高中江苏省南通市如皋市高一上学期教学质量调研二数学试题.docx
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高中江苏省南通市如皋市高一上学期教学质量调研二数学试题
江苏省南通市如皋市【精品】高一上学期教学质量调研
（二）数学试题
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
一、单选题
1．集合，，则（）.
A．B．C．D．
2．函数的定义域为（）.
A．B．C．D．
3．函数的图像恒过定点（）.
A．B．C．D．
4．已知，，则的值为（）.
A．B．C．D．
5．已知，则（）.
A．B．C．D．
6．设，则（）.
A．B．C．D．
7．角的终边上有一点，则的值是（）
A．B．C．1D．或
8．若函数的零点为，且，，则的值为（）.
A．B．C．D．
9．已知函数为偶函数，且在区间上单调递增，则下列不等式成立的是（）.
A．B．
C．D．
10．方程有两个不相等的正根，则实数的取值范围为（）.
A．B．C．D．
11．已知函数存在，，当时，，则实数的取值范围是（）.
A．B．
C．D．
12．已知函数，，当时，方程根的个数为（）.
A．B．C．D．
二、填空题
13．________.
14．已知幂函数，当时，，则________.
15．已知函数，的最大值为，则实数的取值范围是________.
16．已知函数，若对任意实数，方程都有实数根，则实数的取值范围是________.
三、解答题
17．已知全集，集合，，其中为实数
（1）当时，求；
（2）若，求的取值范围
18．已知函数，函数
（1）当时，求的值；
（2）当时，求的值
19．某学校为迎接国庆70周年，需制一扇形框架结构，如图所示.已知扇形框架结构的圆心角弧度，半径米，两半径部分的装饰费用为元/米，弧线部分的装饰费用为元/米，装饰总费用为元，记花坛的面积为.
（1）将用表示，并求出的取值范围；
（2）当为多少时，最大并求出最大值
20．已知函数，其中，且.
（1）求的值；
（2）若函数有两个不同的零点，，其中.求的取值范围.
21．已知函数，.
（1）当时，求函数的零点；
（2）若，求函数在区间上的最小值.
22．已知奇函数与偶函数均为定义在上的函数，并满足
（1）求的解析式；
（2）设函数
①判断的单调性，并用定义证明；
②若，求实数的取值范围
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
对集合进行化简，再利用集合的交运算即得答案.
【详解】
因为，，
所以.
故选：
A.
【点睛】
本题考查集合描述法及集合的交运算，考查基本运算求解能力.
2．C
【分析】
列出使不等式有意义的限制条件，即对数的真数大于0，分母的被开方数大于0，解不等式组即可得答案.
【详解】
由题意得：
，解得：
.
故选：
C.
【点睛】
本题考查函数定义域的求解，考查基本运算求解能力，属于基础题.
3．A
【分析】
令对数的真数为1，求出的值，即为定点坐标.
【详解】
令，所以，
所以定点坐标为.
故选A.
【点睛】
本题考查对数型函数恒过定点问题，求解时只要令对数的真数为1，求出的值即可得到定点坐标，考查对对数函数图象的理解及基本运算求解能力.
4．B
【分析】
利用同角三角函数的基本关系，求得的值.
【详解】
因为，解得：
或，
因为，所以.
故选：
B.
【点睛】
本题考查同角三角函数的基本关系，考查基本运算求解能力，求解时注意考虑的取值范围，防止出现符号错误.
5．D
【分析】
利用赋值法，令代入解析式，即可求得的值.
【详解】
令，则.
故选：
D.
【点睛】
本题考查利用赋值法求函数值，考查对函数对应关系的理解与应用，属于基础题.
6．B
【分析】
将指数式转化为对数式得到，再代入目标式子，利用对数运算法则求得答案.
【详解】
因为，所以，
所以.
故选：
B.
【点睛】
本题考查指数式与对数式的互化，对数运算法则的运用，考查基本运算求解能力.
7．D
【分析】
求出P到原点的距离，即可求得结果.
【详解】
所以
故选：
D
【点睛】
本题考查了由角终边上的点求三角函数值，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.
8．C
【分析】
先判断函数在单调递增，再利用零点存在定理结合，求得的值.
【详解】
因为函数在单调递增，
因为，，
，
所以，所以.
故选：
C.
【点睛】
本题考查零点存在定理的应用，求解时要先判断函数的单调性，再判断区间端点函数值的正负，考查数形结合思想和分类讨论思想的运用，考查基本运算求解能力.
9．A
【分析】
根据偶函数的性质得在单调递减，再利用将自变量的值都转化到区间，进而利用单调性比较大小.
【详解】
因为函数为偶函数，所以，
因为，且在单调递减，
所以.
故选：
A.
【点睛】
本题考查偶函数图象的对称性、单调性的综合运用，考查基本运算求解能力，求解时要把自变量都化到同一单调区间内，再进行大小比较，考查数形结合思想的应用.
10．B
【分析】
利用换元法，令将问题转化为一元二次方程有两个大于1的根，再利用二次函数根的分布，求出的范围.
【详解】
令将问题转化为一元二次方程有两个大于1的根，
令，则
所以解得：
.
故选：
B.
【点睛】
本题考查利用换元法求关于指数函数复合的方程的根，考查转化与化归思想的运用，在换元过程中引入新的变量，要注意其范围，才会使问题达到等价转化.
11．A
【分析】
先画出函数的图象，再对一次函数的斜率进行讨论，从而得到关于的不等式，即可求得答案.
【详解】
函数的图象，如图所示，
当时，存在且，使，故成立；
当时，存在，使，故成立；
当时，，所以；
综上所述：
.
故选A.
【点睛】
本题以分段函数为问题背景，考查利用数形结合思想的运用，求解时要对进行分类讨论，讨论时要做到不重不漏.
12．C
【分析】
利用换元法令，则方程根的情况转化成研究方程根的情况，由一元二次函数的对称轴、判别式、区间端点函数值可得方程的两根的范围，进而得到方程根的个数.
【详解】
令，
所以，即①，
因为，所以方程①有两个不相等的实根，不妨设.
因为且
所以方程①的两根，（舍去）
所以，
由于函数与函数图象有两个交点，
所以方程根的个数为2个.
故选：
C.
【点睛】
本题考查与二次函数复合的复杂函数的零点问题，考查转化与化归思想的应用，求解时要注意换元法的灵活运用，及新元取值范围的确定，才会使问题进行等价转化，同时注意一元二次函数零点分布的充要条件的应用.
13．
【分析】
利用指数幂运算法则和对数运算法则进行求解，即可求得答案.
【详解】
原式.
故答案为.
【点睛】
本题考查指数幂运算法则和对数运算法则的运用，考查运算求解能力，属于容易题.
14．
【分析】
由幂函数的定义得，从而求得的值，再由幂函数的单调性对的值进行取舍，从而得到幂函数的表达式.
【详解】
由幂函数的定义得，解得：
或，
当时，，
所以在单调递增，
所以，
所以，则.
故答案为.
【点睛】
本题考查幂函数的定义、单调性，考查对概念的理解，特别是不等式的理解是求解本题的关键，考查基本运算求解能力.
15．
【分析】
利用换元法，令，则问题转化为函数在的最大值为，从而得到的取值范围.
【详解】
令，则问题转化为函数在的最大值为，
当时，在区间单调递增，所以函数在的最大值为；
当且时，即，在区间单调递增，最大值为；
当，函数在先减再增，其最大值仍为；
故答案为：
.
【点睛】
本题考查利用换元法求函数的最值问题，考查分类讨论思想、数形结合思想的灵活运用，求解时注意利用换元法将复杂的函数转化为较熟悉的“双刀函数”和“对勾函数”.
16．
【分析】
分别求出分段函数中两段函数的值域，只要保证的值域为，即可满足对任意实数，方程都有实数根.
【详解】
①当时，
，其值域为，
，其值域为，
所以，
所以.
②当时，
，其值域为，
，其值域为，
所以，
所以.
综上所述：
.
故答案为.
【点睛】
本题以分段函数为背景，考查方程有实根时求参数的取值范围，考查转化与化归思想、数形结合思想的灵活运用，同时求解时要注意分类讨论思想的应用，即分类时要将与二次函数的对称轴进行讨论.
17．
（1）
（2）
【分析】
（1）求解指数不等式对集合进行化简，再与进行并集运算；
（2）先求，再由，则即可，从而得到的取值范围.
【详解】
（1）当时，，
因为集合，
所以；
（2）因为，
又因为，
所以，即，
所以的取值范围是.
【点睛】
本题考查集合的并集和补集运算、及由集合间的基本关系求参数的取值范围，考查数形结合思想的运用，求解指数不等式时，注意先把底数化成相同，再利用单调性求解.
18．
（1）
（2）
【分析】
（1）由等式得到，，，再利用“知一求二”的思想方法，求得的值；
（2）由等式得到，再由同角三角函数的基本关系可求得的值，再代入目标式子即可求得答案.
【详解】
（1）因为，
所以，即，
所以，
因为，，所以.
（2）因为，即，
所以，显然，所以
因为，，所以，，
【点睛】
本题考查同角三角函数的基本关系，考查两个“知一求二”思想方法，考查基本运算求解能，即已知三个中的一个，则另外两个均可求出；已知，三个中的一个，则另外两个均可求出.
19．
（1），
（2）当时，取最大值，为.
【分析】
（1）由弧等于，结合装饰总费用为元，可得与的关系，再根据求得的取值范围；
（2）利用扇形的面积公式求得是关于的二次函数，再根据二次函数的性质求得最小值.
【详解】
（1）由题知，，所以，
因为，所以，解得.
（2）因为，
所以，当时，取最大值，为.
【点睛】
本题考查扇形的弧长与半径的关系、扇形的面积公式计算、二次函数的最小值，考查转化与化归思想、数形结合思想的运用，考查基本运算求解能力.
20．
（1）
（2）
【分析】
（1）先求的值，从而得到，进而求得的值；
（2）由题意得的图像在上是一条连续的曲线，且在上单调递减，在上单调递增，将都用表示，进而可以把用表示出来，再利用的取值范围得到目标式子的取值范围.
【详解】
（1），
因为，所以，，所以，
所以，解得；
（2）由题知，.所以的图像在上是一条连续的曲线，
且在上单调递减，在上单调递增，
所以，，，，
所以，
因为，，
所以，
即的取值范围是.
【点睛】
本题考查已知复合函数的函数值求参数、函数的零点与方程根的关系，考查转化与化归思想的应用，求解时要有变量替换的思想，将所求式子的双变量问题转化为单变量问题，再利用函数思想进行求解.
21．
（1），，.
（2）
【分析】
（1）函数的零点等价于方程的解；
（2）对分四种情况进行讨论，即，，，分别每种情况各自的最小值，最后再讨论对最小值进行整合.
【详解】
（1）当时，函数的零点等价于方程的解，
所以或，
所以或或或，
即函数的零点为，，.
（2）因为，
当时，，
因为，，所以在上单增，
因为，，所以在上单增，在上单减，
所以，函数在上的最小值.
当时，，
因为，，所以在上单减，在上单增，
因为，，所以在上单减，
所以，函数在上的最小值.
因为
所以当时，，
即此时函数在上的最小值，
当时，，
因为，，所以在上单减，在上单增，
所以，函数在上的最小值，
当时，，
因为，，所以在上单减，
所以，函数在上的最小值.
综上，函数在上的最
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