人教版数学高二选修45导学案二第2课时绝对值不等式的解法.docx

人教版数学高二选修45导学案二第2课时绝对值不等式的解法.docx

《人教版数学高二选修45导学案二第2课时绝对值不等式的解法.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教版数学高二选修45导学案二第2课时绝对值不等式的解法.docx（15页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

人教版数学高二选修45导学案二第2课时绝对值不等式的解法

第2课时　绝对值不等式的解法

学习目标

　1.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：

|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c.2.理解并掌握绝对值不等式的几种解法，并能根据不等式的结构特征选择适当方法求解．

知识点一　|ax＋b|≤c和|ax＋b|≥c型不等式的解法

思考1　|x|≥2说明实数x有什么特征？

思考2　若|2x－3|≤5，求x的取值范围．

梳理　

（1）含绝对值不等式|x|＜a与|x|＞a的解法

①|x|＜a⇔

②|x|＞a⇔

（2）|ax＋b|≤c（c＞0）和|ax＋b|≥c（c＞0）型不等式的解法

①|ax＋b|≤c⇔__________________，

②|ax＋b|≥c⇔__________________.

知识点二　|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法

思考　如何去掉|x－a|＋|x－b|的绝对值符号？

梳理　|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法

（1）利用绝对值不等式的________________求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键．

（2）以绝对值的“________”为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符号内多项式的正、负性，进而去掉绝对值符号是解题关键．

（3）通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图象（有时需要考查函数的增减性）是解题关键．

特别提醒：

解含绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，去绝对值符号的关键是“零点分段”法．

类型一　|ax＋b|≤c与|ax＋b|≥c（c＞0）型的不等式的解法

例1　解下列不等式：

（1）|5x－2|≥8；

（2）2≤|x－2|≤4.

反思与感悟　|ax＋b|≥c和|ax＋b|≤c型不等式的解法

（1）当c＞0时，|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c，

|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c.

（2）当c＝0时，|ax＋b|≥c的解集为R，|ax＋b|＜c的解集为∅.

（3）当c＜0时，|ax＋b|≥c的解集为R，|ax＋b|≤c的解集为∅.

跟踪训练1　解下列不等式：

（1）3≤|x－2|＜4；

（2）||x－1|－4|＜2.

类型二　|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c（c＞0）型不等式的解法

例2　解关于x的不等式：

|3x－2|＋|x－1|＞3.

反思与感悟　|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c（c＞0）型不等式的三种解法：

分区间（零点分段）讨论法、图象法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况．

跟踪训练2　解不等式|x＋7|－|x－2|≤3.

类型三　含绝对值不等式的恒成立问题

例3　已知函数f（x）＝|2x＋1|＋|2x＋a|.

（1）当a＝－3时，求不等式f（x）≤6的解集；

（2）若关于x的不等式f（x）＞a恒成立，求实数a的取值范围．

引申探究

若f（x）＝|2x＋1|－|2x＋a|且f（x）＜a恒成立，求a的取值范围．

反思与感悟　不等式解集为R或为空集时，都可以转化为不等式恒成立问题．f（x）＜a恒成立⇔f（x）max＜a，f（x）＞a恒成立⇔f（x）min＞a.

跟踪训练3　已知不等式|x＋2|－|x＋3|＞m.根据以下情形分别求出m的取值范围．

（1）若不等式有解；

（2）若不等式的解集为R；

（3）若不等式的解集为∅.

1．不等式|x＋1|＞3的解集是（　　）

A．{x|x＜－4或x＞2}

B．{x|－4＜x＜2}

C．{x|x＜－4或x≥2}

D．{x|－4≤x＜2}

2．不等式

＞0的解集为（　　）

A．{x|x＞

或x＜－

}

B．{x|－

＜x＜

}

C．{x|x＞

或x＜－

且x≠－3}

D．{x|1＜x＜

}

3．不等式|x＋1|＋|x＋2|＜5的所有实数解的集合是（　　）

A．（－3,2）

B．（－1,3）

C．（－4,1）

D．（－

，

）

4．已知x为实数，且|x－5|＋|x－3|＜m有解，则m的取值范围是（　　）

A．m＞1B．m≥1

C．m＞2D．m≥2

5．解不等式|2x－1|＋|3x＋2|≥8.

1．解不等式|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c

（1）当c≥0时，|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c，解之即可；|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c，解之即可．

（2）当c＜0时，由绝对值的定义知|ax＋b|≤c的解集为∅，|ax＋b|≥c的解集为R.

2．解|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型的不等式的核心步骤是“零点分段”，即

（1）令每个绝对值符号里的一次式为零，求出相应的根；

（2）把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间；

（3）由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集；

（4）这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集．

答案精析

问题导学

知识点一

思考1　x在数轴上对应的点x到原点的距离大于等于2.∴x≥2或x≤－2.

思考2　{x|－1≤x≤4}．

梳理　

（1）①∅　②R　x∈R且x≠0x＞a或x＜－a

（2）①－c≤ax＋b≤c②ax＋b≥c或ax＋b≤－c

知识点二

思考　采用零点分段法．即令|x－a|＋|x－b|＝0，得x1＝a，x2＝b，（不妨设a＜b）

|x－a|＋|x－b|＝

梳理　

（1）几何意义　

（2）零点

题型探究

例1　解　

（1）|5x－2|≥8⇔5x－2≥8或5x－2≤－8⇔x≥2或x≤－

，

∴原不等式的解集为{x|x≥2或x≤－

}．

（2）原不等式等价于

由①得x－2≤－2或x－2≥2，

∴x≤0或x≥4，

由②得－4≤x－2≤4，∴－2≤x≤6.

∴原不等式的解集为{x|－2≤x≤0或4≤x≤6}．

跟踪训练1　解　

（1）方法一　原不等式等价于

由①，得x－2≤－3或x－2≥3，

∴x≤－1或x≥5，

由②，得－4＜x－2＜4，∴－2＜x＜6.

∴原不等式的解集为{x|－2＜x≤－1或5≤x＜6}．

方法二　3≤|x－2|＜4⇔3≤x－2＜4或－4＜x－2≤－3⇔5≤x＜6或－2＜x≤－1.

∴原不等式的解集为{x|－2＜x≤－1或5≤x＜6}．

（2）||x－1|－4|＜2⇔－2＜|x－1|－4＜2

⇔2＜|x－1|＜6⇔

⇔

⇔

⇔－5＜x＜－1或3＜x＜7.

∴不等式||x－1|－4|＜2的解集为

{x|－5＜x＜－1或3＜x＜7}．

例2　解　方法一　分类（零点分段）讨论法

|3x－2|＝0，|x－1|＝0的根

，1把实数轴分为三个区间，在这三个区间上根据绝对值的定义，代数式|3x－2|＋|x－1|有不同的解析表达式，因而原不等式的解集为以下三个不等式组解集的并集．

①因为当x≤

时，|3x－2|＋|x－1|＝2－3x＋1－x＝3－4x，

所以当x≤

时，|3x－2|＋|x－1|＞3⇔

3－4x＞3⇔x＜0.

因此，不等式组

的解集为{x|x＜0}．

②因为当

＜x＜1时，|3x－2|＋|x－1|＝3x－2＋1－x＝2x－1，

所以当

＜x＜1时，

|3x－2|＋|x－1|＞3⇔x＞2.

因此，不等式组

的解集为∅.

③因为当x≥1时，

|3x－2|＋|x－1|＝3x－2＋x－1＝4x－3，

所以当x≥1时，

|3x－2|＋|x－1|＞3⇔4x－3＞3⇔x＞

.

因此，不等式组

的解集为{x|x＞

}．

于是原不等式的解集为以上三个不等式组解集的并集，即{x|x＜0}∪∅∪{x|x＞

}＝{x|x＜0或x＞

}．

方法二　构造函数f（x）＝|3x－2|＋|x－1|－3，则原不等式的解集为{x|f（x）＞0}．

f（x）＝

作出函数f（x）的图象，如图．

它是分段线性函数，函数的零点是0和

.从图象可知，当x∈（－∞，0）∪（

，＋∞）时，有f（x）＞0.所以原不等式的解集是（－∞，0）∪（

，＋∞）．

跟踪训练2　解　令x＋7＝0，x－2＝0，

得x＝－7，x＝2.

①当x＜－7时，

不等式变为－x－7＋x－2≤3，

∴－9≤3成立，∴x＜－7.

②当－7≤x≤2时，

不等式变为x＋7＋x－2≤3，即2x≤－2，

∴x≤－1，∴－7≤x≤－1.

③当x＞2时，

不等式变为x＋7－x＋2≤3不成立，

即9≤3不成立，∴x∈∅.

∴原不等式的解集为（－∞，－1]．

例3　解　

（1）∵当a＝－3时，

f（x）＝|2x＋1|＋|2x－3|，

∴f（x）≤6，

等价于|2x＋1|＋|2x－3|－6≤0，

令g（x）＝|2x＋1|＋|2x－3|－6，

令|2x＋1|＝0，|2x－3|＝0，

得x1＝－

，x2＝

.

∴g（x）＝

作y＝g（x）的图象，如图，

∴f（x）≤6的解集为[－1,2]．

（2）∵f（x）＝|2x＋1|＋|2x＋a|≥

|（2x＋1）－（2x＋a）|＝|a－1|，

∴f（x）min＝|a－1|.

要使f（x）＞a恒成立，只需|a－1|＞a成立即可．

由|a－1|＞a，得a－1＞a或a－1＜－a，

∴a＜

，∴a的取值范围是（－∞，

）．

引申探究

解　∵f（x）＝|2x＋1|－|2x＋a|≤|（2x＋1）－（2x＋a）|＝|a－1|，

∴f（x）max＝|a－1|.

∵f（x）＜a恒成立，∴|a－1|＜a，

∴－a＜a－1＜a，∴a＞

，

∴a的取值范围是（

，＋∞）．

跟踪训练3　解　方法一　因|x＋2|－|x＋3|的几何意义为数轴上任意一点P（x）与两定点A（－2），B（－3）距离的差，即|x＋2|－|x＋3|＝|PA|－|PB|.

则（|PA|－|PB|）max＝1，

（|PA|－|PB|）min＝－1.

即－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.

（1）若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可，即m＜1，m的取值范围为（－∞，1）．

（2）若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最小值还小，即m＜－1，m的取值范围为（－∞，－1）．

（3）若不等式的解集为∅，m只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最大值即可，即m≥1，m的取值范围为[1，＋∞）．

方法二　由|x＋2|－|x＋3|≤|（x＋2）－（x＋3）|＝1，

|x＋3|－|x＋2|≤|（x＋3）－（x＋2）|＝1，可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.

（1）若不等式有解，则m∈（－∞，1）．

（2）若不等式的解集为R，则m∈（－∞，－1）．

（3）若不等式的解集为∅，则m∈[1，＋∞）．

当堂训练

1．A　2.C　3.C　4.C

5．解　

（1）当x≤－

时，

|2x－1|＋|3x＋2|≥8⇔1－2x－（3x＋2）≥8⇔－5x≥9⇔x≤－

，

∴x≤－

.

（2）当－

＜x＜

时，|2x－1|＋|3x＋2|≥8⇔1－2x＋3x＋2≥8⇔x≥5，

∴x∈∅.

（3）当x≥

时，|2x－1|＋|3x＋2|≥8⇔5x＋1≥8⇔5x≥7⇒x≥

，

∴x≥

.

∴原不等式的解集为（－∞，－

]∪[

，＋∞）．