学年最新中考数学复习《函数》精选常考点及答案解析.docx

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学年最新中考数学复习《函数》精选常考点及答案解析

第八单元函数

第一节函数概念与图象

课标解读

考试内容

考试要求

考查频度

A

B

C

坐标与图形位置

了解有序数对的概念；知道用有序数对可以表示物体的位置；认识并能理解平面直角坐标系的有关概念；会选择合适的平面直角坐标系并能写出给定正方形的顶点坐标；了解可以用坐标描述一个简单图形

能画出平面直角坐标系；在给定的平面直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置或由点的位置写出点的坐标；能在实际问题中建立适当的平面直角坐标系，描述物体的位置；能用方位角和距离描述两个物体的相对位置

★★★★

函数及其图象

了解常量和变量的意义；了解函数的概念和三种表示方法；会用描点法画出函数的图象；会求函数的值

能列举函数的实例；能用适当的函数表示法描述简单实际问题中变量之间的关系，并能确定函数自变量的取值范围；能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析；能用函数的有关知识解决简单的实际问题

运用函数的有关内容，探索有关问题中的数量关系和变化规律，并结合对函数关系的分析，对变量之间的对应关系和变化情况进行初步预测

★★★★★

知识要点

1.已知点P（x,y）,若点P在第一象限，则x,y;若点P在第二象限，则x,y;若点P在第三象限，则x,y；若点P在第四象限，则x,y；若点P在x轴上，则y；若点P在y轴上，则x.

2.已知点P（a,b）,关于x轴的对称点的坐标是；关于y轴的对称点的坐标是；关于原点的对称点的坐标是.

3.若点P（a,b）在第一、三象限的角平分线上，则x,y的关系是；若点P（a,b）在第二、四象限的角平分线上，则x,y的关系是.

4.点P（x,y）到x轴的距离是，到y轴的距离是，到原点的距离是.

5.平面内任意两点，则线段=.

6.平行于x轴的直线上的点；平行于y轴的直线上的点.

7.理解函数概念时，应注意：

①在某一变化过程中有两个x和y；②y的值随x的；③对于x的每一个值，y都.

8.画函数图象的一般步骤为；；.

典例诠释

考点一坐标与图形位置

例1（2016·朝阳一模）我市为了促进全民健身，举办“健步走”活动，朝阳区活动场地位于奥林匹克公园（路线：

森林公园—玲珑塔—国家体育场－水立方）．如图1-8-1，体育局的工作人员在奥林匹克公园设计图上设定玲珑塔的坐标为（－1，0），森林公园的坐标为（－2，2），则终点水立方的坐标为（）

图1-8-1

A．（－2，－4）B．（－1，－4）C．（－2，4）D．（－4，－1）

【答案】A

【名师点评】本题主要涉及平面直角坐标系的有关知识，解题的关键在于根据所给点的坐标确定原点位置，建立平面直角坐标系.

例2（2016·东城一模）在平面直角坐标系中，将点A（－1，2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是（）

A．（－4，－2）B．（2，2）C．（－2，2）D．（2，－2）

【答案】D

【名师点评】本题主要涉及平面直角坐标系中点的平移和轴对称问题，解题的最好方法是将抽象的问题具体化，在平面直角坐标系中表示出A点位置，再根据变换最终确定所求点的坐标.

考点二函数自变量的取值范围

例3（2016·昌平二模）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（）

A.x＞2B.x≠2C.x＜2D.x≤2

【答案】D

【名师点评】本题所涉及的函数为二次根式型函数，其自变量x的取值范围是使被开方数为非负数的实数.

例4（2016·门头沟二模）函数y=的自变量x的取值范围是．

【答案】x≠2

【名师点评】本题所涉及的函数为分式型函数，其自变量x的取值范围是使分母不为0的实数.

例5（2016·石景山二模）函数y=的自变量x的取值范围是（）

A．x≠3B．x>且x≠3C．x≥2D．x≥且x≠3

【答案】D

【名师点评】本题涉及的函数为综合型函数,自变量x的取值范围应满足使等式右侧的代数式有意义.

考点三函数图象

例6（2016·房山一模）如图1-8-2，在正方形ABCD中，AB=3厘米，动点M自点A出发沿AB方向以每秒1厘米的速度运动，同时动点N自点A出发沿折线AD—DC—CB以每秒3厘米的速度运动，到达点B时运动同时停止.设△AMN的面积为，运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系是（）

图1-8-2

ABCD

【答案】B

例7（2015·东城二模）如图1-8-3，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在边AB和边BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（）

图1-8-3

ABCD

【答案】B

例8（2016·丰台一模）如图1-8-4，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，O是AB的中点，动点P从B点开始沿着边BC，CD运动到点D结束.设BP=x，OP=y，则y关于x的函数图象大致为（）

图1-8-4

AB

CD

【答案】D

【名师点评】动点的函数图象是通过点、线或图形的运动构成一种函数关系，生成一种函数图象，将几何图形和函数关系有机地结合在一起，体现了数形结合的思想.解答时按照以下三个步骤进行思考：

一看，即结合几何图形和函数图象的变化趋势做初步判断；二找，即找特殊点，根据相应的自变量的值（或函数值）求出相应的函数值（或自变量的值），从而再利用排除法进行选择；三列，以上两个步骤行不通时再考虑列函数关系式.

考点四求点的坐标

例9（2016·西城二模）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，0）．P是第一象限内任意一点，连接PO，PA．若∠POA=m°，∠PAO=n°，则我们把P（m°，n°）叫做点P的“双角坐标”．例如，点（1，1）的“双角坐标”为（45°，90°）．

（1）点（，）的“双角坐标”为；

（2）若点P到x轴的距离为，则m+n的最小值为．

【答案】

（1）（60°，60°）

（2）90

例10（2016·昌平二模）已知：

如图1-8-5，在平面直角坐标系xOy中，点，的坐标分别为（1，0），（1，1）.将△绕原点O逆时针旋转90°，再将其各边都扩大为原来的m倍，使，得到△；将△绕原点O逆时针旋转90°，再将其各边都扩大为原来的m倍，使，得到△．如此下去，得到△．

图1-8-5

（1）m的值为；

（2）在△中，点的纵坐标为.

【答案】；－

例11（2016·东城二模）在平面直角坐标系中，小明玩走棋的游戏，其走法是：

棋子从原点出发，第1步向右走1个单位长度，第2步向右走2个单位长度，第3步向上走1个单位长度，第4步向右走1个单位长度，…，依次类推，第n步的走法是：

当n能被3整除时，则向上走1个单位长度；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位长度；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位长度.当走完第8步时，棋子所处位置的坐标是；当走完第2016步时，棋子所处位置的坐标是．

【答案】（9，2）；（2016，672）

【名师点评】此类问题是对点的坐标的规律变化的考查，学生往往需要通过图形（或画出图形），观察并求出至少5个点的坐标，再根据“从特殊到一般”的方法猜想出一般性结论，进而得出结果.

基础精练

1.（2016·房山一模）象棋在中国有着三千多年的历史，属于二人对抗性游戏的一种.由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的棋艺活动.如图1-8-6是一方的棋盘，如果“帅”的坐标是（0,1），“卒”的坐标是（2,2），那么“马”的坐标是（）

图1-8-6

A．（－2，1）B．（2，－2）C．（－2，2）D．（2，2）

【答案】C

2.（2016·通州一模）如图1-8-7，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是（－2，3），点C的坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是（）

A．（0，0）B．（－1，1）C．（－1，0）D．（－1，－1）

图1-8-7

【答案】B

3.（2016·朝阳期末）在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（3，1），则点B关于原点的对称点的坐标为（）

A.（3，－1）B.（－3，1）C.（－1，－3）D.（－3，－1）

【答案】D

4.（2016·昌平一模）在平面直角坐标系xOy中，将点A（－2，3）向右平移3个单位长度后得到的对应点A′的坐标是（）

A．（1，3）B．（－2，－3）C．（－2，6）D．（－2，1）

【答案】A

5.（2016·西城期末）如图1-8-8，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（－1，2），AB⊥x轴于点B．以原点O为位似中心，将△OAB放大为原来的2倍，得到△，且点在第二象限，则点的坐标为（）

图1-8-8

A.（－2，4）B.（－，1）C.（2，－4）D.（2，4）

【答案】A

6.（2016·朝阳二模）函数y=2x+的自变量x的取值范围是．

【答案】x≠－1

7.（2016·顺义二模）函数y=中，自变量x的取值范围是（）

A.x≠3B.x＞3C.x≥3D.x<3

【答案】C

8.（2015·大兴一模）函数y=中，自变量x的取值范围是（）

A.x≤2且x≠0B.x≤2C.x<2且x≠0D.x≠0

【答案】A

9.（2016·昌平二模）如图1-8-9，是雷达探测器测得的结果，图中显示在点A，B，C，D，E，F处有目标出现，目标的表示方法为（r，α），其中，r表示目标与探测器的距离；α表示以正东为始边，逆时针旋转后的角度.例如，点A，D的位置表示为A（5，30°），D（4，240°）.用这种方法表示点B，C，E，F的位置，其中表示正确的是（）

图1-8-9

A．B（2，90°）B．C（2，120°）C．E（3，120°）D．F（4，210°）

【答案】A

10.（2016·朝阳二模）一艘海上搜救船借助雷达探测仪寻找到事故船的位置，雷达示意图如图1-8-10所示，搜救船位于图中圆心O处，事故船位于距O点40海里的A处，雷达操作员要用方位角把事故船相对于搜救船的位置汇报给船长，以便调整航向，下列四种表述方式中正确的为（）

图1-8-10

A．事故船在搜救船的北偏东60°方向

B．事故船在搜救船的北偏东30°方向

C．事故船在搜救船的北偏西60°方向

D．事故船在搜救船的南偏东30°方向

【答案】B

11.（2016·平谷二模）如图1-8-11，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在边AB和BC上移动，若点P的运动路程为x，DP=y，则y关于x的函数图象大致为（）

图1-8-11

ABCD

【答案】B

12.（2016·房山二模）如图1-8-12，在平面直角坐标系中，点A,B,C的坐标分别为（1，0），（0，1），（－1，0）．一个电动玩具从坐标原点O出发，第一次跳跃到点，使得点与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称；第五次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称……照此规律重复下去，则点的坐标为，点的坐标为．

图1-8-12

【答案】（－2,0）;（0,0）

真题演练

1.（2016·北京）如图1-8-13，直线m⊥n.在某平面直角坐标系中，x轴∥m，y轴∥n，点A的坐标为（－4，2），点B的坐标为（2，－4），则坐标原点为（）

图1-8-13

A.B.C.D.

【答案】A

2.（2015·北京）如图1-8-14是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图.若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向.表示太和门的点坐标为（0，－1），表示九龙壁的点的坐标为（4，1），则下列表示宫殿的点的坐标正确的是（）

图1-8-14

A．景仁宫（4，2）B．养心殿（－2，3）

C．保和殿（1，0）D．武英殿（－3.5，－4）

【答案】B

3.（2015·北京）函数y=+的自变量x的取值范围是.

【答案】x≠0

4.（2015·天津）在平面直角坐标系中，把点P（－3，2）绕原点O顺时针旋转180°，所得到的对应点P′的坐标为（）

A.（3，2）B.（2，－3）C.（－3，－2）D.（3，－2）

【答案】D

5.（2011·北京）如图1-8-15，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC＝30°，AB=2,D是AB边上的一个动点（不与点A，B重合），过点D作CD的垂线交射线CA于点E.设AD=x，CE＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系图象大致是（）

图1-8-15

ABCD

【答案】B

第二节一次函数

课标解读

考试内容

考试要求

考查频度

A

B

C

一次函数

理解正比例函数；了解一次函数的意义，会利用待定系数法确定一次函数的表达式；了解一次函数与二元一次方程的关系

能根据已知条件确定一次函数的表达式；能画出一次函数的图象；结合图象与表达式，掌握当k＞0和k＜0时，一次函数图象的变化情况

能运用一次函数、方程、不等式的有关内容解决有关问题

★★★★

知识要点

1.一次函数y=kx+b（k,b为常数且k≠0）的图象是；当b=0时，一次函数y=kx（k≠0）又叫函数.

2.一次函数y=kx+b（k≠0）的图象所经过的象限：

当k>0,b=0时图象经过；当k<0,b=0时图象经过；当k>0,b>0时图象经过；当k>0,b<0时图象经过；当k<0,b<0时图象经过；当k<0,b>0时图象经过.

3.一次函数y=kx+b（k≠0）与x轴的交点坐标为；与y轴的交点坐标为.

4.一次函数y=kx+b（k≠0），当k>0时y随x的增大而；当k<0时y随x的增大而.

5.一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可由正比例函数y=kx的图象平移得到，当b>0，由正比例函数y=kx的图象平移b个单位长度；当b<0，由正比例函数y=kx的图象平移|b|个单位长度.

6.直线:

和直线:

平行，则且.

7.直线:

和直线:

垂直，则.

典例诠释

考点一一次函数的图象与性质

例1（2016·顺义二模）某函数符合如下条件：

①图象经过点（1，3）；②y随x的增大而减小.请写出一个符合上述条件的一次函数表达式.

【答案】y=－x+4（不唯一）

【名师点评】此题考查了一次函数的性质和解析式的确定，结论虽然开放，但不难看出y随x的增大而减小的条件是k<0，这是解决本题的关键.

例2（2015·东城二模）一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限且经过点（0,2）.任写一个满足上述条件的一次函数的表达式是.

【答案】y=x+2（不唯一）

【名师点评】本题考查了一次函数的性质和解析式的确定，通过图象所经过的象限可以判断出k>0，b>0,通过图象经过点（0,2），则可以确定b值.本题答案不唯一.

考点二待定系数法求一次函数表达式

例3（2016·西城二模改）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数=的图象与一次函数=ax+b的图象交于点A（1，3）和点B（－3，m）．求反比例函数=和一次函数=ax+b的表达式.

【答案】=;=x+2

【解题思路】借助反比例函数的图象经过已知点A，可以求出k的值；利用反比例函数表达式进一步求出B点坐标；在已知A，B点坐标的情况下，将两个点的坐标代入一次函数表达式，即可求出a,b的值.

例4（2014·门头沟二模）如图1-8-16，直线AB与y轴交于点A,与x轴交于点B，点A的纵坐标、点B的横坐标如图所示．

图1-8-16

（1）求直线AB的解析式.

（2）点P在直线AB上，是否存在点P使得△AOP的面积为1？

如果有，请直接写出所有满足条件的点P的坐标.

【答案】

（1）y=－x+2

（2）或

【名师点评】本题主要考查了一次函数表达式的确定，第

（2）问点P的坐标注意分类讨论，点P的横坐标的绝对值应满足：

=1.这是正确解答本题的一个难点.

考点三一次函数的应用

例5（2016·东城二模）如图1-8-17所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省（）

图1-8-17

A．1元B．2元C．3元D．4元

【答案】B

【解题思路】根据图象信息分别求出一次购买3千克苹果应付的金额和分三次每次购买1千克苹果应付的金额，作差比较即可得到本题答案.

例6（2016·海淀二模）随着“互联网+”时代的到来，一种新型的打车方式受到大众欢迎．该打车方式采用阶梯收费标准．打车费用y（单位：

元）与行驶里程x（单位：

千米）的函数关系如图1-8-18所示．如果小明某次打车行驶里程为20千米，则他的打车费用为（）

图1-8-18

A．32元B．34元C．36元D．40元

【答案】B

【解题思路】从图象信息可以看出，打车费用按两个阶段收费，通过点（12,18）可以求出第一阶段打车每千米需付费1.5元；第二阶段打车每千米需付费元；打车里程为20千米的打车费用可列式为.

考点四一次函数、方程、不等式

例7（2015·怀柔一模）如图1-8-19，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x≥ax+4的解集为（）

图1-8-19

A.x≥B.x≤3C.x≤D.x≥3

【答案】A

【解题思路】通过函数y=2x的图象过交点A,可以求出A点横坐标m的值；不等式2x≥ax+4的解集就是正比例函数图象在一次函数图象的上方（含交点）时对应自变量x的取值范围.

例8（2015·石景山二模）如图1-8-20所示，已知函数y=x+b和y=ax－1的图象的交点为M，则不等式x+b

图1-8-20

【答案】x<－1

【解题思路】要求不等式x+b

基础精练

1.（2016·门头沟一模）某市乘出租车所付车费y（元）与行车里程x（千米）之间函数关系的图象如图1-8-21所示，那么该市乘出租车超过3千米后，每千米的费用是（）

图1-8-21

A．0.71元B．2.3元C．1.75元D．1.4元

【答案】D

2.（2016·西城二模）某商店在节日期间开展优惠促销活动：

购买原价超过200元的

商品，超过200元的部分可以享受打折优惠．若购买商品的实际付款金额y（单位：

元）与商品原价x（单位：

元）的函数关系的图象如图1-8-22所示，则超过200元的部分可以享受的优惠是（）

图1-8-22

A．打八折B．打七折C．打六折D．打五折

【答案】B

3.（2016·丰台二模）商户小李以每件6元的价格购进某商品若干件到市场去销售，销售金额y（元）与销售量x（件）的函数关系的图象如图1-8-23所示，则降价后每件商品销售的价格为（）

图1-8-23

A.5元B.10元C.12.5元D.15元

【答案】B

4.（2015·门头沟二模）一辆自行车在公路上行驶，中途发生了故障,停下修理一段时间后继续前进．已知行驶路程S（千米）与所用时间t（时）的函数关系的图象如图1-8-24所示，那么自行车发生故障后继续前进的速度为（）

图1-8-24

A．20千米/时B．千米/时C．10千米/时D．千米/时

【答案】D

5.（2015·朝阳一模）请写出一个图象从左向右上升且经过点（－1，2）的函数，所写的函数表达式是．

【答案】y=x+3（不唯一）

6.（2016·海淀二模）请写出一个图象过（2，3）和（3，2）两点的函数解析式.

【答案】y=－x+5（不唯一）

7.（2016·西城二模）有一列有序数对：

（1，2），（4，5），（9，10），（16，17），…，按此规律，第5对有序数对为；若在平面直角坐标系xOy中，以这些有序数对为坐标的点都在同一条直线上，则这条直线的表达式为．

【答案】（25，26）；y=x+1

8.（2016·丰台一模）某市政府为了增强城镇居民抵御大病风险的能力，积极完善城镇居民医疗保险制度，纳入医疗保险的居民大病住院医疗费用的报销比例标准如下表：

医疗费用范围

报销比例标准

不超过800元

不予报销

超过800元且不超过3000元的部分

50%

超过3000元且不超过5000元的部分

60%

超过5000元的部分

70%

设享受医保的某居民一年的大病住院医疗费用为x元，按上述标准报销的金额为y元．请写出800＜x≤3000时，y关于x的函数关系式为.

【答案】y=x－400

9.（2016·房山二模）我们定义：

关于x的一次函数y=ax+b与y=bx+a叫做一对交换函数,例如y=3x+4与y=4x+3就是一对交换函数

（1）写出一次函数y=－2x+b的交换函数.

（2）当b≠－2时，写出

（1）中两个函数图象的交点的横坐标.

（3）如果

（1）中两个函数的图象与y轴围成三角形的面积为3,求b的值.

【答案】

（1）y=bx－2

（2）1（3）b=4或b=－8

10.（2015·朝阳二模）如图1-8-25，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=（m≠0）的图象交于A（－3，1），B（1，n）两点.

（1）求反比例函数和一次函数的表达式；

（2）设直线AB与y轴交于点C,若点P在x轴上，使BP=AC，请直接写出点P的坐标．

图1-8-25

【答案】

（1）y=－；y=－x－2

（2）（4，0）或（－2，0）

11.（2016·门头沟一模）如图1-8-26，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=－的图象与一次函数y=kx－k的图象的一个交点为A（－1，n）．

（1）求这个一次函数的表达式；

（2）如果P是x轴上一点，且满足∠APO=45°，直接写出点P的坐标．

图1-8-26

【答案】

（1）y=－x+1

（2）（－3，0）或（1，0）

12.（2016·海淀一模）在平面直角坐标系xOy中，直线y=－x与双曲线y=（k≠0）的一个交点为P（,m）.

（1）求k的值.

（2）将直线y=－x向上平移b（b>0）个单位长度后，与x轴、y轴分别交于点A、点B，与双曲线y=（k≠0）的一个交点记为Q.若BQ=2AB，求b的值.

【答案】

（1）k=－6

（2）b=1或b=

真题演练

1.（2016·北京）在1～7月份，某种水果的每斤进价与每斤售价的信息如图1-8-27所示，则出售该种水果每斤利润最大的月份是（）

图1-8-27

A.3月份B.4月份C.5月份D.6月份

【答案】B

2.（2014·北京）园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间，已知绿化面积S（单位：

平方米）与工作时间t（单位：

小时）的函数关系的图