南通市届高三第三次调研测试.docx
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南通市届高三第三次调研测试
南通市届高三第三次调研测试
一、填空题：
本大题共小题，每小题分，共计分．
．设复数（，为虚数单位）．若，则的值是▲．
．已知集合，，则▲．
．某人随机播放甲、乙、丙、丁首歌曲中的首，则甲、乙首歌曲至少有首被播放
的概率是▲．
．右图是一个算法流程图，则输出的的值是▲．
．为调查某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法
抽取一个容量为的样本．其中大一年级抽取人，大二年级抽取人．
若其他年级共有学生人，则该校学生总人数是▲．
．设等差数列的前项和为．若公差，，则的值是▲．
．在锐角△中，，．若△的面积为，则的长是▲．
．在平面直角坐标系中，若双曲线（）经过抛物线的焦点，则该双曲线的离心率是▲．
．已知圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则这个圆锥的高为▲．
．若直线为曲线的一条切线，则实数的值是▲．
．若正实数满足，则的最小值是▲．
．如图，在直角梯形中，∥，，，．
若分别是线段和上的动点，则的取值范围是▲．
．在平面直角坐标系中，已知点，点，为圆上一动点，
则的最大值是▲．
．已知函数若函数恰有个不同的零点，则实数
的取值范围是▲．
二、解答题：
本大题共小题，共计分．
．（本小题满分分）
已知函数（）图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
且经过点．
（）求函数的解读式；
（）若角满足，，求角的值．
．（本小题满分分）
如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面⊥平面，，
，分别为棱，的中点．
求证：
（）∥平面；
（）⊥平面．
．（本小题满分分）
在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，且经过点．
（）求椭圆的标准方程；
（）已知椭圆的弦过点，且与轴不垂直．若为轴上的一点，，求的值．
．（本小题满分分）
如图，半圆是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径的长为百M．
为了保护景点，基地管理部门从道路上选取一点，修建参观线路，且，
，均与半圆相切，四边形是等腰梯形．设＝百M，记修建每百M参
观线路的费用为万元，经测算
（）用表示线段的长；
（）求修建该参观线路的最低费用．
．（本小题满分分）
已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，，正整数组
（）．
（）若，求的值；
（）若数组中的三个数构成公差大于的等差数列，且，
求的最大值；
（）若，，试写出满足条件的一个数组
和对应的通项公式．（注：
本小问不必写出解答过程）
．（本小题满分分）
已知函数（），记的导函数为．
（）证明：
当时，在上单调递增；
（）若在处取得极小值，求的取值范围；
（）设函数的定义域为，区间，若在上是单调函数，
则称在上广义单调．试证明函数在上广义单调．
数学Ⅱ（附加题）
．【选做题】本题包括、、、四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
．[选修：
几何证明选讲]（本小题满分分）
如图，已知为圆的一条弦，点为弧的中点，过点任作两条弦，，
分别交于点，．
求证：
．
．[选修：
矩阵与变换]（本小题满分分）
已知矩阵，点在对应的变换作用下得到点，求矩阵的特征值．
．[选修：
坐标系与参数方程]（本小题满分分）
在极坐标系中，已知圆的圆心在极轴上，且过极点和点，求圆的极坐标
方程．
．[选修：
不等式选讲]（本小题满分分）
已知，，，是正实数，且，求证：
．
【必做题】第、题，每小题分，共计分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
．（本小题满分分）
如图，在四棱锥中，平面，四边形是直角梯形，
，，．
（）求二面角的余弦值；
（）设是棱上一点，是的中点，若与平面所成角的正弦值为，求线段的长．
．（本小题满分分）
已知函数（，）．设为的导数，．
（）求，；
（）猜想的表达式，并证明你的结论．
答案
．【答案】
．【答案】
．【答案】
．【答案】
．【答案】
．【答案】
．【答案】
．【答案】
．【答案】
．【答案】
．【答案】
．【答案】
．【答案】
．【答案】
．【解】（）由条件，周期，
即，所以，即．……分
因为的图象经过点，
所以，所以，
所以．……分
（）由，
得，……分
即，
所以，即．……分
因为，所以或．……分
．【证】（）因为，分别为棱，的中点，
所以∥，……分
又因为底面是矩形，所以∥，
所以∥．……分
又平面，平面，
所以∥平面．……分
（）因为，为的中点，
所以⊥．……分
因为平面⊥平面，
又平面∩平面，⊥，平面，
所以⊥平面．……分
又平面，所以⊥．……分
因为，平面，，
所以⊥平面．……分
．【解】（）方法一：
由题意，得……分
解得
所以椭圆的标准方程为．……分
方法二：
由题意，知，
所以．……分
又，，所以，
所以椭圆的标准方程为．……分
（）方法：
设直线的方程为．
①若时，，，所以；……分
②若≠时，，，
的中点为，代入椭圆方程，整理得
，
所以，
所以，……分
所以，
所以的垂直平分线方程为．
因为，所以点为的垂直平分线与轴的交点，
所以，
所以．……分
因为椭圆的左准线的方程为，离心率为，
由，得，
同理．
所以．……分
所以．
综上，得的值为．……分
方法：
设，，的中点为，
①若直线与轴重合，；……分
②若直线不与轴重合，
设，，的中点为，
由得，
所以，
所以直线的斜率为，……分
所以的垂直平分线方程为．
因为，所以点为的垂直平分线与轴的交点，
所以，所以．……分
同方法一，有，……分
所以．
综上，得的值为．……分
方法：
①若直线与轴重合，．……分
②若直线不与轴重合，设，，
则的中点为，
所以的垂直平分线方程为．分
令，得
．
所以．……分
同方法一，有，……分
所以．
综上，得的值为．……分
．【解】设与半圆相切于点，则由四边形
是等腰梯形知，＝，以所在
直线为轴，所在直线为轴，建立如图
所示的平面直角坐标系．
（）方法一：
由题意得，
点的坐标为，……分
设直线的方程为（），
即．
因为直线与半圆相切，
所以圆心到直线的距离为，解得．……分
代入可得，点的坐标为．……分
所以，
即（）．……分
方法二：
设切圆于，连结，
过点作，垂足为．
因为，，
，
所以△≌△，……分
所以．
由，……分
所以（）．……分
（）设修建该参观线路的费用为万元．
①当，，
由，则在上单调递减．
所以当时，取最小值为；……分
②当时，，
所以，……分
因为，所以，
且当时，；当时，，
所以在上单调递减；在上单调递增．
所以当时，取最小值为．
由①②知，取最小值为．……分
答：
（）的长为百M；
（）修建该参观线路的最低费用为万元．……分
．【解】（）由条件，知即
所以．……分
因为，所以．……分
（）由，即，
所以，
同理可得，．……分
因为成等差数列，
所以．
记，则有，
因为，所以，故，即．……分
所以．
记，则为奇数，
又公差大于，所以，……分
所以，即，
当时，取最大值为．……分
（）满足题意的数组，
此时通项公式为，．
例如：
，．……分
．【解】（）当时，，
所以，即，……分
所以，
所以在上单调递增．……分
（）因为，所以．
①当时，，所以函数在上单调递增．
若，则；若，则，
所以的单调增区间是，单调减区间是，
所以在处取得极小值，符合题意．……分
②当时，，所以函数在上单调递减．
若，则；若，则，
所以的单调减区间是，单调增区间是，
所以在处取得极大值，不符合题意．……分
③当时，，使得，即，
但当时，，即，
所以函数在上单调递减，所以，
即函数在单调递减，不符合题意．
综上所述，的取值范围是．……分
（）记（），
①若，注意到，则，即．……分
当时，
．
所以，函数在上单调递增．……分
②若，当>时，<．
所以，函数在上单调递减，
综上所述，函数在区间上广义单调．……分
数学Ⅱ（附加题）
．
．[选修：
几何证明选讲]
【证】连结，，，．
因为∠∠，
又点为弧的中点，所以∠∠，
所以∠∠．……分
又∠∠，
所以∠∠∠∠∠∠，
所以，，，四点共圆．
所以．……分
．[选修：
矩阵与变换]
【解】由题意，，即
解得，，
所以矩阵．……分
矩阵的特征多项式为．
令，得，，
所以的特征值为和．……分
．[选修：
坐标系与参数方程]
【解】方法一：
因为圆心在极轴上且过极点，
所以设圆的极坐标方程为，……分
又因为点在圆上，
所以，解得．
所以圆的极坐标方程为．……分
方法二：
点的直角坐标为，
因为圆过点，，
所以圆心在直线为上．
又圆心在极轴上，
所以圆的直角坐标方程为．……分
所以圆的极坐标方程为．……分
．[选修：
不等式选讲]
【证】因为，，，是正实数，且，
所以．①……分
同理，②
，③
，④
将①②③④式相加并整理，即得．……分
．【解】（）以为坐标原点，建立如图所示空间
直角坐标系，
则，，，，
所以，，．
设平面的法向量为，
由，，
得且．
取，得，，
所以是平面的一个法向量．……分
因为平面，取平面的一个法向量．
设二面角的大小为，所以，
由图可知二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为．……分
（）由（）知，则，．
设（），则，
所以．
易知平面，所以是平面的一个法向量．
设与平面所成的角为，
所以，……分
即，得或（舍）．
所以，，
所以线段的长为．……分
．【解】（），
．……分
（）猜想，．……分
证明：
①当时，由（）知结论正确，
②假设当，时结论正确，
即有．
当时，
．
所以当时结论成立．
由①②得，对一切结论正确．……分
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