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指数函数经典题易错题

指数函数(经典题、易错题)

指数函数(经典题、易错题)

 

一.选择题(共22小题)

1.若函数,且0≤x≤1,则有(  )

 

A.

f(x)≥1

B.

C.

D.

 

2.函数y=()x2+2x﹣1的值域是(  )

 

A.

(﹣∞,4)

B.

(0,+∞)

C.

(0,4]

D.

[4,+∞)

 

3.函数的值域为(  )

 

A.

(0,1]

B.

(0,+∞)

C.

(1,+∞)

D.

(﹣∞,+∞)

 

4.函数y=4x+2x+1+5,x∈[1,2]的最大值为(  )

 

A.

20

B.

25

C.

29

D.

31

 

5.函数y=3|x|﹣1的定义域为[﹣1,2],则函数的值域为(  )

 

A.

[2,8]

B.

[0,8]

C.

[1,8]

D.

[﹣1,8]

 

6.函数的值域是(  )

 

A.

(0,+∞)

B.

(0,1)

C.

(0,1]

D.

[1,+∞)

 

7.(2011?

山东)若点(a,9)在函数y=3x的图象上,则tan的值为(  )

 

A.

0

B.

C.

1

D.

 

8.设a、b、c、d都是大于零且不等于1的实数,y=ax、y=bx、y=cx、y=dx在同一坐标系中的图象如图

(1)所示,则a、b、c、d的大小关系是(  )

 

A.

a>b>c>d

B.

a>b>d>c

C.

a>d>c>b

D.

a>c>b>d

 

9.如图,设a,b,c,d>0,且不等于1,y=ax,y=bx,y=cx,y=dx在同一坐标系中的图象如图,则a,b,c,d的大小顺序(  )

 

A.

a<b<c<d

B.

a<b<d<c

C.

b<a<d<c

D.

b<a<c<d

 

10.(2012?

四川)函数y=ax﹣a(a>0,a≠1)的图象可能是(  )

 

A.

B.

C.

D.

 

11.把函数y=2x﹣2+3的图象按向量平移,得到函数y=2x+1﹣1的图象,则向量=(  )

 

A.

(﹣3,﹣4)

B.

(3,4)

C.

(﹣3,4)

D.

(3,﹣4)

 

12.函数y=3x﹣1的图象大致是(  )

 

A.

B.

C.

D.

 

13.函数f(x)=4x+5×2x﹣1+1的值域是(  )

 

A.

(0,1)

B.

[1,+∞)

C.

(1,+∞)

D.

[0,1]

 

14.已知a=,b=,c=,则下列关系中正确的是(  )

 

A.

a<b<c

B.

c<a<b

C.

a<c<b

D.

b<a<c

 

15.若a>0,a≠1,则函数y=ax﹣1的图象一定过点(  )

 

A.

(0,1)

B.

(1,1)

C.

(1,0)

D.

(0,﹣1)

 

16.已知a,b∈R,且a>b,则下列不等式中恒成立的是(  )

 

A.

a2>b2

B.

()a<()b

C.

lg(a﹣b)>0

D.

>1

 

17.函数的单调增区间为(  )

 

A.

[﹣1,+∞)

B.

(﹣∞,﹣1]

C.

(﹣∞,+∞)

D.

(﹣∞,0]

 

18.函数y=ax﹣1+1(0<a≠1)的图象必经过点(  )

 

A.

(0,1)

B.

(1,1)

C.

(1,2)

D.

(0,2)

 

19.已知a=30.2,b=0.2﹣3,c=3﹣0.2,则a,b,c的大小关系是(  )

 

A.

a>b>c

B.

b>a>c

C.

c>a>b

D.

b>c>a

 

20.(2005?

山东)下列大小关系正确的是(  )

 

A.

0.43<30.4<log40.3

B.

0.43<log40.3<30.4

 

C.

log40.3<0.43<30.4

D.

log40.3<30.4<0.43

 

21.设,则a,b,c的大小关系是(  )

 

A.

a>b>c

B.

b>a>c

C.

b>c>a

D.

c>b>a

 

22.比较a,b,c的大小,其中a=0.22,b=20.2,c=log0.22(  )

 

A.

b>c>a

B.

c>a>b

C.

a>b>c

D.

b>a>c

 

二.填空题(共2小题)

23.函数的单调递增区间是 _________ .

 

24.(2005?

上海)方程4x+2x﹣2=0的解是 _________ .

 

指数函数(经典题、易错题)

参考答案与试题解析

 

一.选择题(共22小题)

1.若函数,且0≤x≤1,则有(  )

 

A.

f(x)≥1

B.

C.

D.

考点:

指数函数的定义、解析式、定义域和值域.1091931

专题:

计算题.

分析:

结合指数函数数在[0,1]上的单调性可求.

解答:

解:

∵0≤x≤1且函数单调递减

故选D

点评:

本题主要考查了指数函数的单调性的应用,属于基础试题.

 

2.函数y=()x2+2x﹣1的值域是(  )

 

A.

(﹣∞,4)

B.

(0,+∞)

C.

(0,4]

D.

[4,+∞)

考点:

指数函数的定义、解析式、定义域和值域.1091931

专题:

计算题.

分析:

本题是一个复合函数,求其值域可以分为两步来求,先求内层函数的值域,再求函数的值域,内层的函数是一个二次型的函数,用二次函数的性质求值域,外层的函数是一个指数函数,和指数的性质求其值域即可.

解答:

解:

由题意令t=x2+2x﹣1=(x+1)2﹣2≥﹣2

∴y=≤=4

∴0<y≤4

故选C

点评:

本题考查指数函数的定义域和值域、定义及解析式,解题的关键是掌握住复合函数求值域的规律,由内而外逐层求解.以及二次函数的性质,指数函数的性质.

 

3.函数的值域为(  )

 

A.

(0,1]

B.

(0,+∞)

C.

(1,+∞)

D.

(﹣∞,+∞)

考点:

指数函数的定义、解析式、定义域和值域.1091931

专题:

计算题.

分析:

画出f(x)的图象,由f(x)图象f(x)可得的值域.

解答:

解:

函数的图象如图:

由f(x)的图象可得:

f(x)的值域为(0,+∞).

故选B.

点评:

本题考查指数函数的值域,用到了指数函数的图象.

 

4.函数y=4x+2x+1+5,x∈[1,2]的最大值为(  )

 

A.

20

B.

25

C.

29

D.

31

考点:

指数函数的定义、解析式、定义域和值域;函数的最值及其几何意义.1091931

专题:

计算题.

分析:

由x∈[1,2],知2≤2x≤4,把y=4x+2x+1+5转化为y=(2x+1)2+4,当2x=4时,ymax=(4+1)2+4=29.

解答:

解:

∵x∈[1,2],∴2≤2x≤4,

∴y=4x+2x+1+5=(2x)2+2×2x+5=(2x+1)2+4,

当2x=4时,ymax=(4+1)2+4=29.

故选C.

点评:

本题考查指数函数的性质和应用,解题时要认真审题,注意配方法的合理运用.

 

5.函数y=3|x|﹣1的定义域为[﹣1,2],则函数的值域为(  )

 

A.

[2,8]

B.

[0,8]

C.

[1,8]

D.

[﹣1,8]

考点:

指数函数的定义、解析式、定义域和值域.1091931

专题:

计算题.

分析:

设t=|x|可得出t∈[0,2],根据指数函数的单调性求出值域即可.

解答:

解:

设t=|x|

∵函数y=3|x|﹣1的定义域为[﹣1,2],

∴t∈[0,2]

∴y=3t﹣1

∴y=3t﹣1在t∈[0,2]的值域为[0,8]

故选B.

点评:

本题考查了指数函数的定义域和值域,求出函数y=3t﹣1的定义域是解题的关键,属于基础题.

 

6.函数的值域是(  )

 

A.

(0,+∞)

B.

(0,1)

C.

(0,1]

D.

[1,+∞)

考点:

指数函数的定义、解析式、定义域和值域.1091931

专题:

计算题.

分析:

本题是一个复合函数,求其值域可以分为两步来求,先求内层函数的值域,再求函数的值域,内层的函数是一个二次型的函数,用二次函数的性质求值域,外层的函数是一个指数函数,和指数的性质求其值域即可.

解答:

解:

由题意令t=x2≥0

∴y=≤=1

∴0<y≤1

故选C

点评:

本题考查指数函数的定义域和值域、定义及解析式,解题的关键是掌握住复合函数求值域的规律,由内而外逐层求解.以及二次函数的性质,指数函数的性质.

 

7.(2011?

山东)若点(a,9)在函数y=3x的图象上,则tan的值为(  )

 

A.

0

B.

C.

1

D.

考点:

指数函数的图像与性质.1091931

专题:

计算题.

分析:

先将点代入到解析式中,解出a的值,再根据特殊三角函数值进行解答.

解答:

解:

将(a,9)代入到y=3x中,得3a=9,

解得a=2.

∴=.

故选D.

点评:

对于基本初等函数的考查,历年来多数以选择填空的形式出现.在解答这些知识点时,多数要结合着图象,利用数形结合的方式研究,一般的问题往往都可以迎刃而解.

 

8.设a、b、c、d都是大于零且不等于1的实数,y=ax、y=bx、y=cx、y=dx在同一坐标系中的图象如图

(1)所示,则a、b、c、d的大小关系是(  )

 

A.

a>b>c>d

B.

a>b>d>c

C.

a>d>c>b

D.

a>c>b>d

考点:

指数函数的图像与性质.1091931

专题:

综合题.

分析:

通过作直线x=1与图象交于四点,利用这几个点的位置关系,从而确定a,b,c,d的大小关系.

解答:

解:

∵a1=a,∴作直线x=1与图象分别交于A,B,C,D点,

则它们纵坐标分别为:

a,b,c,d由图

a>b>c>d

故选A.

点评:

本题考查了指数函数的图象与性质,同时考查了数形结合的思想方法,是个基础题.

 

9.如图,设a,b,c,d>0,且不等于1,y=ax,y=bx,y=cx,y=dx在同一坐标系中的图象如图,则a,b,c,d的大小顺序(  )

 

A.

a<b<c<d

B.

a<b<d<c

C.

b<a<d<c

D.

b<a<c<d

考点:

指数函数的图像与性质.1091931

专题:

数形结合.

分析:

要比较a、b、c、d的大小,根据函数结构的特征,作直线x=1,与y=ax,y=bx,y=cx,y=dx交点的纵坐标就是a、b、c、d,观察图形即可得到结论.

解答:

解:

作辅助直线x=1,当x=1时,

y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的函数值正好是底数a、b、c、d

直线x=1与y=ax,y=bx,y=cx,y=dx交点的纵坐标就是a、b、c、d

观察图形即可判定大小:

b<a<d<c

故选:

C.

点评:

本题主要考查了指数函数的图象与性质,同时考查了数形结合的数学思想,分析问题解决问题的能力,属于基础题.

 

10.(2012?

四川)函数y=ax﹣a(a>0,a≠1)的图象可能是(  )

 

A.

B.

C.

D.

考点:

指数函数的图像变换.1091931

专题:

计算题.

分析:

a>1时,函数y=ax﹣a在R上是增函数,且图象过点(1,0),故排除A,B.当1>a>0时,函数y=ax﹣a在R上是减函数,且图象过点(1,0),故排除D,由此得出结论.

解答:

解:

函数y=ax﹣a(a>0,a≠1)的图象可以看成把函数y=ax的图象向下平移a个单位得到的.

当a>1时,函数y=ax﹣a在R上是增函数,且图象过点(1,0),故排除A,B.

当1>a>0时,函数y=ax﹣a在R上是减函数,且图象过点(1,0),故排除D,

故选C.

点评:

本题主要考查指数函数的图象变换,指数函数的单调性和特殊点,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.

 

11.把函数y=2x﹣2+3的图象按向量平移,得到函数y=2x+1﹣1的图象,则向量=(  )

 

A.

(﹣3,﹣4)

B.

(3,4)

C.

(﹣3,4)

D.

(3,﹣4)

考点:

指数函数的图像变换.1091931

专题:

计算题.

分析:

我们可以用待定系数法解答本题,先设出平移向量的坐标,根据函数图象的平移法则,我们可以求出平移后函数的解析式,根据已知我们可构造出一个关于h,k的二元一次方程组,解方程组即可求出平移向量的坐标.

解答:

解:

设平移向量=(h,k)

则函数y=2x﹣2+3的图象平移后得到的函数解析式为:

y=2x﹣h﹣2+3+k

即x﹣h﹣2=x+1且3+k=﹣1

解得h=﹣3,k=﹣4

故向量=(﹣3,﹣4)

故选A

点评:

本题考查的知识点是函数图象的平移变换,其中根据平移法则“左加右减,上加下减”构造关于h,k的二元一次方程组,是解答本题的关键.

 

12.函数y=3x﹣1的图象大致是(  )

 

A.

B.

C.

D.

考点:

指数函数的图像变换.1091931

专题:

作图题.

分析:

可利用排除法解此选择题,由特殊点(0,0)在函数图象上可排除A、B;由特殊性质函数的值域为(﹣1,+∞),排除C,即可得正确选项

解答:

解:

由函数y=3x﹣1的图象过(0,0)点,排除A、B,

由函数y=3x﹣1的值域为(﹣1,+∞),排除C

故选D

点评:

本题考查了指数函数的图象变换,排除法解选择题

 

13.函数f(x)=4x+5×2x﹣1+1的值域是(  )

 

A.

(0,1)

B.

[1,+∞)

C.

(1,+∞)

D.

[0,1]

考点:

指数函数的单调性与特殊点.1091931

专题:

计算题.

分析:

令2x=t,t>0,则函数f(x)=t2+t+1,利利用二次函数的性质求出值域.

解答:

解:

令2x=t,t>0,则函数f(x)=t2+t+1=﹣>﹣=1,

且由二次函数的性质知,函数f(x)=﹣无最大值,

故值域为(1,+∞).

故选C.

点评:

本题考查指数函数的单调性和值域,二次函数的值域的求法,体现了换元的思想.

 

14.已知a=,b=,c=,则下列关系中正确的是(  )

 

A.

a<b<c

B.

c<a<b

C.

a<c<b

D.

b<a<c

考点:

指数函数的单调性与特殊点.1091931

专题:

常规题型.

分析:

利用幂的运算性质将a化简;由于三个数同底;研究指数函数的单调性,判断出三个数的大小.

解答:

解:

∵是同底数的幂

考查指数函数是减函数

故选D

点评:

本题考查指数函数的单调性取决于底数的范围、考查利用指数函数的单调性比较幂的大小.

 

15.若a>0,a≠1,则函数y=ax﹣1的图象一定过点(  )

 

A.

(0,1)

B.

(1,1)

C.

(1,0)

D.

(0,﹣1)

考点:

指数函数的单调性与特殊点.1091931

专题:

计算题.

分析:

令令x﹣1=0求出x的值,代入解析式求出定点的坐标.

解答:

解:

令x﹣1=0得,x=1,代入数y=ax﹣1=1,

∴函数y=ax﹣1的图象一定过点(1,1),

故选B.

点评:

本题考查了指数函数的图象过定点(0,1)的应用,令指数为零求解即可,是基础题.

 

16.已知a,b∈R,且a>b,则下列不等式中恒成立的是(  )

 

A.

a2>b2

B.

()a<()b

C.

lg(a﹣b)>0

D.

>1

考点:

指数函数的单调性与特殊点.1091931

专题:

计算题.

分析:

不妨设a=﹣1,b=﹣2,代入各个选项进行检验可得A、C、D都不正确,只有B正确,从而得到结论.

解答:

解:

令a=﹣1,b=﹣2,代入各个选项进行检验可得A、C、D都不正确,只有B正确,

故选B.

点评:

本题考查不等式的性质,通过给变量取特殊值,举反例来说明某个命题不正确,是一种简单有效的方法.

 

17.函数的单调增区间为(  )

 

A.

[﹣1,+∞)

B.

(﹣∞,﹣1]

C.

(﹣∞,+∞)

D.

(﹣∞,0]

考点:

指数函数的单调性与特殊点.1091931

专题:

计算题.

分析:

分别判断出各段函数在其定义区间的单调性,根据同增异减口诀,先判断内层函数的单调性,再判断外层函数单调性,若两函数单调性相同,则此复合函数在此定义域上为增函数,反之则为减函数.

解答:

解:

外层函数是,内层函数是y=x2+2x

由题意可得外层函数是减函数

∵根据复合函数同增异减的性质

∴只要找到y=x2+2x的减区间即可

∵y=x2+2x的对称轴是x=﹣1

∴它的减区间为(﹣∞,﹣1)

∴函数的增区间为(﹣∞,﹣1).

点评:

复合函数的单调性一般是看函数包含的两个函数的单调性  

(1)如果两个都是增的,那么函数就是增函数

(2)一个是减一个是增,那就是减函数(3)两个都是减,那就是增函数.

 

18.函数y=ax﹣1+1(0<a≠1)的图象必经过点(  )

 

A.

(0,1)

B.

(1,1)

C.

(1,2)

D.

(0,2)

考点:

指数函数的单调性与特殊点.1091931

专题:

计算题.

分析:

由a0=1,可得当x=1时,函数y=ax﹣1+1=a0+1=2,从得到函数y=ax﹣1+1(0<a≠1)的图象必经过的定点坐标.

解答:

解:

由a0=1,可得当x=1时,函数y=ax﹣1+1=a0+1=2,

故函数y=ax﹣1+1(0<a≠1)的图象必经过点(1,2),

故选C.

点评:

本题主要考查指数函数的单调性及特殊点,属于基础题.

 

19.已知a=30.2,b=0.2﹣3,c=3﹣0.2,则a,b,c的大小关系是(  )

 

A.

a>b>c

B.

b>a>c

C.

c>a>b

D.

b>c>a

考点:

指数函数单调性的应用.1091931

专题:

计算题.

分析:

先取中间量1,利用指数函数的图象性质,判断c最小,排除C、D;再将a、b两数变形比较,即可得正确选项

解答:

解:

利用指数函数的图象性质知a>1,b>1,而c<1,故c最小,排除C、D

∵a=<31=3,b==53=125

∴b>a

故选B

点评:

本题主要考查了幂的大小的比较,利用指数函数图象和幂的运算性质比较大小的技巧

 

20.(2005?

山东)下列大小关系正确的是(  )

 

A.

0.43<30.4<log40.3

B.

0.43<log40.3<30.4

 

C.

log40.3<0.43<30.4

D.

log40.3<30.4<0.43

考点:

指数函数单调性的应用.1091931

专题:

常规题型.

分析:

结合函数y=0.4x,y=3x,y=log4x的单调性判断各函数值与0和1的大小,从而比较大小.

解答:

解:

∵0<0.43<0.40=1,30.4>30=1,log40.3<log0.41=0

∴log40.3<0.43<30.4

故选C

点评:

本题是指数函数与对数函数的单调性的简单应用,在比较指数(对数)式的大小时,若是同底的,一般直接借助于指数(对数)函数的单调性,若不同底数,也不同指(真)数,一般与1(0)比较大小.

 

21.设,则a,b,c的大小关系是(  )

 

A.

a>b>c

B.

b>a>c

C.

b>c>a

D.

c>b>a

考点:

指数函数单调性的应用.1091931

专题:

证明题.

分析:

先利用指数函数y=为R上的单调减函数,比较a、b的大小,排除A、B,再利用幂函数y=x3在R上为增函数,比较b、c的大小,即可得正确选项

解答:

解:

考察函数y=为R上的单调减函数,∴,即a<b,排除A、B;

∵b3=,c3==,∴b3>c3,

考察幂函数y=x3在R上为增函数,∴b>c,排除D;

故选C

点评:

本题主要考查了指数函数、幂函数的图象和性质,利用函数的单调性比较大小的方法和技巧,属基础题

 

22.比较a,b,c的大小,其中a=0.22,b=20.2,c=log0.22(  )

 

A.

b>c>a

B.

c>a>b

C.

a>b>c

D.

b>a>c

考点:

指数函数单调性的应用;不等式比较大小.1091931

专题:

计算题.

分析:

将log0.22看作函数y=log0.2x当x=2时所对应的函数值小于零,将a=0.22看作函数y=0.2x当x=2时所对应的函数值小于1,将b=20.2看作函数y=2x当x=0.2时所对应的函数值大于1.

解答:

解:

根据对数函数的性质可知c=log0.22<0

根据指数函数的性质可知0<0.22<1,20.2>1

∴b>a>c

故选D

点评:

本题主要考查在数的比较中,我们要注意函数思想的应用.

 

二.填空题(共2小题)

23.函数的单调递增区间是 (﹣1,+∞) .

考点:

指数函数综合题.1091931

专题:

计算题.

分析:

令t=x2+2x﹣3,则y=3t,本题即求函数t=x2+2x﹣3的增区间,由二次函数的性质可得函数t=x2+2x﹣3的增区间为(﹣1,+∞).

解答:

解:

函数=,令t=x2+2x﹣3,则y=3t.

故本题即求函数t=x2+2x﹣3的增区间.

由二次函数的性质可得函数t=x2+2x﹣3的增区间为(﹣1,+∞),

故答案为(﹣1,+∞).

点评:

本题主要考查指数型复合函数的单调性的应用,二次函数的性质,属于中档题.

 

24.(2005?

上海)方程4x+2x﹣2=0的解是 0 .

考点:

指数函数综合题.1091931

专题:

计算题;转化思想.

分析:

先换元,转化成一元二次方程求解,进而求出x的值.

解答:

解:

令t=2x,则t>0,

∴t2+t﹣2=0,解得t=1或t=﹣2(舍)

即2x=1;

即x=0;

故答案为0.

点评:

考查了指数运算,对于不是同底的指数问题,首先换成同一底数,体现了换元的思想,在换元中注意新变量的取值范围.属容易题.

 

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