小学奥数平面几何五种面积模型.docx
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小学奥数平面几何五种面积模型
小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）
目标：
熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型），掌握五大面积模型的各种变形
知识点拨
一、等积模型
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
如右图
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图；
反之，如果，则可知直线平行于．
④等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．
二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．
共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比．
如图在中，分别是上的点如图（或在的延长线上，在上），
则
图图
三、蝶形定理
任意四边形中的比例关系（“蝶形定理”）：
①或者②
蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．
梯形中比例关系（“梯形蝶形定理”）：
①
②；
③的对应份数为．
四、相似模型
（一）金字塔模型
（二）沙漏模型
①；
②．
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；
⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；
⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：
三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．
相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．
在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．
五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）
在三角形中，，，相交于同一点，那么．
上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为和的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.
典型例题
【例1】如图，正方形ABCD的边长为6，1.5，2．长方形EFGH的面积为．
【解析】连接DE，DF，则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍．
三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，
所以长方形EFGH面积为33．
【巩固】如图所示，正方形的边长为厘米，长方形的长为厘米，那么长方形的宽为几厘米？
【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．
证明：
连接．（我们通过把这两个长方形和正方形联系在一起）．
∵在正方形中，边上的高，
∴（三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半）
同理，．
∴正方形与长方形面积相等．长方形的宽（厘米）．
【例2】长方形的面积为36，、、为各边中点，为边上任意一点，问阴影部分面积是多少？
【解析】解法一：
寻找可利用的条件，连接、，如下图：
可得：
、、，而
即；
而，．
所以阴影部分的面积是：
解法二：
特殊点法．找的特殊点，把点与点重合，
那么图形就可变成右图：
这样阴影部分的面积就是的面积，根据鸟头定理，则有：
．
【巩固】在边长为6厘米的正方形内任取一点，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与点连接,求阴影部分面积．
【解析】（法1）特殊点法．由于是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设点与点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的和，所以阴影部分的面积为平方厘米．
（法2）连接、．
由于与的面积之和等于正方形面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形面积的，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形面积的，所以阴影部分的面积为平方厘米．
【例3】如图所示，长方形内的阴影部分的面积之和为70，，，四边形的面积为．
【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形、和四边形的面积之和，以及三角形和的面积之和，进而求出四边形的面积．
由于长方形的面积为，所以三角形的面积为，所以三角形和的面积之和为；
又三角形、和四边形的面积之和为，所以四边形的面积为．
另解：
从整体上来看，四边形的面积三角形面积三角形面积白色部分的面积，而三角形面积三角形面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即，所以四边形的面积为．
【巩固】如图，长方形的面积是36，是的三等分点，，则阴影部分的面积为．
【解析】如图，连接．
根据蝶形定理，，所以；
，所以．
又，，所以阴影部分面积为：
．
【例4】已知为等边三角形，面积为400，、、分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．（丙是三角形）
【解析】因为、、分别为三边的中点，所以、、是三角形的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形和三角形的面积都等于三角形的一半，即为200．
根据图形的容斥关系，有，
即，所以．
又，所以．
【例5】如图，已知，，，，线段将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形的面积是．
【解析】连接，．
根据题意可知，；；
所以，，，，，
于是：
；；
可得．故三角形的面积是40．
【例6】如图在中，分别是上的点，且，，平方厘米，求的面积．
【解析】连接，，
，所以，设份，则份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面积是平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：
共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比．
【巩固】如图，三角形中，是的5倍，是的3倍，如果三角形的面积等于1，那么三角形的面积是多少？
【解析】连接．
∵
∴
又∵
∴，∴．
【巩固】如图，三角形ABC被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，，，，乙部分面积是甲部分面积的几倍？
【解析】连接．
∵，
∴，
又∵，
∴，∴，．
【例7】如图在中，在的延长线上，在上，且，
，平方厘米，求的面积．
【解析】连接，，
所以，设份，则份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面积是平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：
共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比
【例8】如图，平行四边形，，，，，平行四边形的面积是，求平行四边形与四边形的面积比．
【解析】连接、．根据共角定理
∵在和中，与互补，
∴．
又，所以．
同理可得，，．
所以．
所以．
【例9】如图所示的四边形的面积等于多少？
【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.
我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：
把三角形绕顶点逆时针旋转，使长为的两条边重合，此时三角形将旋转到三角形的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.
因此，原来四边形的面积为.（也可以用勾股定理）
【例10】如图所示，中，，，，以为一边向外作正方形，中心为，求的面积．
【解析】如图，将沿着点顺时针旋转，到达的位置．
由于，，所以．而，
所以，那么、、三点在一条直线上．
由于，，所以是等腰直角三角形，且斜边为，所以它的面积为．
根据面积比例模型，的面积为．
【例11】如图，以正方形的边为斜边在正方形内作直角三角形，，、交于．已知、的长分别为、，求三角形的面积．
【解析】如图，连接，以点为中心，将顺时针旋转到的位置．
那么，而也是，所以四边形是直角梯形，且，
所以梯形的面积为：
（）．
又因为是直角三角形，根据勾股定理，，所以（）．
那么（），
所以（）．
【例12】如下图，六边形中，，，，且有平行于，平行于，平行于，对角线垂直于，已知厘米，厘米，请问六边形的面积是多少平方厘米？
【解析】如图，我们将平移使得与重合，将平移使得与重合，这样、都重合到图中的了．这样就组成了一个长方形，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形的面积为平方厘米，所以六边形的面积为平方厘米．
【例13】如图，三角形的面积是，是的中点，点在上，且，与交于点．则四边形的面积等于．
【解析】方法一：
连接，根据燕尾定理，，,
设份，则份，份，份，如图所标
所以
方法二：
连接，由题目条件可得到，
，所以，
，
而．所以则四边形的面积等于．
【巩固】如图，长方形的面积是平方厘米，，是的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?
【解析】设份，则根据燕尾定理其他面积如图所示平方厘米.
【例14】四边形的对角线与交于点（如图所示）．如果三角形的面积等于三角形的面积的，且，，那么的长度是的长度的_________倍．
【解析】在本题中，四边形为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：
⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件，这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作垂直于，垂直于，面积比转化为高之比．再应用结论：
三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题．
解法一：
∵，∴，∴．
解法二：
作于，于．
∵，∴，∴，
∴，∴，∴．
【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，
求：
⑴三角形的面积；⑵？
【解析】⑴根据蝶形定理，，那么；
⑵根据蝶形定理，．
【例15】如图，平行四边形的对角线交于点，、、、的面积依次是2、4、4和6．求：
⑴求的面积；⑵求的面积．
【解析】⑴根据题意可知，的面积为，那么和的面积都是，所以的面积为；
⑵由于的面积为8，的面积为6，所以的面积为，
根据蝶形定理，，所以，
那么．
【例16】如图，长方形中，，，三角形的面积为平方厘米，求长方形的面积．
【解析】连接，．
因为，，所以．
因为，，所以平方厘米，所以平方厘米．因为，所以长方形的面积是平方厘米．
【例17】如图，正方形面积为平方厘米，是边上的中点．求图中阴影部分的面积．
【解析】因为是边上的中点，所以，根据梯形蝶形定理可以知道
，设份，则份，所以正方形的面积为份，份，所以，所以平方厘米．
【巩固】在下图的正方形中，是边的中点，与相交于点，三角形的面积为1平方厘米，那么正方形面积是平方厘米．
【解析】连接，根据题意可知，根据蝶形定理得（平方厘米），（平方厘米），那么（平方厘米）．
【例18】已知是平行四边形，，三角形的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是平方厘米．
【解析】连接．
由于是
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