实验2 利用DFT分析信号频谱.docx
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实验2利用DFT分析信号频谱
实验2利用DFT分析信号频谱
一、实验目的
1、加深对DFT原理的理解。
2、应用DFT分析信号的频谱。
3、深刻理解利用DFT分析信号频谱的原理，分析实现过程中出现的现象及解决办法。
二、实验设备及环境
计算机、MATLAB软件环境。
三、实验原理
1、DFT与DTFT的关系
有限长序列
的离散时间傅里叶变换
在频率区间
的N个等间隔分布点
上的N个取样值可以由下式表示：
由上式可知，序列x（n）的N点DFTX（k），实际上就是x（n）序列的DTFT在N个等间隔频率点
上的样本值。
2、利用DFT求DTFT
由于DFT是DTFT的取样值，其相邻两个频率样本点的间距为
，所以如果我们增加数据的长度N，使得到的DFT谱线就更加精细，其包络就越接近DTFT的结果，这样就可以利用DFT来近似计算DTFT。
如果没有更多数据，可以通过补零来增加数据长度。
3、利用DFT分析连续时间信号的频谱
采用计算机分析连续时间信号的频谱，第一步就是把连续时间信号离散化，这里需要进行两个操作：
一是采样，二是截断。
对于连续时间非周期信号
，按采样间隔T进行采样，截取长度为M，那么
对
进行N点频域采样，得到
因此，可以将利用DFT分析连续非周期信号频谱的步骤归纳如下：
（1）确定时域采样间隔T，得到离散序列
；
（2）确定截取长度M，得到M点离散序列
这里
为窗函数。
（3）确定频域采样点数N，要求N≥M。
（4）利用FFT计算离散序列的N点DFT，得到
。
（5）根据式（2-6）由
计算
采样点的近似值。
采用上述方法计算
的频谱，需要注意如下三个问题：
（1）频谱混叠。
如果不满足采样定理的条件，频谱会出现混叠误差。
对于频谱无限宽的信号，应考虑覆盖大部分主要频率分量的范围。
（2）栅栏效应和频谱分辨率。
使用DFT计算频谱，得到的结果只是N个频谱样本值，样本值之间的频谱是未知的，像通过一个栅栏观察频谱，称为“栅栏效应”。
频谱分辨率与记录长度成正比，要提高频谱分辨率，就要增加记录时间。
（3）频谱泄露。
对信号截断会把窗函数的频谱引入到信号频谱，造成频谱泄露。
解决这个问题的主要办法是采用旁瓣小的窗函数，频谱泄露和窗函数均会引起误差。
因此，要合理选取采样间隔和截取长度，必要时还考虑加适当的窗。
对于连续时间周期信号，我们在采用计算机进行计算时，也总是要进行截断，序列总是有限长的，仍然可以采用上述方法近似计算。
4、可能用到的MATLAB函数与代码
实验中DFT运算可采用MATLAB中提供的函数fft来实现。
四、实验内容
1、已知
，完成如下要求：
（1）计算其DTFT，并画出在
区间的波形。
（2）计算4点DFT，并把结果显示在
（1）中所画的图形中。
（3）对x（n）补零，计算64点DFT，并显示结果。
（4）根据实验结果，分析是否可以由DFT计算DTFT，如果可以，如何实现。
实验代码及结果：
（1）&
（2）
>>n=0:
3;
>>x=[2-111];
>>w=0:
0.01*pi:
2*pi;
>>X1=x*exp（-j*n'*w）;
>>X2=fft（x）;
>>subplot（211）;
>>plot（w,abs（X1））;
>>holdon;
>>stem（n*pi/2,abs（X2）,'fill'）;
>>axistight;
>>xlabel（'\Omega'）;
>>title（'Magnitude'）;
>>subplot（212）;
>>plot（w,angle（X1））;
>>holdon;
>>stem（n*pi/2,angle（X2）,'fill'）;
>>xlabel（'\Omega'）;
>>title（'Phase'）;
>>axistight;
（3）&（4）
>>n=0:
3;
>>x=[2-111];
>>w=0:
0.01*pi:
2*pi;
>>X1=x*exp（-j*n'*w）;
>>subplot（211）;
>>plot（w,abs（X1））;
>>axistight;
>>xlabel（'\Omega'）;
>>title（'Magnitude'）;
>>holdon;
>>subplot（212）;
>>plot（w,angle（X1））;
>>axistight;
>>xlabel（'\Omega'）;
>>title（'Phase'）;
>>holdon;
>>n=0:
63;
>>X2=fft（x,64）;
>>subplot（211）;
>>stem（n*2*pi/64,abs（X2）,'fill'）;
>>subplot（212）;
>>stem（n*2*pi/64,angle（X2）,'fill'）;
（4）通过实验我们发现DFT实际上是对DTFT的采样值。
因此，我们可以在已知序列后补零至某一足够的长度，在进行DFT运算，得到的DFT的包络就可以近似为信号的DTFT。
2、考察序列
（1）0≤n≤10时，用DFT估计x（n）的频谱；将x（n）补零加长到长度为100点序列用DFT估计x（n）的频谱。
要求画出相应波形。
（2）0≤n≤100时，用DFT估计x（n）的频谱，并画出相应波形。
（3）根据实验结果，分析怎样提高频谱分辨率。
实验代码及结果：
>>n=[0:
10];
>>x=cos（0.48*pi*n）+cos（0.52*pi*n）;
>>X=fft（x）;
>>subplot（211）;
>>stem（n*2*pi/11,abs（X）,'fill'）;
>>xlabel（'\Omega'）;
>>title（'Magnitude'）;
>>subplot（212）;
>>stem（n*2*pi/11,angle（X）,'fill'）;
>>xlabel（'\Omega'）;
>>title（'Phase'）;
>>n=[0:
99];
>>X=fft（x,100）;
>>subplot（211）;
>>stem（n*2*pi/100,abs（X）,'fill'）;
>>xlabel（'\Omega'）;
>>title（'Magnitude'）;
>>axistight;
>>subplot（212）;
>>stem（n*2*pi/100,angle（X）,'fill'）;
>>xlabel（'\Omega'）;
>>title（'Phase'）;
>>axistight;
（2）
>>n=[0:
99];
>>x=cos（0.48*pi*n）+cos（0.52*pi*n）;
>>X=fft（x）;
>>subplot（211）;
>>stem（n*2*pi/101,abs（X）,'fill'）;
>>xlabel（'\Omega'）;
>>title（'Magnitude'）;
>>axistight;
>>subplot（212）;
>>stem（n*2*pi/101,angle（X）,'fill'）;
>>xlabel（'\Omega'）;
>>title（'Phase'）;
>>axistight;
（3）
由上述结果可知，增加序列的长度可以有效提高频谱分辨率。
3、已知信号
其中
。
从x（t）的表达式可以看出，它包含3个频率的正弦波，但是，从其时域波形上来看，似乎是一个正弦信号，利用DFT做频谱分析，确定适合的参数，使得到的频谱的频率分辨率符合需要。
实验代码及结果：
T=input（'T='）;
n=0:
1:
1/T;
x=0.15*sin（2*pi*n*T）+sin（4*pi*n*T）-0.1*sin（6*pi*n*T）;
X=fft（x）;
subplot（211）;
stem（n*2*pi/（1/T+1）,abs（X）,'fill'）;
xlabel（'\Omega'）;
title（'Magnitude'）;
axistight;
subplot（212）;
stem（n*2*pi/（1/T+1）,angle（X）,'fill'）;
xlabel（'\Omega'）;
title（'Phase'）;
axistight;
>>Exp1_3
T=0.01
>>Exp1_3
T=0.1
>>Exp1_3
T=0.02
>>Exp1_3
T=0.05
由此可见，T选择0.01——0.02s之间的数值结果较好。
4、利用DFT近似分析连续时间信号
的频谱（幅度谱）。
分析采用不同的采样间隔和截取长度进行计算的结果，并最终确定合适的参数。
实验代码及结果：
T=input（'T='）;
End=input（'EndTime='）;
n=0:
1:
End/T;
x=exp（-0.1*n*T）;
X=fft（x）;
subplot（211）;
stem（n*2*pi/（End/T+1）,abs（X）,'fill'）;
xlabel（'\Omega'）;
title（'Magnitude'）;
axistight;
subplot（212）;
stem（n*2*pi/（End/T+1）,angle（X）,'fill'）;
xlabel（'\Omega'）;
title（'Phase'）;
axistight;
>>Exp1_4
T=0.5
EndTime=50
>>Exp1_4
T=1
EndTime=100
>>Exp1_4
T=2
EndTime=200
>>Exp1_4
T=5
EndTime=500
由此可见，采样周期T=2s,采样100点左右时效果较好。
五、收获与体会
这是DSP的第一次实验，由于对DSP的原理还不了解，导致一开始实验的结果很多都是错误的，这份实验报告是重新做了一遍的结果。
DFT具有时、频双离散的特点，因此适合计算机做频谱分析。
本次实验即是初步进行了简单信号的谱分析，加深了对DFT的理解。
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