高中数学必修二第八章《立体几何初步》单元训练题高难度 27含答案解析.docx
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高中数学必修二第八章《立体几何初步》单元训练题高难度27含答案解析
必修二第八章《立体几何初步》单元训练题（高难度）（27）
一、单项选择题（本大题共13小题，共65.0分）
1.将边长为5的菱形ABCD沿对角线AC折起，顶点B移动至处，在以点，A，C，为顶点的四面体中，棱AC、的中点分别为E、F，若，且四面体的外接球球心落在四面体内部，则线段EF长度的取值范围为
A.B.C.D.
2.在空间中有如下命题，其中正确的是
A.若直线a和b共面，直线b和c共面，则直线a和c共面；
B.若平面内的任意直线平面，则平面平面；
C.若直线a与平面不垂直，则直线a与平面内的所有直线都不垂直；
D.若点P到三角形三条边的距离相等，则点P在该三角形所在平面内的射影是该三角形的内心．
3.在三棱锥中，已知，且为正三角形，，则三棱锥的外接球的表面积为
A.B.C.D.
4.已知矩形ABCD的面积为8，当矩形ABCD周长最小时，沿对角线AC把折起，则三棱椎的外接球表面积等于
A.B.C.D.不确定的实数
5.一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积为
A.B.C.D.
6.室内有一直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线，它与直尺所在的直线
A.异面B.相交C.平行D.垂直
7.等腰直角三角形ABE的斜边AB为正四面体ABCD侧棱，直角边AE绕斜边AB旋转，则在旋转的过程中，有下列说法：
四面体的体积有最大值和最小值；
存在某个位置，使得；
设二面角的平面角为，则；
的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，则点P的轨迹为椭圆．
其中，正确说法的个数是
A.4B.3C.2D.1
8.在长方体中，，，，E是的中点，F是棱AD上一点，，动点P在底面内，且三棱锥与三棱锥的体积相等，则直线CP与所成角的正切值的最小值为
A.B.C.D.
9.如图，在四棱锥中，是边长为的正三角形，，E为棱PA的中点，则直线DE与平面PBC的位置关系是
A.平行
B.垂直
C.相交但不垂直
D.不能确定
10.正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD折叠，使点B与点C间的距离为，则四面体ABCD外接球的表面积为
A.B.C.D.
11.在正方体中，下列几种说法正确的是
A.
B.
C.与平面成角为
D.和成角为
12.如图，小蚂蚁的家住在长方体的A处，小蚂蚁的奶奶家住在处，三条棱长分别是，小蚂蚁从A点出发，沿长方体的表面到小蚂蚁奶奶家的最短距离是
A.B.C.D.
13.已知长方体内接于半球O，且底面ABCD落在半球的底面上，底面的四个顶点落在半球的球面上．若半球的半径为3，，则该长方体体积的最大值为
A.B.C.48D.72
二、多项选择题（本大题共1小题，共4.0分）
14.如图，已知正四面体所有棱长均相等的三棱锥，P、Q、R分别为AB、BC、CA上的点，，，分别记二面角，，的平面角为、、，则下列判断不正确的是
A.B.C.D.
三、填空题（本大题共8小题，共40.0分）
15.如下图，在直角梯形ABCD中，，，，点E在线段CD上运动．如下图，沿BE将折至，使得平面平面ABED，则的最小值为__________．
16.已知圆锥的母线长为1，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积是______．
17.如图，在正方体中，点M，N分别是，的中点，则直线与DN的位置关系是______填“平行”、“相交”或“异面”
18.如图，平面ABC，，且于点D，于点在中，，，则直线AB与平面ADE所成角的大小为________．
19.如图，在底面边长均为2，高为1的长方体中，E、F分别为BC、的中点，则异面直线E、CF所成角的大小为________；平面与平面所成锐二面角的余弦值为________．
20.已知A，B是球O的球面上两点，，C为该球面上的动点．若三棱锥的体积的最大值为，则球O的表面积是________．
21.在长方体中，底面ABCD是边长为4的正方形，侧棱，M是BC的中点，点P是侧面内的动点包括四条边上的点，且满足，则三棱锥的体积的最大值是______
22.如下图，的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，，则CD的长为________．
四、解答题（本大题共8小题，共96.0分）
23.如图，在三棱柱中，，，，D为AB的中点，且．
求证：
平面ABC；
求多面体的体积；
求二面角的平面角的余弦值．
24.如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，，．
求证：
平面平面PAC；
若，求PC与平面PBD所成角的正弦值
25.如图，在五面体ABCDEF中，平面为EC的中点，
求异面直线BF与DE所成的角的大小；
证明：
平面平面CDE；
26.如下图，三棱柱的各棱长都是2，，，D，分别是AC，的中点．
证明：
平面；
求直线与平面ABC所成角的正弦值．
27.已知斜三棱柱，，，点在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知．
求到平面的距离
求所成角的余弦值．
28.如图，在三棱柱中，平面平面，．
证明：
；
若是正三角形，，求二面角的大小．
29.已知正四棱台两底面边长分别为3和9．若侧棱所在直线与上、下底面的中心的连线所成的角为，求棱台的侧面积
若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高．
30.如图，已知四棱锥的底面的菱形，，点E是BC边的中点，AC与DE交于点O，平面ABCD，
求证：
；
若，，求二面角的大小；
在的条件下，求异面直线PB与DE所成角的余弦值．
【答案与解析】
1.答案：
B
解析：
由题意画出图形，可证平面，得到球心O位于平面与平面ACF的交线上，即直线EF上，由勾股定理结合，，可得线段EF长度的取值范围．
本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力与思维能力，属难题．
解：
如图，
由已知可得，，且，
，，平面，
平面，
是AC的中点，
到点A、C的距离相等的点位于平面ACF内，
同理可知，到点、D的距离相等的点位于平面ACF内，
球心O到点A，，C，D的距离相等，
球心O位于平面与平面ACF的交线上，即直线EF上．
球心O落在线段EF上不含端点E、，
显然，由题意，，
则，
且
．
，
，则，
显然，
，即．
又，
．
故选：
B．
2.答案：
B
解析：
本题考查空间中直线与平面的位置关系，属于一般题．
解题时逐一判断即可求出答案．
解：
直线a与直线b共面，直线b和直线c共面，存在直线a与直线c异面的情况，A错误；
平面内任意直线均平行于平面，必在内必存在两条相交直线平行于平面，根据面面平行判定定理可知平面平面，B正确；
直线a与平面不垂直，可能与平面平行或相交；则在平面内存在与直线a异面的直线与直线a垂直，C错误；
若点P到三角形三条边的距离相等，可知点P在三角形所在平面内的射影到三角形三边的距离相等，此射影点可为三角形两外角平分线与一内角平分线的交点，此时不是三角形的内心，D错误，
故选B．
3.答案：
D
解析：
本题考查三棱锥的外接球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基本知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
取AB、BC、AC的中点E、M、F，连结CE、AM、BF，交于点H，求出，设三棱锥的外接球的球心为O，连结OH，则平面ABC，过O作，交AD于G，设球半径为R，，则，，，则，求出，从而，由此能求出三棱锥的外接球的表面积．
解：
取AB、BC、AC的中点E、M、F，连结CE、AM、BF，交于点H，
则，
设三棱锥的外接球的球心为O，
连结OH，则平面ABC，
过O作，交AD于G，
设球半径为R，，则，，，
，
，
解得，，
三棱锥的外接球的表面积．
故选D．
4.答案：
B
解析：
本题给出正方形翻折问题，求棱锥外接球的表面积，着重考查了基本不等式、正方形的性质和球的表面积公式等知识，属于较难题．
运用基本不等式，得当矩形ABCD是边长为的正方形时，矩形的周长最小．因此，三棱椎的外接球以AC中点O为球心，半径等于AC长的一半，由此结合球的表面积公式和题中数据，即可得到球的表面积．
解：
设矩形的两边长分别为x、y，得
，得当且仅当时，等号成立．
当矩形ABCD是边长为的正方形时，矩形的周长最小．
因此，沿对角线AC把折起得到的三棱椎的外接球的球心是AC中点，
AC长的一半为球半径，得，
三棱椎的外接球表面积等于．
故选B．
5.答案：
A
解析：
本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题时应根据三视图画出几何图形，求出各个面的面积和，是基础题
解：
根据几何体的三视图，得该几何体是如图所示的三棱锥，底面为直角三角形，，且底面ABC；
所以，该三棱锥的表面积为，
故选A．
6.答案：
D
解析：
本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，以及空间中直线与直线的位置关系，解决此类问题关键是熟练掌握线面垂直的性质定理与三垂线定理．
由题意得可以分两种情况讨论：
当直尺所在直线与地面垂直时；当直尺所在直线若与地面不垂直时，再分别借助于线面垂直的性质定理与三垂线定理得到答案．
解：
由题意得可以分两种情况讨论：
当直尺所在直线与地面垂直时，则地面上的所有直线都与直尺垂直，则底面上存在直线与直尺所在直线垂直；
当直尺所在直线若与地面不垂直时，则直尺所在的直线必在地面上有一条投影线，在平面中一定存在与此投影线垂直的直线，由三垂线定理知，与投影垂直的直线一定与此斜线垂直，则得到地面上总有直线与直尺所在的直线垂直．
教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有这样的直线与直尺所在直线垂直．
故选D．
7.答案：
B
解析：
本题考查了几何体的体积，空间中直线与直线的位置关系和二面角．
利用棱锥的体积公式和空间直线的位置关系，直接根据已知条件判断即可得到答案．
解：
在旋转的过程中，E到平面BCD的距离在变化，而底面积BCD不变，故四面体的体积有最大值和最小值，正确；
不妨设，则，当三棱锥为正三棱锥时，，，则，又，，
BE，平面BDE，所以平面BDE，而平面BDE，所以，正确；
当直线AE旋转到平面ABD内的时候，，而，此时，故错误；
由椭圆的定义可以得到AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，设P到BC到距离为d，
因为，所以点P的轨迹为椭圆．故正确；
正确命题有3个，
故选B．
8.答案：
C
解析：
本题考查了异面直线所成角的计算，考查面面平行的判定，考查棱锥的体积公式，属于中档题．过构造与平面BEF平行的平面，得出P的轨迹，从而可得出当所求角最小时对应的P的位置．
解：
，
到平面BEF的距离等于到平面BEF的距离，
取的中点M，在上取点G，使得，
连接，MG，，
则，，
平面平面BEF，
点轨迹为线段，
又，为直线CP与所成的角，
而，故当时，取得最小值，
过作，垂足为H，则，
．
故选C．
9.答案：
A
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