信息学奥赛自学材料.docx
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信息学奥赛自学材料
第一章什么是数据结构
1.1基本概念和术语
1.2数据的逻辑结构和物理结构
1.1基本概念和术语
1.数据（data）:
是对客观事物的符号的表示,是所有能输入到计算机中并被计算机程序处理的符号的总称。
2.数据元素（dataelement）:
是数据的基本单位，在计算机程序中通常作为一个整体来处理。
一个数据元素由多个数据项（dataitem）组成，数据 项是数据不可分割的最小单位。
3.数据结构（datastructure）:
是相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。
数据结构是一个二元组，记为:
data_structure=（D,S）.其中D为数据元素的集合，S是D上关系的集合。
数据元素相互之间的关系称为结构（structure）。
根据数据元素之间关系的不同特性，通常由下列四类基本结构：
（1）集合:
数据元素间的关系是同属一个集合。
（图1）
（2）线性结构:
数据元素间存在一对一的关系。
（图2）
（3）树形结构：
结构中的元素间的关系是一对多的关系。
（图3）
（4）图（网）状结构：
结构中的元素间的关系是多对多的关系。
（图4）
图1 图2
图3 图4
1.2数据的逻辑结构和物理结构
逻辑结构：
数据元素之间存在的关系（逻辑关系）叫数据的逻辑结构。
物理结构：
数据结构在计算机中的表示（映象）叫数据的物理结构。
一种逻辑结构可映象成不同的存储结构：
顺序存储结构和非顺序存储结构（链式存储结构和散列结构）。
第二章线性表
2.1线性表的逻辑结构及基本运算
2.2线性表的顺序存储结构
2.3线性表的链式存储结构
2.1线性表的逻辑结构及基本运算
1.线性表简单的定义
n个数据元素的的有限序列其特点是除了表头和表尾外，表中的每一个元素有且仅有唯一的前驱和唯一的后继，表头有且只有一个后继，表尾有且只有一个前驱。
2.线性表的基本运算
length（L）
返回表L的长度，即元素个数。
IsEmpty（L）
如果表L为空表（长度为0）则返回true，否则返回false。
next（L,p）
这是一个函数，函数值为表L中位置p的后继位置。
如果p是L中结束元素的位置，则L.Next（p）=L.end。
当L中没有位置p或p=L.end时，该运算无定义。
prev（L,p）
这是一个函数，函数值为表L中位置p的前驱位置。
当L中没有位置p或p是L中开始元素的位置时，该运算无定义。
get（L,p）
这是一个函数，函数值为L中位置p处的元素。
当p=L.end或L中没有位置p时，该运算无定义。
insert（L,x,p）
在表L的位置p处插入元素x，并将原来占据位置p的元素及其后面的元素都向后推移一个位置。
例如，设L为a1,a2,…,an，那么在执行insert（L,x,p）后，表L变为a1,a2,…ap-1,x,ap,…,an。
若p为L.end，那么表L变为a1,a2,…,an,x。
若表L中没有位置p，则该运算无定义。
delete（L,p）
从表L中删除位置p处的元素。
例如，当L为a1,a2,…,an时，执行delete（L,p）后，L变为a1,a2,…,ap-1,ap+1,…,an。
当L中没有位置p或p=L.end时，该运算无定义。
locate（L,x）
这是一个函数，函数值为元素x在L中的位置。
若x在L中重复出现多次，则函数值为x第一次出现的位置。
当x不在L中时，函数值为0
MakeEmpty（L）
这是一个将L变为空表的方法。
例1假设两个线性表LA,LB分别代表两个集合A和B:
求A=AUB
procunion（varla:
linear_list;lb:
linear_list）;
begin
n:
=length（la）;
fori:
=1tolength（lb）do
x:
=get（lb,i）;
k:
=locate（la,x）;
ifk=0thenbegininsert（la,n+1,x）;n:
=n+1end;
end
例2已知线性表la，lb中的数据元素按值非递减有序排列，现要求将la，lb归并为一个新的线性表lc且lc按值非递减。
procmerge（la,lb:
linear_list;varlc:
linear_list）;
begin
i:
=1;j:
=1;k:
=0;
while（i<=length（la））and（j<=length（lb））do
ifget（la,i）<=get（lb,j）thenbegininsert（lc,k+1,get（la,i））;k:
=k+1;i:
=i+1end
elsebegininsert（lc,k+1,get（lb,j））;k:
=k+1;j:
=j+1end
whilei<=length（la）do
begininsert（lc,k+1,get（la,i））;k:
=k+1;i:
=i+1;end
whilej<=length（lb）do
begininsert（lc,k+1,get（lb,j））;k:
=k+1;j:
=j+1end
end;
2.2线性表的顺序存储结构
线性表的顺序存储即用一组地址连续的存储单元依次存储线性表中的元素。
设线性表中每个元素需占用r个存储单元则
loc（ai+1）=loc（ai）+r
loc（ai）=loc（a1）+（i-1）*r
这时可以这样定义线性表类型
typesqlist=record
data：
array[1..maxlen]ofdatatype;
last:
0..maxlen
end
在这种存储方式下，容易实现对表的遍历。
要在表的尾部插入一个新元素，也很容易。
但是要在表的中间位置插入一个新元素，就必须先将其后面的所有元素都后移一个单元，才能腾出新元素所需的位置。
执行删除运算的情形类似。
如果被删除的元素不是表中最后一个元素，则必须将它后面的所有元素前移一个位置，以填补由于删除所造成的空缺。
这两种运算的时间复杂度均为O（n）n为表的长度。
2.3 线性表的链式存储结构
1.单链表
定义：
实现表的另一种方法是用指针将存储表元素的那些单元依次串联在一起。
这种方法避免了在数组中用连续的单元存储元素的缺点，因而在执行插入或删除运算时，不再需要移动元素来腾出空间或填补空缺。
然而我们为此付出的代价是，需要在每个单元中设置指针来表示表中元素之间的逻辑关系，因而增加了额外的存储空间的开销。
为了将存储表元素的所有单元用指针串联起来，我们让每个单元包含一个元素域和一个指针域，其中的指针指向表中下一个元素所在的单元。
例如，如果表是a1,a2,…,an，那么含有元素ai的那个单元中的指针应指向含有元素ai+1的单元（i=1,2,…,n-1）。
含有an的那个单元中的指针是空指针nil。
此外，通常我们还为每一个表设置一个表头单元header，其中的指针指向开始元素中所在的单元，但表头单元header中不含任何元素。
设置表头单元的目的是为了使表运算中的一些边界条件更容易处理。
这一点我们在后面可以看到。
如果我们愿意单独地处理诸如在表的第一个位置上进行插人与删除操作等边界情况，也可以简单地用一个指向表的第一个单元的指针来代替表头单元。
上述这种用指针来表示表的结构通常称为单链接表，或简称为单链表或链表。
单链表的逻辑结构如图1所示。
表示空表的单链表只有一个单元，即表头单元header，其中的指针是空指针nil。
图1单链表示意图
为了便于实现表的各种运算，在单链表中位置变量的意义与用数组实现的表不同。
在单链表中位置i是一个指针，它所指向的单元是元素ai-1所在的单元，而不是元素ai所在的单元（i=2,3,…,n）。
位置1是指向表头单元header的指针。
位置End（L）是指向单链表L中最后一个单元的指针。
这样做的目的是为了避免在修改单链表指针时需要找一个元素的前驱元素的麻烦，因为在单链表中只设置指向后继元素的指针，而没有设置指向前驱元素的指针。
单链表结构的主要类型可形式地定义为:
typepointer=^nodetype
nodetype=record
data:
datatype;
next:
pointer;
end;
linklist=pointer;
基本运算的实现：
过程Insert（x,p）
功能
在表L的位置p处插入元素x，并将原来占据位置p的元素及其后面的元素都向后推移一个位置。
例如，设L为a1,a2,…,an，那么在执行Insert（x,p）后，表L变为a1,a2,…ap-1,x,ap,…,an。
若p为End（L），那么表L变为a1,a2,…,an,x。
若表L中没有位置p，则该运算无定义。
实现
ProcedureInsert（x:
datatype;p:
pointer）;
var
temp:
integer;
begin
new（temp）;
temp^.data:
=x;
temp^.next:
=p^.next
p^.next:
=temp;
end;
上述算法中，链表指针的修改情况见图2
图2（a）是执行Insert运算之前的情况。
我们要在指针p所指的单元之后插入一个新元素x。
图2（b）是执行Insert运算以后的结果，其中的虚线表示新的指针。
在上述Insert算法中，位置变量p指向单链表中一个合法位置，要插入的新元素x应紧接在p所指单元的后面。
指针p的合法性应在执行Insert运算之前判定。
往一个单链表中插入新元素通常在表头或表尾进行，因此p的合法性容易判定。
Insert运算所需的时间显然为O
（1）。
过程Delete（p）
功能
从表L中删除位置p的下一元素。
例如，当L为a1,a2,…,an时，执行Delete（p）后，L变为a1,a2,…,ap-1,ap+1,…,an。
当L中没有位置p或p=End（L）时，该运算无定义。
实现
ProcedureDelete（p:
pointer）;
var
q:
integer
begin
q:
=p^.next;
p^.next:
=p^.next^.next;
dispose（q）;
end;
说明
这个过程很简单，其指针的修改如图3所示。
若要从一个表中删除一个元素x，但不知道它在表中的位置，则应先用Locate（x,L）找出指示要删除的元素的位置，然后再用Delete删除该位置指示的元素。
Delete过程所需的时间显然也为O
（1）。
2.静态链表
静态链表：
用游标指示数组单元地址的下标值，它属整数类型数组元素是记录类型，记录中包含一个表元素和一个作为游标的整数；具体说明如下:
typejid=record
data:
datatype;
next:
integer;
end;
varalist=array[0..maxsize]ofjid
游标就是。
我们可以用游标来模拟指针,对于一个表L，我们用一个整型变量Lhead（如Lhead=0）作为L的表头游标。
。
这样，我们就可以用游标来模拟指针，实现单链表中的各种运算。
当i>1时，表示第i个位置的位置变量pi的值是数组alist中存储表L的第i-1个元素next值,用p:
=alist（p）.next后移。
照此，我们虽然是用数组来存储表中的元素，但在作表的插人和删除运算时，不需要移动元素，只要修改游标，从而保持了用指针实现表的优点。
因此，有时也将这种用游标实现的表称为静态链表。
3.循环链表
我们在用指针实现表时，表中最后一个元素所在单元的指针域（next）为空指针nil。
如果将这个空指针改为指向表头单元的指针就使整个链表形成一个环。
这种首尾相接的链表称为循环链表。
在循环链表中，从任意一个单元出发可以找到表中其他单元。
图6所示的是一个单链的循环链表或简称为单循环链表。
图6单循环链表
在单循环链表上实现表的各种运算的算法与单链表的情形是类似的。
它们仅在循环终止条件上有所不同:
前者是p或p^.next指向表头单元；后者是p或p^.next指向空（nil）。
在单链表中我们用指向表头单元的指针表示一个表L，这样就可以在O
（1）时间内找到表L中的第一个元素。
然而要找到表L中最后一个元素就要花O（n）时间遍历整个链表。
在单循环链表中，我们也可以用指向表头单元的指针表示一个表L。
但是，如果我们用指向表尾的指针表示一个表L时，我们就可以在O
（1）时间内找到表上中最后一个元素。
同时通过表尾单元中指向表头单元的指针，我们也可以在O
（1）时间内找到表L中的第一个元素。
在许多情况下，用这种表示方法可以简化一些关于表的运算。
4.双链表
单循环链表中，虽然从任一单元出发，可以找到其前驱单元，但需要O（n）时间。
如果我们希望能快速确定表中任一元素的前驱和后继元素所在的单元，可以在链表的每个单元中设置两个指针，一个指向后继，另一个指向前驱，形成图8所示的双向链表或简称为双链表。
图8双链表
由于在双链表中可以直接确定一个单元的前驱单元和后继单元，我们可以用一种更自然的方式表示元素的位置，即用指向双链表中第i个单元而不是指向其前一个单元的指针来表示表的第i个位置。
双链表的单元类型定义如下。
typedupointer=^celltype
celltype=record
data:
datatype;
next，previous:
dupointer;
end;
dulist=dupointer;
和单链的循环表类似，双链表也可以有相应的循环表。
我们用一个表头单元将双链表首尾相接，即将表头单元中的previous指针指向表尾，并将表尾单元的next指针指向表头单元，构成如图9所示的双向循环链表。
图9双向循环链表
下面仅以双向循环链表为例给出三种基本运算的实现。
（1）在双向循环链表L的位置p处插入一个新元素x的过程Insert可实现如下。
procedureInsert（x:
datatdata;p:
pointer;varL:
duList）;
Var
q:
integer
begin
new（q）;
q^.data:
=x;
q^.previous:
=p^.previous;
q^.next:
=p;
p^.previous^.next:
=q;
p^.previous:
=q;
end;
上述算法对链表指针的修改情况见图10。
图10在双向循环链表中插入一个元素
算法Insert中没有检查位置p的合法性，因此在调用Insert之前应保证位置p的合法性。
由于插入通常是在表的头尾两端进行的，所以容易检查位置p的合法性。
（2）从双向循环链表L中删除位置p处的元素可实现如下:
procedureDelete（p:
integer;varL:
duList）;
begin
if（p<>nil）and（p<>L）then
begin
p^.previous^.next:
=p^.next;
p^.next^.previous:
=p^.previous;
dispose（p^）;
end;
end;
上述算法对链表指针的修改情况见图11。
图11从双向循环链表中删除一个元素
5.链表的应用
例1：
求（A-B）U（B-A）其中A,B代表两个集合（用静态链表）
programjtlb;
constmaxsize=20;
typejid=record
data:
integer;
next:
integer;
end;
jtlist=array[0..maxsize]ofjid;
vara:
jtlist;
last,i,k,pre,x,m,n:
integer;
begin
fori:
=0tomaxsize-1doa[i].next:
=i+1;
a[maxsize].next:
=-1;
readln（m,n）;
fori:
=1tomdo
beginread（x）;a[i].data:
=x;end;
readln;
last:
=m;
fori:
=1tondo
begin
read（x）;
k:
=1;pre:
=0;
while（a[k].data<>x）and（k<>a[last].next）do
begin
pre:
=k;k:
=a[k].next;
end;
ifk=a[last].nextthen
begina[k].data:
=x;last:
=kend
elsebegina[pre].next:
=a[k].next;ifk=lastthenlast:
=preend
end;
writeln;
i:
=0;
repeat
i:
=a[i].next;
write（a[i].data,''）;
untili=last;
end.
例2求p1（x）+p2（x）（两个多项式的和）
programdxshi;
typelink=^node;
node=record
coef:
real;
exp:
integer;
next:
link
end;
poly=link;
varp,pa,pb:
poly;
procedurejl（vara:
poly）;
varp,q:
poly;
co:
real;ex:
integer;
begin
p:
=nil;
repeat
read（co,ex）;
new（q）;q^.coef:
=co;q^.exp:
=ex;q^.next:
=p;p:
=q;
until（ex=-1）and（co=-1）;
a:
=p;readln;
end;
procedureadd_poly（vara:
poly;b:
poly）;
varp,q,u,pre:
poly;
x:
real;
begin
p:
=a^.next;q:
=b^.next;
pre:
=a;
while（p<>nil）and（q<>nil）do
ifp^.exp>q^.expthenbeginpre:
=p;p:
=p^.nextend
elseifp^.exp=q^.expthenbegin
x:
=p^.coef+q^.coef;
ifx<>0thenbeginp^.coef:
=x;pre:
=p;end
elsebeginpre^.next:
=p^.next;dispose（p）end;
p:
=pre^.next;u:
=q;q:
=q^.next;dispose（u）;
end
elsebegin
u:
=q^.next;q^.next:
=p;pre^.next:
=q;pre:
=q;q:
=u
end;
ifq<>nilthenpre^.next:
=q;
dispose（b）;
end;
begin
jl（pa）;jl（pb）;
add_poly（pa,pb）;
p:
=pa;p:
=p^.next;
while p<>nildo
begin
writeln（p^.coef:
8:
2,p^.exp:
5）;
p:
=p^.next;
end
end.
练习题：
1.约瑟夫问题:
有M个猴子围成一圈，每个有一个编号，编号从1到M。
打算从中选出一个大王。
经过协商，决定选大王的规则如下：
从第一个开始，每隔N个，数到的猴子出圈，最后剩下来的就是大王。
要求：
从键盘输入M，N，编程计算哪一个编号的猴子成为大王。
（程序）
2.求多项式的减与乘法.（程序）
3.
第三章栈
3.1栈的概念（逻辑结构）及运算
3.2栈的存储与实现
3.3栈的应用
3.1栈的概念及运算
栈的定义：
栈是一种特殊的表这种表只在表头进行插入和删除操作。
因此，表头对于栈来说具有特殊的意义，称为栈顶。
相应地，表尾称为栈底。
不含任何元素的栈称为空栈。
栈的逻辑结构：
假设一个栈S中的元素为an,an-1,..,a1，则称a1为栈底元素，an为栈顶元素。
栈中的元素按a1,a2,..,an-1,an的次序进栈。
在任何时候，出栈的元素都是栈顶元素。
换句话说，栈的修改是按后进先出的原则进行的，如图1所示。
因此，栈又称为后进先出（LastInFirstOut）表，简称为LIFO表。
所以，只要问题满足LIFO原则，就可以使用栈。
图1
栈的运算：
为一种抽象数据类型，常用的栈运算有:
运算
含义
inistack（S）
使S成为一个空栈。
getTop（S）
这是一个函数，函数值为S中的栈顶元素。
Pop（S）
从栈S中删除栈顶元素，简称为抛栈。
Push（S,x）
在S的栈顶插入元素x，简称为将元素x入栈。
Empty（S）
这是一个函数。
当S为空栈时，函数值为true，否则函数值为false。
3.2栈的存储与实现
栈的数组实现：
由于栈是一个特殊的表，我们可以用数组来实现栈。
考虑到栈运算的特殊性，我们用一个数组elements[1..maxlength]来表示一个栈时，将栈底固定在数组的底部，即elements[1]为最早入栈的元素，并让栈向数组上方（下标增大的方向）扩展。
同时，我们用一个游标top来指示当前栈顶元素所在的单元。
当top=0时，表示这个栈为一个空栈。
在一般情况下，elements中的元素序列elements[top],elements[top-1],..,elements[1]就构成了一个栈。
这种结构如图2所示。
图2
利用上述结构，我们可以形式地定义栈类型TStack如下：
Type
TStack=Record
top:
integer;
element:
array[1..maxlength]ofTElement;
End;
在这种表示法下，栈的5种基本运算可实现如下。
procedureinistack（VarS:
TStack）;
begin
S.top:
=0;
end;
functionEmpty（varS:
Stack）:
Boolean;
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