北师大八年级上勾股定理题型总结.docx
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北师大八年级上勾股定理题型总结
北师大八年级上勾股定理题型总结
《勾股定理》典型例题分析
一、知识要点:
1、勾股定理
勾股定理:
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
也就是说:
如果直角三角形的两直角边为a、b,斜边为c,那么a2+b2=c2。
公式的变形:
a2=c2-b2,b2=c2-a2。
2、勾股定理的逆定理
如果三角形ABC的三边长分别是a,b,c,且满足a2+b2=c2,那么三角形ABC是直角三角形。
这个定理叫做勾股定理的逆定理.
该定理在应用时,同学们要注意处理好如下几个要点:
1已知的条件:
某三角形的三条边的长度.
②满足的条件:
最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.
③得到的结论:
这个三角形是直角三角形,并且最大边的对角是直角.
④如果不满足条件,就说明这个三角形不是直角三角形。
3、勾股数
满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数。
注意:
①勾股数必须是正整数,不能是分数或小数。
②一组勾股数扩大相同的正整数倍后,仍是勾股数。
常见勾股数有:
(3,4,5 )(5,12,13 )( 6,8,10 )
( 7,24,25 ) ( 8,15,17 )(9,12,15 )
4、最短距离问题:
主要运用的依据是两点之间线段最短。
二、考点剖析
考点一:
利用勾股定理求面积
1、求阴影部分面积:
(1)阴影部分是正方形;
(2)阴影部分是长方形;(3)阴影部分是半圆.
考点二:
在直角三角形中,已知两边求第三边
1.在直角三角形中,若两直角边的长分别为5cm,12cm,则斜边长为.
2.已知直角三角形的两边长为3、4,则另一条边长的平方是
3、已知直角三角形两直角边长分别为6和8,求斜边上的高.
4、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍,则斜边扩大到原来的()
A.2倍B.4倍C.6倍D.8倍
5、在Rt△ABC中,∠C=90°
①若a=5,b=12,则c=___________;
②若a=15,c=25,则b=___________;
③若c=61,b=60,则a=__________;
④若a∶b=3∶4,c=10则Rt△ABC的面积是=________。
6、如果直角三角形的两直角边长分别为
,2n(n>1),那么它的斜边长是( )
A、2nB、n+1C、n2-1D、
7、在Rt△ABC中,a,b,c为三边长,则下列关系中正确的是()
A.
B.
C.
D.以上都有可能
8、已知Rt△ABC中,∠C=90°,若a+b=14cm,c=10cm,则Rt△ABC的面积是( )
A、24
B、36
C、48
D、60
9、已知x、y为正数,且│x2-4│+(y2-3)2=0,如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形,那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为()
A、5B、25C、7D、15
考点三:
应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高
例、如图1所示,等腰
中,
,
是底边上的高,若
,求①AD的长;②ΔABC的面积.
考点四:
勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题
1、下列各组数据中的三个数,可作为三边长构成直角三角形的是()
A.4,5,6B.2,3,4C.11,12,13D.8,15,17
2、若线段a,b,c组成直角三角形,则它们的比为( )
A、2∶3∶4B、3∶4∶6C、5∶12∶13D、4∶6∶7
3、下面的三角形中:
①△ABC中,∠C=∠A-∠B;
②△ABC中,∠A:
∠B:
∠C=1:
2:
3;
③△ABC中,a:
b:
c=3:
4:
5;
④△ABC中,三边长分别为8,15,17.
其中是直角三角形的个数有().
A.1个B.2个C.3个D.4个
4、若三角形的三边之比为
,则这个三角形一定是()
A.等腰三角形B.直角三角形
C.等腰直角三角形D.不等边三角形
5、已知a,b,c为△ABC三边,且满足(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,则它的形状为( )
A.直角三角形B.等腰三角形
C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形
6、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是()
A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等腰三角形
7、若△ABC的三边长a,b,c满足
试判断△ABC的形状。
8、△ABC的两边分别为5,12,另一边为奇数,且a+b+c是3的倍数,则c应为,此三角形为。
例3:
求
(1)若三角形三条边的长分别是7,24,25,则这个三角形的最大内角是度。
(2)已知三角形三边的比为1:
:
2,则其最小角为。
考点五:
应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题
某楼梯的侧面视图如图3所示,其中AB=5,BC=3米,
,因某种活动要求铺设红色地毯,则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为 .
考点六、利用列方程求线段的长(方程思想)
1、小强想知道学校旗杆的高,他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后,发现下端刚好接触地面,你能帮他算出来吗?
2、一架长2.5
的梯子,斜立在一竖起的墙上,梯子底端距离墙底0.7
(如图),如果梯子的顶端沿墙下滑0.4
,那么梯子底端将向左滑动米
3、如图,一个长为10米的梯子,斜靠在墙面上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8米,如果梯子的顶端下滑2米,那么,梯子底端的滑动距离米.
4、在一棵树10m高的B处,有两只猴子,一只爬下树走到离树20m处的池塘A处;另外一只爬到树顶D处后直接跃到A外,距离以直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,试问这棵树有多高?
5、如图,是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图,根据图中标出尺寸(单位:
mm)计算两圆孔中心A和B的距离为.
6、如图:
有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,至少飞了米.
7、如图18-15所示,某人到一个荒岛上去探宝,在A处登陆后,往东走8km,又往北走2km,遇到障碍后又往西走3km,再折向北方走到5km处往东一拐,仅1km就找到了宝藏,问:
登陆点(A处)到宝藏埋藏点(B处)的直线距离是多少?
考点七:
折叠问题
1、如图,有一张直角三角形纸片,两直角边AC=6,BC=8,将△ABC折叠,使点B与点A重合,折痕为DE,则CD等于()
A.
B.
C.
D.
2、如图所示,已知△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线交BC于M,交AB于N,若AC=4,MB=2MC,求AB的长.
3、折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,求CF和EC。
4、如图,在长方形ABCD中,DC=5,在DC边上存在一点E,沿直线AE把△ADE折叠,使点D恰好在BC边上,设此点为F,若△ABF的面积为30,求折叠的△AED的面积
5、如图,矩形纸片ABCD的长AD=9㎝,宽AB=3㎝,将其折叠,使点D与点B重合,那么折叠后DE的长是多少?
6、如图,在长方形ABCD中,将
ABC沿AC对折至
AEC位置,CE与AD交于点F。
(1)试说明:
AF=FC;
(2)如果AB=3,BC=4,求AF的长
7、如图2所示,将长方形ABCD沿直线AE折叠,顶点D正好落在BC边上F点处,已知CE=3cm,AB=8cm,则图中阴影部分面积为_______.
8、如图2-3,把矩形ABCD沿直线BD向上折叠,使点C落在C′的位置上,已知AB=3,BC=7,重合部分△EBD的面积为________.
9、如图5,将正方形ABCD折叠,使顶点A与CD边上的点M重合,折痕交AD于E,交BC于F,边AB折叠后与BC边交于点G。
如果M为CD边的中点,求证:
DE:
DM:
EM=3:
4:
5。
10、如图,长方形ABCD中,AB=3,BC=4,若将该矩形折叠,使C点与A点重合,则折叠后痕迹EF的长为()
A.3.74B.3.75C.3.76D.3.77
11、如图1-3-11,有一块塑料矩形模板ABCD,长为10cm,宽为4cm,将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上(不与A、D重合),在AD上适当移动三角板顶点P:
①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C?
若能,请你求出这时AP的长;若不能,请说明理由.
②再次移动三角板位置,使三角板顶点P在AD上移动,直角边PH始终通过点B,另一直角边PF与DC的延长线交于点Q,与BC交于点E,能否使CE=2cm?
若能,请你求出这时AP的长;若不能,请你说明理由.
12、如图所示,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC边上的点,且DE⊥DF,若BE=12,CF=5.求线段EF的长。
13、如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且∠QPN=30°,点A处有一所中学,AP=160m。
假设拖拉机行驶时,周围100m以内会受到噪音的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到噪声影响?
请说明理由,如果受影响,已知拖拉机的速度为18km/h,那么学校受影响的时间为多少秒?
考点八:
应用勾股定理解决勾股树问题
1、
如图所示,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为5,则正方形A,B,C,D的面积的和为
2、已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形,以Rt△ABC的斜边AC为直角边,画第二个等腰Rt△ACD,再以Rt△ACD的斜边AD为直角边,画第三个等腰Rt△ADE,…,依此类推,第n个等腰直角三角形的斜边长是.
考点九、图形问题
1、如图1,求该四边形的面积
2、如图2,已知,在△ABC中,∠A=45°,AC=
,AB=
+1,则边BC的长为.
3、某公司的大门如图所示,其中四边形ABCD是长方形,上部是以AD为直径的半圆,其中AB=2.3m,BC=2m,现有一辆装满货物的卡车,高为2.5m,宽为1.6m,问这辆卡车能否通过公司的大门?
并说明你的理由
.
4、将一根长24㎝的筷子置于地面直径为5㎝,高为12㎝的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长为h㎝,则h的取值范围。
5、如图,铁路上A、B两点相距25km,C、D为两村庄,DA垂直AB于A,CB垂直AB于B,已知AD=15km,BC=10km,现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E,使得C、D两村到E站的距离相等,则E站建在距A站多少千米处?
考点十、航海问题
1、一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行,另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行,经过1.5小时后,它们相距________海里
2、如图,某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处,在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上。
该货船航行30分钟到达B处,此时又测得该岛在北偏东30°的方向上,已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁,若继续向正东方向航行,该货船有无暗礁危险?
试说明理由。
3、如图,某沿海开放城市A接到台风警报,在该市正南方向260km的B处有一台风中心,沿BC方向以15km/h的速度向D移动,已知城市A到BC的距离AD=100km,那么台风中心经过多长时间从B点移到D点?
如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险,正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险?
考点十一、网格问题
1、如图,正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则网格上的三角形ABC中,边长为无理数的边数是()
A.0B.1C.2D.3
2、如图,正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,则△ABC是()
A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对
3、如图,小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是()
A.25B.12.5C.9D.8.5
(图1)(图2)(图3)
4、如图,正方形网格中的每个小正方形边长都是1,每个小格的顶点叫格点,以格点为顶点分别按下列要求画三角形:
①使三角形的三边长分别为3、
、
(在图甲中画一个即可);
②使三角形为钝角三角形且面积为4(在图乙中画一个即可).