将军饮马系列最值问题.docx
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将军饮马系列最值问题
1.两点之间，线段最短.
2•点到直线的距离，垂线段最短.
3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小鱼第三边.
4.AB分别为同一圆心0半径不等的两个圆上的一点，RrABRr
当且仅当A、B、O三点共线时能取等号.
・知识讲解
古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦.
有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：
如图，将军从A出发到河边
饮马，然后再到B地军营视察，显然有许多走法.问怎样走路线最短呢？
精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回答.这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题.
下面我们来看看数学家是怎样解决的•海伦发现这是一个求折线和最短的数学问题.
根据公理：
连接两点的所有线中，线段最短.
若A、B在河流的异侧，直接连接AB,AB与I的交点即为所求.
若A、B在河流的同侧，根据两点间线段最短，那么显然要把折线变成直线再解.
海伦解决本问题时，是利用作对称点把折线问题转化成直线
现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理，即轴对称思想
轴对称及其性质:
那么这个图形就叫做轴对称图
（或轴）对称.如等腰ABC是轴对
把一个图形沿某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合,
形.这条直线就是它的对称轴.这时我们就说这个图形关于这条直线
称图形.
那么就是说这两个图形关于这条
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.
如下图，ABC与A'B'C'关于直线I对称，I叫做对称轴.A和A',B和B',C和C'是对称点.
轴对称的两个图形有如下性质:
1关于某条直线对称的两个图形是全等形;
2对称轴是任何一对对应点所连线的垂直平分线;
3两个图形关于某条直线对称，如果他们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.
线段垂直平分线：
垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等；
到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.
当已知条件出现了等腰三角形、角平分线、高，或者求几条折线段的最小值等情况，通常考虑作轴
对称变换，以“补齐”图形，集中条件。
所有的轴对称图形（角、线、等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圆、坐标轴），都可以考察“将军饮马”问题。
考察知识点：
“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。
解题总思路：
找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问
题考查。
构建“对称模型”实现转化
常见模型：
（1）PAPB最小
同侧
异侧
l
A'
（2）
实用标准
①PA
PB最小
同侧
异侧
（3）
②PA
同侧
I
I
A
I
A
PB最大
异侧
I
【变形】异侧时，也可以问：
在直线I上是否存在一点
P使的直线I为
APB的角平分线
周长最短
类型一
类型
A"
类型三
B'
（4）“过河”最短距离
类型一
类型
（5）线段和最小
12
（6）在直角坐标系里的运用
12
AA
APE=BPE
■同步练习
【例1】尺规作图，作线段AB的垂直平分线，作COD的角平分线.
【变式练习】已知：
如图，ABC及两点M、N.求作：
点P，使得PMPN，且P点到ABC两边
所在的直线的距离相等.
【例2】已知点A在直线I夕卜，点P为直线I上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P在直线I
上运动时，点P与A、B两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B;若不存在，请说明理
由.
【例3】如图，在公路a的同旁有两个仓库A、B，现需要建一货物中转站，要求到A、B两仓库的距离和最短，这个中转站M应建在公路旁的哪个位置比较合理？
”B
A+
a
【变式练习】如图，M、N为ABC的边AC、BC上的两个定点，在AB上求一点P，使PMN的周长最短.
【例4】如图，AOB45，角内有点P，在角的两边有两点Q、R（均不同于0点），求作Q、R,
使得PQR的周长的最小.
NOQ，这时在直线OP上再取A点,
【例5】如图，在POQ内部有M点和N点，同时能使MOP
使从A点到M点及N点的距离和为最小；在直线OQ上也取B点，使从B点到M点和N点
的距离和也最小.证明：
AMANBMBN.
OA的边的距离和最小.
【例7】已知：
A、B两点在直线|的同侧,
在|上求作一点M，使得|AMBM|最小值和最大值.
【变式练习】（07年三帆中学期中试题）如图，正方形ABCD中，AB8,M是DC上的一点，且DM2,
N是AC上的一动点.
求
（1）DNMN的最小值与最大值.
（2）|DNM叫的最小值与最大值.
【例8】如图△ABC,D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点（均不与点A、B、C重合），记ADEF的周长为P，请作出周长最小的ADEF.
【习题1】如图，在等腰RtABC中，CACB3,E的BC上一点，满足BE2，在斜边AB上求作一点P使得PCPE长度之和最小.
【习题2】如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点M、N分别是变AB、BC的中点，在对文档
实用标准
角线AC求作一点P使得PMPN的值最小.
使BPAP的值最小，并求BPAP的最小值.
【习题5】如图所示，正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PDPE的和最小，则这个最小值为（）
【习题6】如图，在平面直角坐标系中，直线|是第一、三象限的角平分线.
实用标准
实验与探究：
（1）由图观察易知A2,0关于直线I的对称点A'的坐标为2,0,请在图中分别标
B5,3、C2,5关于直线I的对称点B'、C'的位置，并写出它们的坐标：
B'C'；
归纳与发现：
（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：
坐标平面内任一点Pa，b关于第一、三象限的
角平分线I的对称点P'的坐标为（不必证明）；
运用与拓广：
（3）已知两点D1，3、E1，4，试在直线I上找一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最
小.
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