同理可得，当n≤15时，数列{Sn}单调递减；故当n15时，Sn取得最小值．
23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。
已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列。
（1）若，是否存在，有说明理由；
（2）找出所有数列和，使对一切,,并说明理由；
（3）若试确定所有的，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，请证明。
23．[解法一]
（1）由，得，．．．．．．2分
整理后，可得，、，为整数，
不存在、，使等式成立。
．．．．．．5分
（2）若，即，（*）
（ⅰ）若则。
当{}为非零常数列，{}为恒等于1的常数列，满足要求。
．．．．．．7分
（ⅱ）若，（*）式等号左边取极限得，（*）式等号右边的极限只有当时，才能等于1。
此时等号左边是常数，，矛盾。
综上所述，只有当{}为非零常数列，{}为恒等于1的常数列，满足要求。
．．．．．．10分
【解法二】设
则
（i）若d=0，则
（ii）若（常数）即，则d=0，矛盾
综上所述，有，10分
（3）
设.
，
.13分
取15分
由二项展开式可得正整数M1、M2，使得（4-1）2s+2=4M1+1,
故当且仅当p=3s,sN时，命题成立.
说明：
第（3）题若学生从以下角度解题，可分别得部分分（即分步得分）
若p为偶数，则am+1+am+2+……+am+p为偶数，但3k为奇数
故此等式不成立，所以，p一定为奇数。
当p=1时，则am+1=bk,即4m+5=3k，
而3k=（4-1）k
=
当ｋ为偶数时，存在ｍ，使４ｍ＋５＝3k成立1分
当p=3时，则am+1+am+2+am+3=bk,即3am+2-bk,
也即3（4m+9）=3k,所以4m+9=3k-1,4（m+1）+5=3k-1
由已证可知，当k-1为偶数即k为奇数时，存在m,4m+9=3k成立2分
当p=5时，则am+1+am+2+……+am+5=bk,即5am+3=bk
也即5（4m+13）=3k,而3k不是5的倍数，所以，当p=5时，所要求的m不存在
故不是所有奇数都成立.2分
17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知数列的前项和为，，且（为正整数）.
（1）求数列的通项公式；
（2）记.若对任意正整数，恒成立，求实数的最大值.
解：
（1），①
当时，.②潜在的知识与方法需求（数列与函数的关系）
由①-②，得.数学模式识别能力（
.准备知识需求（等式的性质）
又，，解得.能力需求（计算能力）
数列是首项为1，公比为的等比数列.显现的知识与方法需求（等比数列的定义）
（为正整数）.显现的知识与方法需求（等比数列的通项公式）
（2）由
（1）知，，显现的知识与方法需求（无穷等比数列各项和）
.显现的知识与方法需求（等比数列前n项和）
由题意可知，对于任意的正整数，恒有，解得.
准备知识（不等式性质）
数列单调递增，当时，数列中的最小项为，
潜在的知识与方法需求（数列与函数的关系）
必有，即实数的最大值为.数学模式识别能力（等式恒成立的条件）
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分。
已知为首项的数列满足:
.
（1）当时，求数列的通项公式；
（2）当时，试用表示数列前100项的和；
（3）当（是正整数），，正整数时，求证：
数列，
，，成等比数列当且仅当。
21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。
在直角坐标平面上的一列点，简记为。
若由构成的数列满足，其是为方向与轴正方向相同的单位向量，则长为点列。
（1）判断，是否为点列，并说明理由；
（2）若为点列，则点在点的右上方。
任取其中连续三点、、。
判断的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明；
（3）若为点列，正整数满足，求证：
21．[解]
（1），显然有，
是点列。
……3分
（2）在中，，
。
……5分
∵点在点的右上方，，
为点列，，
，则。
为钝角，为钝角三角形。
……8分
（3）[证明]，
①
②
同理③……12分
由于为点列，于是，④
由①、②、③、④可推得，……15分
，
即。
……16分
20、若有穷数列（是正整数），满足即
（是正整数，且），就称该数列为“对称数列”。
（1）已知数列是项数为7的对称数列，且成等差数列，，试写出的每一项
（2）已知是项数为的对称数列，且构成首项为50，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值？
最大值为多少？
（3）对于给定的正整数，试写出所有项数不超过的对称数列，使得成为数列中的连续项；当时，试求其中一个数列的前2008项和
【解析】
（1）设的公差为，则，解得，
数列为．
（2），
，
当时，取得最大值．的最大值为626．
（3）所有可能的“对称数列”是：
①；
②；
③；
④．
对于①，当时，．
当时，
．
对于②，当时，．
当时，．
对于③，当时，．
当时，．
对于④，当时，．
当时，．
21．（满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
我们在下面的表格内填写数值：
先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为的数列依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格．
第1列
第2列
第3列
…
第列
第1行
1
1
1
…
1
第2行
第3行
…
…
第行
（1）设第2行的数依次为，试用表示的值；
（2）设第3列的数依次为，求证：
对于任意非零实数，；
（3）请在以下两个问题中选择一个进行研究（只能选择一个问题，如果都选，被认为选择了第一问）．
①能否找到的值，使得
（2）中的数列的前项（）成为等比数列？
若能找到，m的值有多少个？
若不能找到，说明理由．
②能否找到的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？
并说明理由．
21．
（1），
所以．…………4分
（2），，，7分
由
得．…………10分
（3）①先设成等比数列，由，得，．
此时，，所以是一个公比为的等比数列．13分
如果，为等比数列，那么一定是等比数列．
由上所述，此时，，，
由于，因此，对于任意，一定不是等比数列．16分
综上所述，当且仅当且时，数列是等比数列．…………
②设和分别为第列和第列的前三项，，
则……13分
若第列的前三项是等比数列，则
由，得，，16分
同理，若第列的前三项是等比数列，则．
当时，．
所以，无论怎样的，都不能同时找到两列数（除第1列外），使它们的前三项都成等比数列．（18分）
21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
已知有穷数列共有2项（整数≥2），首项＝2．设该数列的前项和为，且＝＋2（＝1，2，┅，2－1），其中常数＞1．
（1）求证：
数列是等比数列；
（2）若＝2，数列满足＝（＝1，2，┅，2），求数列的通项公式；
（3）若
（2）中的数列满足不等式|－|＋|－|＋┅＋|－|＋|－|≤4，求的值．
（1）[证明]当n=1时,a2=2a,则=a；
2≤n≤2k－1时,an+1=（a－1）Sn+2,an=（a－1）Sn－1+2,
an+1－an=（a－1）an,∴=a,∴数列{an}是等比数列.
（2）解：
由
（1）得an=2a,∴a1a2…an=2a=2a=2,
bn=（n=1,2,…,2k）.
（3）设bn≤,解得n≤k+,又n是正整数,于是当n≤k时,bn<；
当n≥k+1时,bn>.
原式=（－b1）+（－b2）+…+（－bk）+（bk+1－）+…+（b2k－）
=（bk+1+…+b2k）－（b1+…+bk）
==.
当≤4,得k2－8k+4≤0,4－2≤k≤4+2,又k≥2,
∴当k=2,3,4,5,6,7时,原不等式成立.
22.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分.第3小题满分6分.
已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）.
（1）若，求；
（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；
（3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列.提出同
（2）类似的问题（
（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？
22.[解]
（1）.……4分
（2），……8分
，
当时，.……12分
（3）所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当时，数列是公差为的等差数列.……14分
研究的问题可以是：
试写出关于的关系式，并求的取值范围.……16分
研究的结论可以是：
由，
依次类推可得
当时，的取值范围为等.……18分
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
假设某市2004年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%
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