波1.docx

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波1

第2单元：

简谐运动

（二）

一、教法建议

【抛砖引玉】

本单元的研究目的是使学生掌握简谐运动的图象，并使学生了解振动的能量，阻尼振动、受迫振动和共振等现象和规律。

在研究振动的图象时，一定要做好实验，为了使硬纸板做匀速直线运动，可以用一个电动机通过减速齿轮带动一个轮轴拉动硬纸板；砂漏可以用饮料筒制做，漏斗下口不要太小，直径3～5毫米即可，有利于砂子流速合适，使演示顺利进行。

通过实验引导学生，使学生认识到振动的位移随时间变化的规律。

在演示阻尼振动时，也可以用上述实验、不过硬纸板要拉慢点，摆的振幅要小点。

受迫振动的演示也是很重要的，通过演示实验，使学生直观地了解做受迫振动的物体，它的周期等于驱动力的周期。

为了演示好这一实验可以组装一个如图的装置，电动机通电后，能够通过皮带轮带动曲轴转动，对弹簧施以驱动力，可使弹簧振子振动起来，在演示开始时首先演示弹簧振子自由振动，测出该振子的周期，而后演示受迫振动，给电动机通电，用滑动变阻器改变电动机转速，可以使学生能直观地看到弹簧振子的周期与其固有周期不同，而只与驱动力周期一致。

在上述实验基础上再通过改变电动机转速而改变驱动力的周期，会发现驱动力周期越接近弹簧振子的固有周期时，弹簧振子的振幅越大，在二者周期相同时，弹簧振子振同幅最大，当驱动力周期小于固有周期时，振幅又将减小，再减小驱动力周期，振幅会变得更小。

由此可定性地画出共振曲线。

【指点迷津】

1.同学们在观察振动图象的演示实验时要弄通：

单摆摆动是围绕平衡位置做往复运动，硬纸板垂直摆动方向匀速拉动，砂子漏在硬纸板上得到图象实质上是振动位移在时间轴上的展开。

所以用它可以表示质点振动在各个时刻的位移，即该图象描述了振动质点在不同时刻对平衡位置的位移随时间的变化规律。

2.同学们可观察出图象的特征：

是个正弦（或余弦）的曲线。

3.这个图象的作用：

（a）你可以从图上找出振幅

（b）你可以从图上找出振动周期和频率

（c）你可以描述不同时刻质点对平衡位置的位移

（d）你可以描述某时刻的速度、加速度

4.简谐运动的能量：

振子运动时能量的转化是和位移有密切关系的，请同学你在研究了弹簧振子的振动过程后，完成下表：

振子的运动

BO

OC

CO

OB

正负

变化

正负

变化

正负

变化

正负

变化

位移

+

减小

回复力

－

增大

加速度

+

增大

速度

+

增大

动能

减小

势能

增大

如果没有摩擦和空气阻力，在振动过程中只有动能和势能的相互转化，振动的机械能就是守恒的。

5.机械振动的分类：

（a）依据振动的特点分：

（1）一般振动。

（2）简谐振动。

（b）依据振动形成的原因分：

（1）自由振动：

使物体振动起来后，不再补充能量。

其振动周期叫固有周期（频率）。

（2）受迫振动：

物体在驱动力作用下（周期性变化的外力）的振动。

其振动的周期等于驱动力的周期（频率）。

而与本身的固有周期（频率）无关。

驱动力的作用过程就是在不断地向振动物体提供机械能，补充能量，使振动继续下去。

当驱动力的周期（频率）与物体的固有周期（频率）相等时，受迫振动的振幅最大，此时发生共振现象，所以产生共振的条件是f驱=f周

（c）依据振幅的变化情况分：

（1）等幅振动（又叫无阻尼振动）

（2）减幅振动（又叫阻尼振动）

二、学海导航

【思维基础】

在掌握了以上知识后，请看以下必须掌握的基础知识：

1.能从振动图象上看出振动的周期、频率和振幅。

例：

如图所示，四个质点做简谐运动的图象，若它们是从同一时刻开始记时的。

则：

（1）哪个质点的振幅最大？

振幅为多少？

（2）哪个质点的周期最长？

周期为多少？

（3）哪个质点的频率最大？

频率为多少？

分析：

这个题要求我们能利用数学知识，判断有关的物理量。

这里要求我们首先要看清横坐标、纵坐标分别表示了什么？

振幅是一个什么样的物理量？

在图上如何表示？

周期是一个什么样的物理量？

在图上如何表示？

频率是一个什么样的物理量？

从图上怎么看出来？

以上这些问题都讨论清楚了，此题也就迎刃而解了。

（1）a图振幅为1米，b图和c图振幅都是2米，d图振幅为3米。

（2）c图是半个周期的图象，所以它的周期为8秒，其余三个a、d图周期为4秒，b图为2秒。

（3）∵

；∴b图频率最大，f=0.5赫兹

2.能从图象上比较质点的速度、加速度、回复力等物理量。

例：

上题四个图中，在第1秒末，哪个质点的加速度最小？

分析：

首先要弄清，何时加速度最小？

加速度与什么有关？

第2秒末在图象上如何找？

横坐标是时间轴，从坐标轴上可找到1秒的位置，然后再想，什么时候加速度最小？

加速度最小时，必定是回复力最小时，而回复力：

F=－kx，只有x=0时回复力最小，因此看图象，哪个图象在1秒时x=0。

3.要求知道物体做简谐振动时机械能的转化情况，以及机械能守恒，并能定性地分析机械能随便振动位移的变化关系。

例：

弹簧振子和单摆，在振动过程中动能和势能是不断变化的，在平衡位置动能，势能；在位移最大时势能，动能；在任意位置时其动能与势能的和就是振动物体的能。

振动的越大，表示振动的机械能越大。

分析：

要知道做简谐运动的物体在平衡位置时，动能最大，势能为零，而在最大位移时势能最大，动能为零。

并且能知道振动物体从平衡位置向最大位移运动时，是由动能转化为势能的过程，而从最大位移向平衡位置运动的过程是由势能转化为动能的过程，在转化过程中机械能总量不变。

其机械能的总量决定于振幅的大小。

4.知道什么是受迫振动，并且清楚决定受迫振动频率的因素。

例：

物体做受迫振动的频率等于的频率，而跟物体的频率无关。

分析：

物体做受迫振动的频率等于驱动力的频率，而与物体的固有频率无关。

5.能利用机械能的知识计算单摆的机械能。

例：

一个单摆的摆长为l，摆球质量为m，当摆角为

时，单摆的总机械能为多大？

分析：

首先要弄清单摆的总机械能决定于什么因素？

机械能的变化规律是什么？

当单摆摆角为

时，摆球的重力势能如何求？

此题关键能找出摆球离开平衡位置后升高的高度，即可求出单摆的势能，

则总机械能E=E势=mgl（1－cos

）

6.能简单解释共振现象

例：

洗衣机甩干时，每当它逐渐停下来的时候，机身总是在某一段很短的时间内发生强烈振动，这是什么原因？

分析：

当甩干机转动的频率与洗衣机的固有频率一致时，就要发生共振现象，此时就要发生强烈的振动。

7.能理解共振曲线的意义，并根据共振曲线分析有关具体问题。

例：

如图示，是某物体作受迫振动的共振曲线，从图中可知这个物体振动的固有频率为赫兹，当驱动力频率由150赫增大到250赫的过程中，物体振动的振幅变化趋势是。

【学法指要】

例1.如图所示为一弹簧振子的振动图象，在A、B、C、D、E、F各时刻中：

（1）哪些时刻振子有最大动能？

（2）哪些时刻振子有相同速度？

（3）哪些时刻振子有最大的势能？

（4）哪些时刻振子有最大相同的加速度？

分析：

解决这个问题所需基础知识有：

（1）会分析振动图象，知道各时刻振动方向。

（2）知道图象上哪些点有最大位移？

哪些点有最大速度？

并且知道它们的方向。

（3）知道动能与速率平方成正比。

（4）知道最大势能在大小与振幅大小有关。

（5）知道最大回复力与最大位移的关系。

∵振动图象是振动在时间轴上的展开。

∴O、B、D、F点是在平衡位置上。

而A、C、E点是在最大位移处。

再根据振动方向看：

B、F两点是向下振动，D点是向上振动，可知它们虽速率相同但方向却相反。

最后再根据位移看：

A、E两点位移相同，C点位移虽大小与上述两点相同，但方向相反。

可知它们虽受力相同，但方向相反，这样加速度也是大小相等，方向相反。

例2.如图所示为一单摆的振动图象，若取g=9.8米／秒，求

（1）单摆的摆长。

（2）从计时开始经过多少时间第一次达到势能最大？

（3）在第2秒到第3秒这段时间内单摆的速度、动有和势能各是如何变化的？

分析：

要想解决这个问题，必须掌握如下知识：

单摆的周期公式，单摆的摆动时动能与势能变化的规律，单摆的机械能决定于什么？

最后还要懂得振动图象如何表示振幅、周期、平衡位置，如何描述单摆做简谐运动。

要想求单摆的摆长，只有利用周期公式来求：

T=

。

周期T可从图象上确定：

T=4秒。

这样可算出l=3.972米。

从图示的振动图象可知，在计时开始，摆球恰好以沿x轴正方向的速度通过平衡位置O点，此时单摆有最大动能，随时间的延续，摆球越摆越高，速度不断变小，经过

其速度为0，此时势能最大，t=1秒。

由图象可看出t=2秒时，摆球恰好通过平衡位置，此时速度最大，动能最大，势能为零；从t=2秒到t=3秒过程中，从图象上可看出是平衡位置摆向最高点，这过程中速度不断减小，动能不断减小，势能不断增大，当t=3秒时，速度变为零，动能等于零，势能最大。

例3.汽车在一条起伏不平的公路上行驶，路面上凸起处相隔的距离大约都是16米，汽车的车身是装在弹簧上的，当汽车以8米／秒的速度行驶时，车身起伏振动得最激烈，求弹簧的固有周期为多少？

分析：

这个题要弄清题目叙述的是个什么现象？

驱动力是如何产生的？

驱动力的周期如何求？

汽车每行走16米经过一凸起处，汽车振动一次，形成一驱动力，当这驱动力的周期与弹簧的固有周期相同时，汽车发生共振，此时汽车振动最大，驱动力周期等于汽车经过两个凸起部分所用的时间，即T=

=2（秒）

三、智能显示

【心中有数】

本单元要掌握下述知识：

1.简谐振动的图象：

表示了做简谐运动的质点的位移随时间变化的规律。

简谐运动的图象是一条正弦（或余弦）曲线，从该图象上可看出，质点在振动过程中各个时刻的离平衡位置的位移。

在图象中还可看出振幅和周期。

2.简谐运动的能量：

某时刻做简谐运动的系统总能量等于该时刻的动能与势能的和。

简谐运动的总能量是一个恒量，不随时间而改变，它等于最大位移处的势能，或在平衡位置时的动能。

单摆的总能量可用E=

来计算。

3.知道几种振动：

振动名称

形成的原因

特点

说明

简谐振动

弹簧振子或单摆在外力作用下，一旦离开平衡位置，而后不再受外力干扰

弹簧振子的周期只决定于振子质量和弹簧的劲度系数

单摆的周期

T=2

振幅不随时间改变是等幅振动

受迫振动

物体在周期性变化的驱动力作用下振动叫受迫振动

达到稳定状态后的频率总是等于驱动力的频率而与物体的固有频率无关

当f固=f驱时振幅最大此时发生共振

阻尼振动

物体在振动过程中受到阻力作用

振动物体的总能量逐渐减少

振幅随时间减小

【动脑动手】

1.如图所示为某一作简谐振动物体的振动图象，在t=3秒时，物体

（1）位移为零、速度为零；

（2）位移为零、加速度为零；

（3）速度最大、速度方向为正方向；

（4）动能最大、势能为零。

2.如图，某单摆若分别从通过甲、乙、丙、丁四个位置开始计时，并规定向右为正方向，则它们跟A、B、C、D四个振动图象的对应关系是：

（1）甲对应B；

（2）乙对应D；

（3）丙对应C；

（4）丁对应A。

3.如图所示为一单摆和它的振动图象，O为平衡位置B、C为最大位移处，规定向右为正方向，试回答：

（1）振幅和周期各为多大？

（2）单摆在振动过程中通过哪个位置时，作为起始时刻（即t=0）？

（3）当t=0.75秒时，单摆通过哪个位置？

运动的方向向哪里？

（4）在t=0.5─0.75秒的时间内，单摆的位移、速度、加速度、动能、势能、机械能的大小分别怎样变化？

4.当行驶着的火车的车轮接触到两条钢轨相接处的缝隙时，受撞击，使车厢在支持它的弹簧上振动起来。

若弹簧的固有周期为T=0.5秒，每条钢轨长L=12米，求火车的速度是多大时车厢振动得最厉害？

5.在一根绷紧的绳上挂四个单摆A、B、C、D，它们的摆长之比为lA:

lB:

lC:

lD=1:

1:

4:

9。

使A摆以一定的振幅做简谐振动时，其它三个摆也振动了起来，当它们振动稳定时，这三个单摆振动周期之比：

TB:

TC:

TD=；摆的根振动振幅最大，摆的振幅最小。

答案：

【动脑动手】

1.

（2）、（3）、（4）。

2.

（2）、（4）。

3.

（1）4厘米，1秒；

（2）B点；（3）平衡位置，向左；（4）位移逐渐减小，速度逐渐增大，加速度减小，动能将增大，势能将减小，机械能不变。

4.24米／秒。

5.1:

1:

1，B，D。

四、同步题库

一、选择题

1.关于振幅的各种说法，正确的是（）

A.振幅是振子离开平衡位置的最大距离

B.振幅大小表示振动能量的大小

C.振幅有时为正，有时为负

D.振幅大，振动物体的最大加速度也一定大

2.振动的周期就是指振动物体（）

A.从任一位置出发又回到这个位置所用的时间

B.从一个最大偏移位置运动到另一个最大偏移位置所用的时间

C.从某一位置出发又以同一运动方向回到这个位置所用的时间

D.经历了两个振幅的时间

E.经达了四个振幅的时间

3.关于简谐振动的加速度，下列说法正确的是（）

A.大小与位移成正比，方向一周期变化一次。

B.大小不变，方向始终指向平衡位置

C.大小与位移成正比，方向始终指向平衡位置

D.大小变化是均匀的，方向一周期变化一次

4.一单摆摆长为l，若将摆长增加1m，则周期变为原来的1.5倍，可以肯定l长为（）

A.2mB.1.5mC.0.8mD.0.5m

5.甲、乙两个单摆的摆长相等，将两上摆的摆球由平衡位置拉起，使摆角θ乙＞θ甲＜

5°，由静止开始释放，则（）

A.甲先摆到平衡位置B.乙先摆到平衡位置

C.甲、乙两摆同时到达平衡位置D.无法判断

6.对单摆的振动，以下说法中正确的是（）

A.单摆摆动时，摆球受到的向心力大小处处相等

B.单运动的回复力是摆球所受合力

C.摆球经过平衡位置时所受回复力为零

D.摆球经过平衡位置时所受合外力为零

7.单摆摆长为L，一次将摆球从平衡位置竖直提高到悬点后释放，另一次将其从平衡

位置拉开一个小于5°的摆角后释放，上述两种情况下摆球到达平衡位置的时间相比较，下述说法正确的是（）

A.从悬点自由落下时间短B.摆动落下时间短

C.两种情况的时间等长D.无法判断

8.如图5-27是某振子作简谐振动的图象，以下说法中正确的是（）

图5-27

A.因为振动图象可由实验直接得到，所以图象就是振子实际运动的轨迹

B.振动图象反映的是振子位移随时间变化规律，并不是振子运动的实际轨迹

C.振子在B位置的位移就是曲线BC的长度

D.振子运动到B点时的速度方向即为该点的切线方向

E.由图象可以直观地看出周期和振幅

F.利用图象还能知道速度、加速度、回复力及能量随时间的变化情况

9.A、B两个弹簧振子，A的固有频率为f，B的固有频率为4f，若它们均在频率为3f

的策动力作用下作受迫振动，则（）

A.振子A的振幅较大，振动频率为f

B.振子B的振幅较大，振动频率为3f

C.振子A的振幅较大，振动频率为3f

D.振子B的振幅较大，振动频率为4f

10.如图5-28所示为质点作简谐振动的图象，从图象可看出（）

A.质点振动的频率为2.5Hz

B.质点振动的振幅为4cm

C.t1时刻质点的加速度方向沿x轴正方向

D.t1时刻质点的速度方向沿x轴正方向

11.图5-29为一物体作简谐振动的图象，根据图象判定下列哪个时刻物体的加速度为

零，而速度最大，方向沿x轴反方向（）

A.1s末B.2s末C.3s末4.4s末

图5-28图5-29

12.下述概念正确的是（）

A.自由振动必然是阻尼振动

B.在外力作用下的振动是受迫振动

C.振幅越来越小的振动是阻尼振动

D.受迫振动是等幅振动

E.振幅最大的受迫振动现象就是共振

F.等幅振动是无阻尼振动

13.如图5-30所示，一根水平细钢丝两边固定，它下面悬挂三个摆长为lA=1.00m，lB=

0.50m，lC=0.25m的单摆，三个摆球相同，现用周期变化的外力作用于细钢丝上，下述判断正确的是（）

A.外力的频率为0.5Hz时，B球振幅最大

B.外力的频率为1Hz时，A球振幅最大

C.外力的频率为1Hz时，C球振幅最大

D.外力的频率为2Hz时，A球振幅最大

图5-30

14.以下振动现象中表现为共振现象的是（）

A.钱塘江大桥上正通过一列火车时的振动

B.挑水的人由于行走，使扁担和水桶上下振动，结果水桶中的水溢出

C.工厂中机器开动引起厂房的振动

D.快艇上的机关炮正连续向敌人射击时的振动

15.弹簧振子在a、b间做简谐振动，如图5-31所示，o为平衡位置，从某一时刻开始

（t=0）经过1/4周期，振子具有正方向最大加速度，那么图5-32中正确反映振子振动情况的是（）

图5-31图5-32

二、填空题

16.在用单摆测重力加速度的实验中，测得悬线长为l，摆球直径为d，完成n次全振

动所用时间为t，则重力加速度为大小g=。

17.甲、乙两单摆，在单摆动27次时间里，乙摆动了45次，已知甲摆摆长100cm，

则乙的摆长为cm。

18.越来越小的振动叫阻尼振动，物体在作用下

的振动叫受迫振动；当的频率等于物体的频率时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫。

19.如图5-33所示的四个单摆系在同一根绳子上，绳子两端固定，四个摆长LA=LB/2=LC=

2LD，当摆A作简谐振动后，其他三个摆中振幅最大的是摆。

若摆A的周期为T，则其他三个摆的周期TB，TC=，TD=。

20.铁道上每根钢轨长12m，若支持车厢的弹簧固有周期是0.6s，那么列车以

m/s速度行驶时，车厢振动最厉害。

图5-33图5-34

21.如图5-34为一振动的单摆和它的振动图线。

（1）单摆振动的起始位置是，在处加速度最大，振

幅是cm，周期为s，频率为Hz；

（2）若单摆以偏离平衡位置向右为正，G和F为振动的最大位移位置.那么图线中的O、

A、B、C、D各点对应振动过程右的位置是O对应，A对应，B对应，C对应，D对应；O、B、D各时刻的速度方向为O向，B向，D向。

（3）从图线上看摆球振动中动能最大的点是，势能最大的点是

。

22.图5-35是一物体做简谐振动的图象，由图可知物体振动的振幅为cm，

周期是s，在0.6s时位移是cm，速度是m/s。

23.A、B两个弹簧振子，同时从平衡位置以相同的速度开始运动，它们的振动图象如

图5-36所示，已知A摆的周期为T，则B摆的周期为，它们第一次同时经过平衡位置且速度相同所需的时间是

图5-35图5-36

24.一个单摆，当它的摆长增加0.33m时，它的振动周期变为原来的1.2倍，这个单摆

原来的摆长是m。

25.如图5-37所示，摆长为L的单摆，原来的周期为T。

现在在悬点O的正下方A点

固定一颗钉子，使OA=L/3，令单摆由平衡位置向左摆动时以A为悬点作简谐振动，则这个摆完成一次全振动所需的时间是。

图5-37

26.把一个秒摆由地面移至距地面高度为地球半径1倍的高处，则它的周期将变为

s。

27.一个单摆在山脚处（可以认为是海平面高度），测得其周期为T，将其移至山顶处，测得其周期变化了ΔT，不考虑摆长随温度变化，设地球半径为R，则山高为。

三、计算题

28.一个单摆的共振曲线如图5-38所示，试求该摆的摆长，g=9.87m/s2。

若将此摆的

摆长调到0.8m，则共振曲线的“峰”将向哪边移动？

图5-38图5-39

29.有一单摆振动的最大角度为5°，图5-39为其回复力F与位移x的关系图线，摆

球质量为100g，当地重力加速度为9.8m/s2，试求：

（1）此单摆摆长和周期。

（2）摆球的最大速度。

（3）画出单摆从A点开始振动的振动图线

30.一个在光滑水平面上做简谐振动的弹簧振子，当振子运动至平衡位置左侧2cm时，

振子加速度为4m·s-2，求当振子运动至平衡位置右测3cm时加速度大小和方向。

参考答案

一、选择题

1.A、B、D；2.C；E；3.C；4.C；5.C；6.C；7.A；8.B、E、F；9.B；10.A、C；11.A；

12.A、C、E、F；13.C；14.B；15.A

二、填空题

16.2π2h2（2ltd）/t2；17.36；18.振幅；策动力；策动力；固有频率；共振；19.C；T；

T；T；20.20；21.

（1）E；F、G；3；2；0.5；

（2）E；G；E；F；E；右；左；右；（3）0、B、D；A、C；22.10；1.2；-10；0；23.

；3T；24.0.75；25.

；26.4；27.

三、计算题

28.向右；29.

（1）l=1m、T=2s；

（2）0.28m/s；（3）（见图5-40）；30.6m/s2、

水平向左

图5-40