2，b=0.2﹣3，c=3﹣0.2，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．
a＞b＞c
B．
b＞a＞c
C．
c＞a＞b
D．
b＞c＞a
20．（2005?
山东）下列大小关系正确的是（ ）
A．
0.43＜30.4＜log40.3
B．
0.43＜log40.3＜30.4
C．
log40.3＜0.43＜30.4
D．
log40.3＜30.4＜0.43
21．设，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．
a＞b＞c
B．
b＞a＞c
C．
b＞c＞a
D．
c＞b＞a
22．比较a，b，c的大小，其中a=0.22，b=20.2，c=log0.22（ ）
A．
b＞c＞a
B．
c＞a＞b
C．
a＞b＞c
D．
b＞a＞c
二．填空题（共2小题）
23．函数的单调递增区间是 _________ ．
24．（2005?
上海）方程4x+2x﹣2=0的解是 _________ ．
指数函数（经典题、易错题）
参考答案与试题解析
一．选择题（共22小题）
1．若函数，且0≤x≤1，则有（ ）
A．
f（x）≥1
B．
C．
D．
考点：
指数函数的定义、解析式、定义域和值域．1091931
专题：
计算题．
分析：
结合指数函数数在[0，1]上的单调性可求．
解答：
解：
∵0≤x≤1且函数单调递减
∴
故选D
点评：
本题主要考查了指数函数的单调性的应用，属于基础试题．
2．函数y=（）x2+2x﹣1的值域是（ ）
A．
（﹣∞，4）
B．
（0，+∞）
C．
（0，4]
D．
[4，+∞）
考点：
指数函数的定义、解析式、定义域和值域．1091931
专题：
计算题．
分析：
本题是一个复合函数，求其值域可以分为两步来求，先求内层函数的值域，再求函数的值域，内层的函数是一个二次型的函数，用二次函数的性质求值域，外层的函数是一个指数函数，和指数的性质求其值域即可．
解答：
解：
由题意令t=x2+2x﹣1=（x+1）2﹣2≥﹣2
∴y=≤=4
∴0＜y≤4
故选C
点评：
本题考查指数函数的定义域和值域、定义及解析式，解题的关键是掌握住复合函数求值域的规律，由内而外逐层求解．以及二次函数的性质，指数函数的性质．
3．函数的值域为（ ）
A．
（0，1]
B．
（0，+∞）
C．
（1，+∞）
D．
（﹣∞，+∞）
考点：
指数函数的定义、解析式、定义域和值域．1091931
专题：
计算题．
分析：
画出f（x）的图象，由f（x）图象f（x）可得的值域．
解答：
解：
函数的图象如图：
由f（x）的图象可得：
f（x）的值域为（0，+∞）．
故选B．
点评：
本题考查指数函数的值域，用到了指数函数的图象．
4．函数y=4x+2x+1+5，x∈[1，2]的最大值为（ ）
A．
20
B．
25
C．
29
D．
31
考点：
指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数的最值及其几何意义．1091931
专题：
计算题．
分析：
由x∈[1，2]，知2≤2x≤4，把y=4x+2x+1+5转化为y=（2x+1）2+4，当2x=4时，ymax=（4+1）2+4=29．
解答：
解：
∵x∈[1，2]，∴2≤2x≤4，
∴y=4x+2x+1+5=（2x）2+2×2x+5=（2x+1）2+4，
当2x=4时，ymax=（4+1）2+4=29．
故选C．
点评：
本题考查指数函数的性质和应用，解题时要认真审题，注意配方法的合理运用．
5．函数y=3|x|﹣1的定义域为[﹣1，2]，则函数的值域为（ ）
A．
[2，8]
B．
[0，8]
C．
[1，8]
D．
[﹣1，8]
考点：
指数函数的定义、解析式、定义域和值域．1091931
专题：
计算题．
分析：
设t=|x|可得出t∈[0，2]，根据指数函数的单调性求出值域即可．
解答：
解：
设t=|x|
∵函数y=3|x|﹣1的定义域为[﹣1，2]，
∴t∈[0，2]
∴y=3t﹣1
∴y=3t﹣1在t∈[0，2]的值域为[0，8]
故选B．
点评：
本题考查了指数函数的定义域和值域，求出函数y=3t﹣1的定义域是解题的关键，属于基础题．
6．函数的值域是（ ）
A．
（0，+∞）
B．
（0，1）
C．
（0，1]
D．
[1，+∞）
考点：
指数函数的定义、解析式、定义域和值域．1091931
专题：
计算题．
分析：
本题是一个复合函数，求其值域可以分为两步来求，先求内层函数的值域，再求函数的值域，内层的函数是一个二次型的函数，用二次函数的性质求值域，外层的函数是一个指数函数，和指数的性质求其值域即可．
解答：
解：
由题意令t=x2≥0
∴y=≤=1
∴0＜y≤1
故选C
点评：
本题考查指数函数的定义域和值域、定义及解析式，解题的关键是掌握住复合函数求值域的规律，由内而外逐层求解．以及二次函数的性质，指数函数的性质．
7．（2011?
山东）若点（a，9）在函数y=3x的图象上，则tan的值为（ ）
A．
0
B．
C．
1
D．
考点：
指数函数的图像与性质．1091931
专题：
计算题．
分析：
先将点代入到解析式中，解出a的值，再根据特殊三角函数值进行解答．
解答：
解：
将（a，9）代入到y=3x中，得3a=9，
解得a=2．
∴=．
故选D．
点评：
对于基本初等函数的考查，历年来多数以选择填空的形式出现．在解答这些知识点时，多数要结合着图象，利用数形结合的方式研究，一般的问题往往都可以迎刃而解．
8．设a、b、c、d都是大于零且不等于1的实数，y=ax、y=bx、y=cx、y=dx在同一坐标系中的图象如图
（1）所示，则a、b、c、d的大小关系是（ ）
A．
a＞b＞c＞d
B．
a＞b＞d＞c
C．
a＞d＞c＞b
D．
a＞c＞b＞d
考点：
指数函数的图像与性质．1091931
专题：
综合题．
分析：
通过作直线x=1与图象交于四点，利用这几个点的位置关系，从而确定a，b，c，d的大小关系．
解答：
解：
∵a1=a，∴作直线x=1与图象分别交于A，B，C，D点，
则它们纵坐标分别为：
a，b，c，d由图
a＞b＞c＞d
故选A．
点评：
本题考查了指数函数的图象与性质，同时考查了数形结合的思想方法，是个基础题．
9．如图，设a，b，c，d＞0，且不等于1，y=ax，y=bx，y=cx，y=dx在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小顺序（ ）
A．
a＜b＜c＜d
B．
a＜b＜d＜c
C．
b＜a＜d＜c
D．
b＜a＜c＜d
考点：
指数函数的图像与性质．1091931
专题：
数形结合．
分析：
要比较a、b、c、d的大小，根据函数结构的特征，作直线x=1，与y=ax，y=bx，y=cx，y=dx交点的纵坐标就是a、b、c、d，观察图形即可得到结论．
解答：
解：
作辅助直线x=1，当x=1时，
y=ax，y=bx，y=cx，y=dx的函数值正好是底数a、b、c、d
直线x=1与y=ax，y=bx，y=cx，y=dx交点的纵坐标就是a、b、c、d
观察图形即可判定大小：
b＜a＜d＜c
故选：
C．
点评：
本题主要考查了指数函数的图象与性质，同时考查了数形结合的数学思想，分析问题解决问题的能力，属于基础题．
10．（2012?
四川）函数y=ax﹣a（a＞0，a≠1）的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
指数函数的图像变换．1091931
专题：
计算题．
分析：
a＞1时，函数y=ax﹣a在R上是增函数，且图象过点（1，0），故排除A，B．当1＞a＞0时，函数y=ax﹣a在R上是减函数，且图象过点（1，0），故排除D，由此得出结论．
解答：
解：
函数y=ax﹣a（a＞0，a≠1）的图象可以看成把函数y=ax的图象向下平移a个单位得到的．
当a＞1时，函数y=ax﹣a在R上是增函数，且图象过点（1，0），故排除A，B．
当1＞a＞0时，函数y=ax﹣a在R上是减函数，且图象过点（1，0），故排除D，
故选C．
点评：
本题主要考查指数函数的图象变换，指数函数的单调性和特殊点，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
11．把函数y=2x﹣2+3的图象按向量平移，得到函数y=2x+1﹣1的图象，则向量=（ ）
A．
（﹣3，﹣4）
B．
（3，4）
C．
（﹣3，4）
D．
（3，﹣4）
考点：
指数函数的图像变换．1091931
专题：
计算题．
分析：
我们可以用待定系数法解答本题，先设出平移向量的坐标，根据函数图象的平移法则，我们可以求出平移后函数的解析式，根据已知我们可构造出一个关于h，k的二元一次方程组，解方程组即可求出平移向量的坐标．
解答：
解：
设平移向量=（h，k）
则函数y=2x﹣2+3的图象平移后得到的函数解析式为：
y=2x﹣h﹣2+3+k
即x﹣h﹣2=x+1且3+k=﹣1
解得h=﹣3，k=﹣4
故向量=（﹣3，﹣4）
故选A
点评：
本题考查的知识点是函数图象的平移变换，其中根据平移法则“左加右减，上加下减”构造关于h，k的二元一次方程组，是解答本题的关键．
12．函数y=3x﹣1的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
指数函数的图像变换．1091931
专题：
作图题．
分析：
可利用排除法解此选择题，由特殊点（0，0）在函数图象上可排除A、B；由特殊性质函数的值域为（﹣1，+∞），排除C，即可得正确选项
解答：
解：
由函数y=3x﹣1的图象过（0，0）点，排除A、B，
由函数y=3x﹣1的值域为（﹣1，+∞），排除C
故选D
点评：
本题考查了指数函数的图象变换，排除法解选择题
13．函数f（x）=4x+5×2x﹣1+1的值域是（ ）
A．
（0，1）
B．
[1，+∞）
C．
（1，+∞）
D．
[0，1]
考点：
指数函数的单调性与特殊点．1091931
专题：
计算题．
分析：
令2x=t，t＞0，则函数f（x）=t2+t+1，利利用二次函数的性质求出值域．
解答：
解：
令2x=t，t＞0，则函数f（x）=t2+t+1=﹣＞﹣=1，
且由二次函数的性质知，函数f（x）=﹣无最大值，
故值域为（1，+∞）．
故选C．
点评：
本题考查指数函数的单调性和值域，二次函数的值域的求法，体现了换元的思想．
14．已知a=，b=，c=，则下列关系中正确的是（ ）
A．
a＜b＜c
B．
c＜a＜b
C．
a＜c＜b
D．
b＜a＜c
考点：
指数函数的单调性与特殊点．1091931
专题：
常规题型．
分析：
利用幂的运算性质将a化简；由于三个数同底；研究指数函数的单调性，判断出三个数的大小．
解答：
解：
∵
∵是同底数的幂
考查指数函数是减函数
故选D
点评：
本题考查指数函数的单调性取决于底数的范围、考查利用指数函数的单调性比较幂的大小．
15．若a＞0，a≠1，则函数y=ax﹣1的图象一定过点（ ）
A．
（0，1）
B．
（1，1）
C．
（1，0）
D．
（0，﹣1）
考点：
指数函数的单调性与特殊点．1091931
专题：
计算题．
分析：
令令x﹣1=0求出x的值，代入解析式求出定点的坐标．
解答：
解：
令x﹣1=0得，x=1，代入数y=ax﹣1=1，
∴函数y=ax﹣1的图象一定过点（1，1），
故选B．
点评：
本题考查了指数函数的图象过定点（0，1）的应用，令指数为零求解即可，是基础题．
16．已知a，b∈R，且a＞b，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A．
a2＞b2
B．
（）a＜（）b
C．
lg（a﹣b）＞0
D．
＞1
考点：
指数函数的单调性与特殊点．1091931
专题：
计算题．
分析：
不妨设a=﹣1，b=﹣2，代入各个选项进行检验可得A、C、D都不正确，只有B正确，从而得到结论．
解答：
解：
令a=﹣1，b=﹣2，代入各个选项进行检验可得A、C、D都不正确，只有B正确，
故选B．
点评：
本题考查不等式的性质，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．
17．函数的单调增区间为（ ）
A．
[﹣1，+∞）
B．
（﹣∞，﹣1]
C．
（﹣∞，+∞）
D．
（﹣∞，0]
考点：
指数函数的单调性与特殊点．1091931
专题：
计算题．
分析：
分别判断出各段函数在其定义区间的单调性，根据同增异减口诀，先判断内层函数的单调性，再判断外层函数单调性，若两函数单调性相同，则此复合函数在此定义域上为增函数，反之则为减函数．
解答：
解：
外层函数是，内层函数是y=x2+2x
由题意可得外层函数是减函数
∵根据复合函数同增异减的性质
∴只要找到y=x2+2x的减区间即可
∵y=x2+2x的对称轴是x=﹣1
∴它的减区间为（﹣∞，﹣1）
∴函数的增区间为（﹣∞，﹣1）．
点评：
复合函数的单调性一般是看函数包含的两个函数的单调性
（1）如果两个都是增的，那么函数就是增函数
（2）一个是减一个是增，那就是减函数（3）两个都是减，那就是增函数．
18．函数y=ax﹣1+1（0＜a≠1）的图象必经过点（ ）
A．
（0，1）
B．
（1，1）
C．
（1，2）
D．
（0，2）
考点：
指数函数的单调性与特殊点．1091931
专题：
计算题．
分析：
由a0=1，可得当x=1时，函数y=ax﹣1+1=a0+1=2，从得到函数y=ax﹣1+1（0＜a≠1）的图象必经过的定点坐标．
解答：
解：
由a0=1，可得当x=1时，函数y=ax﹣1+1=a0+1=2，
故函数y=ax﹣1+1（0＜a≠1）的图象必经过点（1，2），
故选C．
点评：
本题主要考查指数函数的单调性及特殊点，属于基础题．
19．已知a=30.2，b=0.2﹣3，c=3﹣0.2，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．
a＞b＞c
B．
b＞a＞c
C．
c＞a＞b
D．
b＞c＞a
考点：
指数函数单调性的应用．1091931
专题：
计算题．
分析：
先取中间量1，利用指数函数的图象性质，判断c最小，排除C、D；再将a、b两数变形比较，即可得正确选项
解答：
解：
利用指数函数的图象性质知a＞1，b＞1，而c＜1，故c最小，排除C、D
∵a=＜31=3，b==53=125
∴b＞a
故选B
点评：
本题主要考查了幂的大小的比较，利用指数函数图象和幂的运算性质比较大小的技巧
20．（2005?
山东）下列大小关系正确的是（ ）
A．
0.43＜30.4＜log40.3
B．
0.43＜log40.3＜30.4
C．
log40.3＜0.43＜30.4
D．
log40.3＜30.4＜0.43
考点：
指数函数单调性的应用．1091931
专题：
常规题型．
分析：
结合函数y=0.4x，y=3x，y=log4x的单调性判断各函数值与0和1的大小，从而比较大小．
解答：
解：
∵0＜0.43＜0.40=1，30.4＞30=1，log40.3＜log0.41=0
∴log40.3＜0.43＜30.4
故选C
点评：
本题是指数函数与对数函数的单调性的简单应用，在比较指数（对数）式的大小时，若是同底的，一般直接借助于指数（对数）函数的单调性，若不同底数，也不同指（真）数，一般与1（0）比较大小．
21．设，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．
a＞b＞c
B．
b＞a＞c
C．
b＞c＞a
D．
c＞b＞a
考点：
指数函数单调性的应用．1091931
专题：
证明题．
分析：
先利用指数函数y=为R上的单调减函数，比较a、b的大小，排除A、B，再利用幂函数y=x3在R上为增函数，比较b、c的大小，即可得正确选项
解答：
解：
考察函数y=为R上的单调减函数，∴，即a＜b，排除A、B；
∵b3=，c3==，∴b3＞c3，
考察幂函数y=x3在R上为增函数，∴b＞c，排除D；
故选C
点评：
本题主要考查了指数函数、幂函数的图象和性质，利用函数的单调性比较大小的方法和技巧，属基础题
22．比较a，b，c的大小，其中a=0.22，b=20.2，c=log0.22（ ）
A．
b＞c＞a
B．
c＞a＞b
C．
a＞b＞c
D．
b＞a＞c
考点：
指数函数单调性的应用；不等式比较大小．1091931
专题：
计算题．
分析：
将log0.22看作函数y=log0.2x当x=2时所对应的函数值小于零，将a=0.22看作函数y=0.2x当x=2时所对应的函数值小于1，将b=20.2看作函数y=2x当x=0.2时所对应的函数值大于1．
解答：
解：
根据对数函数的性质可知c=log0.22＜0
根据指数函数的性质可知0＜0.22＜1，20.2＞1
∴b＞a＞c
故选D
点评：
本题主要考查在数的比较中，我们要注意函数思想的应用．
二．填空题（共2小题）
23．函数的单调递增区间是 （﹣1，+∞） ．
考点：
指数函数综合题．1091931
专题：
计算题．
分析：
令t=x2+2x﹣3，则y=3t，本题即求函数t=x2+2x﹣3的增区间，由二次函数的性质可得函数t=x2+2x﹣3的增区间为（﹣1，+∞）．
解答：
解：
函数=，令t=x2+2x﹣3，则y=3t．
故本题即求函数t=x2+2x﹣3的增区间．
由二次函数的性质可得函数t=x2+2x﹣3的增区间为（﹣1，+∞），
故答案为（﹣1，+∞）．
点评：
本题主要考查指数型复合函数的单调性的应用，二次函数的性质，属于中档题．
24．（2005?
上海）方程4x+2x﹣2=0的解是 0 ．
考点：
指数函数综合题．1091931
专题：
计算题；转化思想．
分析：
先换元，转化成一元二次方程求解，进而求出x的值．
解答：
解：
令t=2x，则t＞0，
∴t2+t﹣2=0，解得t=1或t=﹣2（舍）
即2x=1；
即x=0；
故答案为0．
点评：
考查了指数运算，对于不是同底的指数问题，首先换成同一底数，体现了换元的思想，在换元中注意新变量的取值范围．属容易题．
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