勾股定理课堂实录.docx
《勾股定理课堂实录.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《勾股定理课堂实录.docx（19页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
勾股定理课堂实录
课堂实录
版本：
人教版八年级下册
课题：
18.1勾股定理（第1课时）
《18.1勾股定理》课堂实录
——人教版八年级下册
师:
我们知道，数学是一门基础学科，它用概念、公式、定理演绎着数学的神奇和魅力，今天我们在一起继续学习一个古老而著名的数学定理。
首先请大家欣赏图片（屏显）：
这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会，在这个会场上到处可以看到一个像旋转的风车一样的图案，这就是左下角——大会的会徽，请大家仔细观察：
这个会徽是由哪些图形组成的？
生1:
三角形和正方形。
师:
什么三角形？
生2:
直角三角形。
师:
这些三角形和正方形分别在什么位置？
是怎么摆放的？
生:
四个直角三角形围成一个正方形，正方形被它们包围着。
师:
好！
请坐！
那么为什么选它作为大会的会徽呢？
这里蕴藏着一个伟大的发现，今天我们就来学习这个发现：
勾股定理。
（板书18.1勾股定理）我国是最早发现勾股定理的国家之一，请大家阅读下一段资料，谁来读一读？
生:
（生读）中国最早的一部数学著作《周髀算经》中记载着周公与商高的一段对话，周公问：
“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：
天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地的数据呢？
”商高回答说：
“数的产生来源于对方和圆的这些形体的认识。
其中有一条原理：
当直角三角形“矩”（即直角）得到的一条直角边“勾”等于3，另一条直角边“股”等于4的时候，那么它的斜边“弦”必定是5，这个原理在大禹治水的时候就总结出来的呵！
”
师:
在资料中：
商高与周公谈到的是什么三角形？
生:
直角三角形。
师:
谈到的是直角三角形的什么关系？
生:
三边关系。
师:
好！
请坐！
那么直角三角形三边到底有怎样的关系呢？
这节课我们就来共同探究这个问题。
我们把直角三角形放在网格中，假设网格中的每一个小正方形的边长为1，那么直角三角形两直角边的长度分别为多少？
生:
两直角边的长度都是2。
师:
现在我们以三边为边向外做正方形，你能得出三个正方形的面积吗？
谁有结果？
生1:
正方形A的面积等于4。
师:
继续！
生2:
正方形B的面积等于4，正方形C的面积是8。
师:
你是怎样求C的面积的？
生:
我把它构造成两个直角三角形。
师:
好！
你上前边来给大家讲一讲！
生:
（生上台讲解）将正方形C沿着中间那条对角线分开，得到两个直角三角形。
他们的底边是4，高分别都是2，然后用面积进行计算。
师:
很好！
请回！
这种计算面积的方法是用的割，还是补？
生:
（齐）割。
师:
你能用补的方法吗？
谁来说一下？
生:
（生上台讲解）围着正方形C用这四条边为边和这四个直角三角形组成一个大正方形，用大正方形的面积减去这四个直角三角形的面积就等于C的面积。
师:
C的面积为多少？
生:
8。
师:
谁同意？
生:
（举手）。
师:
好！
请回！
那么三个正方形的面积有怎样的关系呢？
生:
正方形A的面积加上B的面积等于C的面积。
师:
那么右图中的直角三角形是否也有这样的结论呢？
我们看：
这个直角三角形两直角边分别为多少？
生:
上边那个直角边是3，左边那个直角边是4。
师:
我们用同样的方法向外作正方形，你能计算三个正方形的面积吗？
生:
正方形A的面积是9，B的面积是16，C的面积是25。
师:
你怎么求的C的面积？
生:
（生上台讲解）用大正方形的面积减去4个直角三角形的面积，结果等于25。
师:
你用的是割还是补？
生:
（齐）补。
师:
那么怎么用割的方法呢？
生:
。
。
。
。
。
（思考）
师:
谁能用割的方法求正方形C的面积？
生:
。
。
。
。
。
（思考）
师:
好！
下面组长组织以小组共同探讨一下正方形C的面积用割的方法怎么求？
（小组探讨，教师巡视指导）
师:
哪一组有结果了？
谁来说一下？
生:
（生上台讲解）我们组认为：
作这垂线得到这样的一个直角三角形，再用同样的方法作三个这样的直角三角形，然后算出些直角三角形的面积，然后再加上中间小正方形的面积就算出来了。
师:
算出什么了？
生:
正方形C的面积。
师:
等于多少？
生:
25。
师:
你能告诉老师你是怎么想的吗？
生:
我是由2002年数学家大会的会徽想到的。
师:
好！
请回！
他由2002年大会的会徽得到的启发，大家看一下是不是这样？
（屏显作辅助线）
生:
（齐）是。
师:
那么三个正方形的面积有怎样的关系呢？
生:
A的面积加上B的面积等于C的面积。
师:
现在老师把正方形移开，假设这个直角三角形两直角边为a、b，斜边为c，那么a、b、c之间有怎样的关系呢？
你猜猜看！
生:
a2+b2=c2
师:
刚才我们把正方形移开后得到的是什么样的三角形？
生:
等腰直角三角形。
师:
我们由左图等腰直角三角形过渡到右图边长为整数边的一般的直角三角形的时候我们同样能得出：
a2+b2=c2，那么如果直角边为小数是否也有这样的结论呢？
你猜猜看，你觉得会怎么样？
生:
我认为如果a、b、c分别为小数的话，这个结论会依然成立。
师:
什么结论？
生:
a2+b2=c2
师:
你能用命题的形式来叙述吗？
生:
两直角边的平方和等于斜边的平方。
师:
（师板书，师生修改补充）如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2，那么这样猜想成立吗？
我们首先验证一下。
（师用几何画板课件演示）看△ABC，我们测量一下∠C的度数和三边的长度，然后计算两直角边的平方和和斜边的平方，请大家注意观察数据，通过这组数据你得出什么结论？
生1:
a2+b2=c2
师:
还有补充吗?
生1:
没有。
师:
谁有补充？
生2:
在直角三角形中，a2+b2=c2。
师:
非常好！
现在我不断改变三边长度的大小，请大家仔细观察，你还能得到什么信息？
得到什么结论？
生:
在直角三角形中，a2+b2=c2永远成立。
师:
谁同意？
生:
（举手）。
师:
刚才我在不断改变三边长度的时候，∠ACB变了吗？
生:
（齐）没有。
师:
等于多少？
生:
（齐）90°。
师:
还有什么没变？
生:
a2+b2=c2。
师:
通过验证我们就得出来了a2+b2=c2，在这个命题中必须保证是什么三角形？
生:
（齐）直角三角形。
师:
直角三角形两条直角边分别用什么表示？
生:
（齐）a、b，
师:
还有呢？
生:
斜边为c，
师:
那么？
生:
（齐）a2+b2=c2。
师:
这个结论是否正确呢？
我们靠观察、猜想和验证是远远不够的，我们需要对它进行严格的证明，怎么证呢？
我国古代数学家赵爽想了一个非常巧妙地证明方法，下面请大家看这个图形，（屏显）熟悉吗？
生:
（齐）熟悉。
师:
由这个图形你能得到什么启发？
生:
这两个小图形的面积和等于那个大的那个图形的面积。
师:
这三个都是什么图形？
生:
都是正方形。
师:
那么怎么表述比较好呢？
生:
两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积。
师:
这样给我们一个启示：
如果我们能够把这两个正方形拼接成大的正方形问题就得证了，那么怎么拼呢？
现在老师这两个小正方形放在一起，（屏显）蓝颜色的和黄颜色的，你能用剪拼的方法将左图变成右图吗？
请大家仔细观察：
左图是两个正方形，右图包含什么图形？
生:
四个直角三角形和一个正方形。
师:
首先我们要注意：
这个大正方形的边长是直角三角形的什么边？
生:
（齐）斜边。
师:
下面我们就要想办法怎么拼？
我有个建议：
在拼剪之前要注意（先想好）怎样进行合理地分割？
分割好之后用铅笔把痕迹画出来，然后再剪，现在你用手中的学具试试看。
（生动手操作，教师巡视）
我发现有的同学已经把痕迹画好了，可是有一部分同学还不知道从哪入手，下面我们进行小组讨论:
组长组织，共同探讨一下到底应该怎样进行合理的分割？
好，开始！
生:
小组讨论
师:
好了！
下面大家看屏幕，有的组已经拼剪出来了，而又组还在探讨，我给你一个简单的提示：
大家注意看，我作出这样两个辅助线，然后我把这条线擦掉，这样的话呢我从左图到右图保留了一个小黄颜色的正方形，（这个正方形）分割到了吗？
生:
分割到了。
师:
分割到了没有？
生:
分割到了。
师:
然后我继续再分割，分割谁？
生:
两个长方形。
师:
这个长方形和这个长方形对不对？
生:
对。
师:
谁告诉我怎么添（辅助线）呢？
痕迹在哪？
张颖！
生:
那个两个长方形的对角线。
师:
怎么连？
按哪个方向？
给老师比划一下。
生:
这样向上，斜的。
师:
注意看：
这个方向是吗？
同意吗？
生:
不同意。
师:
好！
你请坐！
谁来说一下：
沿着哪个方向？
冯伟！
生:
向下的。
师:
这个方向，那么这个长方形呢？
生:
向上的。
师:
好！
向上的，请坐！
然后怎么办？
生:
剪下来。
师:
剪谁？
生:
对角线。
师:
沿着对角线把这个剪下来对吗？
生:
对。
师:
再剪谁？
生:
右边那个。
师:
这个三角形，然后再进行拼接对吗？
生:
对。
师:
好！
动手迅速完成以上拼图。
哪组有结果了？
举手和老师示意一下，非常好！
李莹莹！
你来一下看你们小组是怎么拼的？
咱们选一个代表啊。
生:
这个没剪断。
师:
摆成原来的就行。
生:
直接拼可以吗？
师:
直接拼可以。
同意吗？
生:
同意。
师:
好！
请回！
一开始她在找原来的图形，由原来的图形进行适当的分割可以得到这样的图形。
好！
下面大家注意看黑板，我把这个过程在给大家演示一下。
合理地分割，然后我把这个三角形移动位置对不对？
生:
对。
师:
再移动哪个？
生:
下边那个。
师:
这样就完整地把这个图形拼接完成，大家注意看：
左图两个正方形我们看这个正方形边长（是）多少？
生:
a。
师:
这个正方形边长为（多少）？
生:
b。
师:
谁能告诉老师他的面积是多少？
刘泽鹏！
生:
a2+b2。
师:
很好！
右图这个正方形边长为多少？
生:
c。
师:
它的面积为（多少）？
生:
c2。
师:
由左图完整的拼接到了右图，我们顺利地就能得出，得出什么（结论）？
苏雅婷！
生:
a2+b2=c2。
师:
好！
坐下！
这个命题我们就完整地证明完了，有的同学要问：
老师，这就是证明吗？
现在我要向大家说明的是：
几何中如果图形经过剪、拼之后，没有缝隙、不重叠，那么剪、拼前后两个图形的面积相等，所以a2+b2=c2。
那么这个命题我们就顺利地证完了，经过证明为正确的命题称为什么？
生:
真命题。
师:
叫什么呀？
生:
定理。
师:
而且我国古代呢人们把手臂弯曲，把这段叫勾；这段叫股，那么在直角三角形中我们把较短的直角边为勾；较长的直角边叫股，斜边叫弦，所以这个订立大家说叫什么？
生:
勾股定理。
师:
我们就完成了它的证明过程。
刚才这种证法呢是我国古代数学家赵爽想出来的，所以在他的证明过程当中有一个图形是很典型的，大家注意看这个图形，我们把这个图形称为“赵爽弦图”，这种证法叫“赵爽弦图证法”，赵爽的这种证法可谓是别具匠心，他用几何图形之间的割、补、拼、接来证明代数式之间的恒等关系，首创了数形结合的思想，这种思想在人类数学史上起着非常重要的作用，正因为如此，我们在2002年国际数学家大会上，以“赵爽弦图“作为大会的会徽，以此来纪念我国数学家对人类的贡献。
2000多年来，人们对勾股定理的证明非常感兴趣，据资料记载：
到目前为止已有500多种证法，其中我国清代数学家华衡芳就提供了20种证法，在赵爽证明之后，我国三国时期的数学家刘徽也提供了一种非常巧妙地证明方法，他利用的也是几何图形的割、补、拼、接，我们大家来共同欣赏一下，看这个图形，它的面积为多少？
吴佳琛！
。
生:
a2+b2。
师:
很好！
现在我找到一个以a、b为直角边的直角三角形，然后以这个直角三角形的斜边为边做正方形，适当地移动正方形外部三角形的位置，注意观察，下面知道要移动哪个三角形吗？
生:
知道。
师:
得到斜边为c的正方形，那么这个图形的面积很自然等于多少？
生:
c2。
师:
我们知道，在拼接前后仍然没有缝隙，也不重叠，谁能得出什么结论？
司金虎！
生:
a2+b2=c2。
师:
很好！
这种方法是刘徽发现的，而且他给这个证法起了很巧妙的一个名字“青朱出入图”，我们在证明的时候就用了几何图形，很简单、直观地拼、接来证明数学规律，把这种方法呢叫“无字证明”，关于勾股定理的其它证法请同学们课下上网搜集进行整理。
好！
勾股定理在历史上有很多记载，谁来读一下？
赵宇欣！
生:
我国是最早了解勾股定理的国家之一。
早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，所以在我国勾股定理又叫商高定理。
师:
很好！
通过这段资料你知道什么了？
史新然！
生:
勾股定理叫做商高定理。
师:
很好！
请坐！
还知道什么了？
刘金跃！
生:
我国是最早了解勾股定理的国家之一。
师:
很好！
在《周髀算经》中有“勾三、股四、弦五”的说法对吧？
生:
对。
师:
继续！
李雪姣你来读一下。
生:
在西方，希腊数学家欧几里德（Euclid，公元前三百年左右）在编著《几何原本》时，认为这个定理是毕达哥拉斯最早发现的，所以他就把这个定理称为“毕达哥拉斯定理”，以后就流传开了。
毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊著名数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年。
相传，毕达哥拉斯学派找到了勾股定理的证明后，欣喜若狂，杀了一百头牛祭神，由此，勾股定理又称“百牛定理”。
师:
很好！
请坐！
通过这段资料你知道什么了？
梁亚兴！
生:
我知道了勾股定理又叫“毕达哥拉斯定理”，还叫“百牛定理”，而且我们国家发现这个定理要比希腊国家要早。
师:
早多少年？
生:
早五百多年。
师:
很好！
请坐！
我们国家比西方“古希腊”这个国家早五百年发现勾股定理，这说明什么？
张曼！
生:
说明了我国科学的伟大。
师:
我国科学的伟大，很好！
尹倩！
生:
我认为是我国古代人民的智慧非常伟大。
师:
非常伟大！
很有智慧对吧？
生:
对。
师:
很好！
请坐！
（这）说明我国古代（人民）很有智慧，而且很聪明，很早就发现了勾股定理，那么既然勾股定理接触到的是直角三角形的三边关系，那么你认为用勾股定理可以解决什么样的问题呢？
谁来说一下？
用勾股定理可以解决什么样的问题呢？
司高鹏！
生:
没想好呢。
师:
没想好呢，请坐！
苏航！
生:
没想好呢。
师:
没想好呢，请坐！
吴丽丽，你来说！
生:
可以解决我们不知道的数据，比如说：
直到两个数据然后可以由此构造出一个直角三角形可以得到第三边的长度。
师:
非常好！
构造直角三角形已知两边可以求第三边对不对？
生:
对。
师:
好！
看下一道题，谁能迅速地说出来。
张涛！
第1题结果？
生:
第1题x=8。
师:
第2题呢？
生:
第2题等于13。
师:
很好！
请坐！
在计算这个题的时候应该注意什么问题？
谁知道？
宋旭！
生:
a2+b2=c2。
师:
a2+b2=c2，a是什么？
生:
直角边。
师:
是直角边吗？
a一定是直角边吗？
说了没有？
你说！
生:
我们必须注意哪条边是直角边？
哪条边是斜边？
师:
对不对？
生:
对。
师:
很好！
请坐！
没有固定a永远是直角边，但是我们要注意在三角形找好直角边和什么？
生:
斜边。
师:
继续！
第1题有结果吗？
吕博文！
你来说一下。
生:
我认为第1题不对。
师:
为什么呀？
生:
因为它没有说明哪条是直角边？
师:
谁同意？
好！
请坐！
第2道题：
何时b2=a2+c2？
王猛！
生:
b为斜边，a和c是直角边的时候b2=a2+c2。
师:
谁为斜边？
生:
b。
师:
同意吗？
生:
同意。
师:
好！
请坐！
第3题：
若∠A=90°时三边关系又是怎样的呢？
王涛！
生:
a2=b2+c2。
师:
很好！
请坐！
通过这个题给你什么启发？
我们做题的时候应该注意什么问题？
张再！
你来说！
生:
我们必须注意哪个三角形的三边哪个边是斜边？
哪个边是直角边？
师:
对不对？
生:
对。
师:
好！
请坐！
继续！
快速抢答！
冯满文，第1个！
生:
（结果）为20。
师:
怎么计算的？
生:
8+12再开方。
师:
8+12再开方。
生:
就是8+12。
师:
开方吗？
生:
不开方。
师:
第2题！
请坐！
第2题，王文！
生:
25。
师:
怎么计算的？
生:
用50减去25。
师:
你为什么用50减去25啊？
生:
因为50是斜边（上正方形）的面积，25是长直角边（上正方形）的面积。
师:
很好！
请坐！
第3题！
杨慧玲！
生:
36。
师:
对吗？
生:
对。
师:
请坐！
通过这道题给我们一个结论，什么结论？
在直角三角形中，以三条边为边长向外做正方形，得出什么结论？
冯双！
生:
两个直角边，以两个直角边为边长的正方形的面积和等于（以）斜边为边长的正方形的面积。
师:
非常好！
请坐！
请大家注意看屏幕，（这是一个）正方形，紫颜色的，我向外做这样的一个图形，直角三角形（以）两个直角边为边做两个正方形，通过观察这个图形，有什么样的等量关系呢？
李起航你来说。
生:
两个小正方形的面积（之和）等于大正方形的面积。
师:
对不对？
生:
对。
师:
好！
请坐！
继续！
这个大的紫颜色的正方形的面积等与哪些正方形面积之和？
于志永！
生:
等于上边又增加四个小正方形的面积之和。
师:
这四个对不对？
生:
是。
师:
她说得对吗？
生:
对。
师:
好！
请坐！
还等于哪两个正方形的面积之和？
尹术权！
生:
等于那个红的（正方形）还有那蓝的（正方形面积之和）。
师:
红的和蓝的，这两个？
生:
不是。
那个。
。
。
。
。
。
师:
这两个对不对？
生:
对。
师:
很好！
请坐！
继续！
这个大的紫颜色的正方形的面积等与哪些正方形面积之和？
冯强！
生:
又增加出来的8个正方形面积和。
师:
哪8个？
外围的对吗？
生:
嗯，对！
师:
很好！
请坐！
其实还有一些等量关系对不对？
生:
对！
师:
我们已经揭示了，我继续这样做下去，漂亮吗？
生:
漂亮。
师:
像什么呀？
生:
树。
师:
所以我们把它就叫勾股树，现在我让这棵树运动起来，当我运动到这个位置的时候，下边这个大的绿颜色的正方形的面积等于哪些正方形面积之和？
知道吗？
生:
知道。
师:
谁知道？
谁能用语言来表达一下？
梁小涛你来说！
生:
那个大正方形的面积等与外围最小那些正方形面积之和。
师:
外围也就是我们这个勾股树的哪部分？
生:
最外边。
师:
最外边树梢上的对不对？
生:
对。
师:
好！
请坐！
等于外边这些小正方形面积之和，大家注意我在运动（勾股树），在运动过程中你发现了什么？
发现了什么？
谁知道？
你看到什么了？
你来说一下。
生:
直角三角形。
师:
哪个直角三角形？
生:
两个大的正方形和上面的两个小的正方形所组成的一个直角三角形，
师:
好！
来时给你一个提醒：
在这个运动过程当中谁没动？
生:
底下最大的正方形。
师:
很好！
请坐！
大的正方形面积没动，也就是说这棵树无论在哪个位置树梢上的正方形面积的和永远等于谁的面积？
生:
最大的（面积）
师:
树根上的大正方形的面积，我们在运动的时候有一个位置非常特殊，大家注意观察，特殊吗？
生:
特殊。
师:
特殊在哪？
怎么特殊啊？
李璞！
生:
那是一个等腰的直角三角形。
师:
哦这是一个等腰直角三角形，我们观察这棵树？
生:
是对称的。
师:
非常好！
是怎么样的？
生:
对称的。
师:
这也就体验出了数学所蕴含的一种对称的美、和谐的美，下面我让大家心上一个非常漂亮的勾股树，漂亮吗？
生:
漂亮。
师:
回去之后咱们大家注意钻研一下这棵勾股树，你也能够画出来，啊！
下面我们看一下这节课呢我们通过在一起发现、猜想、验证、证明了勾股定理，而且我们是从等腰直角三角形开始到一般的直角三角形，体现出了一种思想：
有特殊到一般，这也是我们认识事物的一种方法，这节课呢大家回过头来想一想：
通过本课学习你有什么收获？
我有几个关键词提醒大家：
从知识上、从方法上、从情感上，谁来说一下？
畅所欲言，李莹莹你来说。
生1:
我知道了只要肯钻研就一定会成功。
师:
噢！
好！
请坐！
王傲！
生2:
这节课我学到了数形结合的思想，能运用数形结合的思想去解决很多数学问题。
师:
非常好！
请坐！
谁还来说一下？
苏航！
生3:
我明白在数学当中有很多美需要我们认真地去探索、去发现，而且我还学习到了我国古代人民如此的聪明，我为身为中国人我感到自豪。
师:
哦！
很自豪！
很好！
还有收获吗？
你来说。
生4:
在证明勾股定理的时候我们可以用割的方法，也可以用补的方法。
师:
很好！
用割或者补的方法对不对？
生:
对。
师:
谁还有收获？
和大家分享一下，司高鹏！
生5:
勾股定理的一些其他的名称，比如：
白牛定理、毕达哥拉斯定理、商高定理。
师:
很好！
还有吗？
冯伟！
生6:
通过这节课我们运用了小组合作解决问题，所以我觉得我们应该在以后学习中（多）小组多合作一些，解决更多的问题。
师:
小组多合作一些，集体的力量是无穷的对不对？
生:
对。
师:
还有没有？
张颖！
生7:
通过这节课学习我看到了非常漂亮的勾股树，感觉到了数学所蕴含的美，更激发了我对数学探究的乐趣。
师:
很好！
数学也蕴含着一种美对不对？
生:
对。
师:
我们要认真思考、要深钻研，还有没有收获呀？
好你来说。
生8:
这节课我学习到了勾股定理，学到用这种方法解决更多的数学问题。
师:
学习到了勾股定理，用这个定理以后我们能够解决很多的数学问题，那我提个问题：
勾股定理是对于什么三角形说的？
谁知道？
大家一块告诉老师。
生:
直角三角形。
师:
举手告诉我直角三角形的什么关系？
史新然！
生:
三边关系。
师:
三边具有什么关系？
生:
a2+b2=c2。
师:
看那意思他对a很熟悉！
怎么用语言来叙述呢?
生:
如果一个直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2。
师:
所以刚才他说的a2+b2=c2前边有一个题设对不对？
生:
对。
师:
好！
请坐！
也就是两直角边的平方和等于什么？
生:
斜边的平方。
师:
今天这节课就要结束了，我和同学们一样也有很多感慨：
我国古代数学家用自己的聪明和智慧发现并证明了勾股定理，作为中国人我们倍感骄傲与自豪！
这是我们中国对人类的贡献，希望同学们能继续发扬前人的探索精神，刻苦学习！
奋发图强！
团结拼搏！
振兴中华！
好，我们看一下今天的作业：
请同学们上网搜集勾股定理的证明方法，写一篇有关勾股定理知识的小论文，用Email发给老师。
老师的邮箱是:
1974662981@好！
今天这节课就上到这！
下课！
生:
起立！
师:
同学们再见！
生:
老师再见！
师:
再见！
升级会员 