届山西省忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中高三第四次四校联考理科数学试题及答案.docx

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届山西省忻州一中康杰中学临汾一中长治二中高三第四次四校联考理科数学试题及答案

2017届高三年级第四次四校联考

数学试题（理科）

【考试时间120分钟，满分150分】

第Ⅰ卷（选择题60分）

一、选择题：

本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

1.设U=R，A={xy=x},B={yy=－x2}，则A∩（CUB）=（）

A.B.RC.{xx>0}D.{0}

2.设复数（是虚数单位），则（）

A．B．C．D．

3.下图是一个体积为10的空间几何体的三视图，则图中x的值为（）

A.2B.3C.4D.5

4.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）

A.3B.－6C.10D.－15

5.实数满足,若的最大值为13,则实数（）.

A.2B.C.D.5

6.等比数列满足,且，则当时，

（）

A.B.C.D.

7.已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω>0,<）的部分图象如图所示，则y=f（x+）取得最小值时x的集合为（）

A.{xx=k,kZ}B.{xx=k,kZ}

C.{xx=2k-,kZ}D.{xx=2k,kZ}

8.右图可能是下列哪个函数的图象（）

o

A.y=2x－x2－1B.y=

C.y=（x2－2x）exD.y=

9.向边长分别为的三角形区域内随机投一点，则该点与三角形三个顶点距离都大于1的概率为（）

A．B.C.D.

10.航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼-15飞机准备着舰.如果甲、乙两机必须相邻着舰，而甲、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（）

A．12种B.16种C.24种D.36种

11.三棱锥P—ABC的四个顶点均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，PA⊥平面ABC，

PA＝2AB＝6，则该球的体积为（　）

A．16πB．32πC．48πD．64π

12.已知双曲线，过其左焦点作轴的垂线，交双曲线于两点，若双曲线的右顶点在以为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（）

A．B．C．D．

第Ⅱ卷（非选择题90分）

二、填空题:

本大题共4小题,每小题5分,共20分.

13.如果（2x－1）6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，那么a1＋a2＋…＋a6的值等于.

14.圆O为△ABC的外接圆，半径为2，若＋＝2，且||＝||，则向量在向量方向上的投影为.

15.已知,有且仅有一个零点时，则的取值范围是.

16.若数列与满足，且,设数列的前项和为，则=.

三、解答题:

本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．

cosA＝，sinB＝cosC．

（1）求tanC的值；

（2）若a＝，求ABC的面积．

18.（本小题满分12分）学校设计了一个实验学科的考查方案：

考生从6道备选题中一次随机抽取3道题，按照题目要求独立完成全部实验操作，并规定：

在抽取的3道题中，至少正确完成其中2道题便可通过考查.已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都为，且每题正确完成与否互不影响.

（1）求考生甲正确完成题目个数ξ的分布列和数学期望；

（2）用统计学知识分析比较甲、乙两考生哪位实验操作能力强及哪位通过考查的可能性大？

19.（本小题满分12分）如图，在几何体ABCDEF中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠ABC＝60°,四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF＝1．

（1）求证：

平面FBC⊥平面ACFE；

（2）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成

二面角的平面角为θ（θ90°），试求cosθ的取值范围．

20.（本小题满分12分）抛物线C1：

的焦点与椭圆C2：

的一个焦点相同.设椭圆的右顶点为A，C1,C2在第一象限的交点为B，O为坐标原点，且的面积为.

（1）求椭圆C2的标准方程；

（2）过A点作直线交C1于C,D两点，连接OC,OD分别交C2于E,F两点，记，的面积分别为,.问是否存在上述直线使得，若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.

21.（本小题满分12分）设函数

（1）判断函数f（x）在（0,+∞）上的单调性；

（2）证明：

对任意正数a，存在正数x，使不等式f（x）-1

请考生在22、23、24中任选一题作答.注意：

只能做所选定的题目.如果多做,则按所做第一个题目计分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.

22.（本题满分10分）选修4-1：

几何证明选讲

如图，过圆外一点作一条直线与圆交于两点，且，作直线与圆相切于点，连结交于点，已知圆的半径为2，

（1）求的长；

（2）求证：

.

23.（本题满分10分）选修4-4：

坐标系与参数方程选讲

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为

（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）设为曲线上的动点，求点到上点的距离的最小值，并求此时点的坐标.

24.（本题满分10分）选修4-5：

不等式选讲

设函数

（1）求函数的最小值;

（2）若恒成立，求实数a的取值范围.

2017届高三年级第四次四校联考

数学（理科）答案

一、选择题

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

C

D

A

D

C

A

B

C

A

D

B

A

二、填空题

13.014.3

15．b≥1或b=或b≤016.560

三、解答题

17．解：

（1）∵cosA＝∴sinA＝，……………2分

又cosC＝sinB＝sin（A＋C）＝sinAcosC＋sinCcosA

＝cosC＋sinC．……………5分

整理得：

tanC＝．……………6分

（2）由

（1）知sinC＝，cosC＝

由正弦定理知：

，故．……………9分

又∵sinB＝cosC=……………10分

∴ABC的面积为：

S＝=．……………12分

18.解：

（1）设考生甲正确完成实验操作的题目个数分别为，则可能取值为1,2,3

……………3分

所以，考生甲正确完成题目数的分布列为

1

2

3

所以……………5分

（2）设考生乙正确完成实验操作的题目个数为

因为，其分布列为：

所以……………6分

又因为

……………8分

所以

又因为，……………10分

所以

①从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较稳定；

②从至少完成2题的概率考查，甲获得通过的可能性大，

因此，可以判断甲的实验操作能力强.……………12分

19.

（1）证明：

在四边形ABCD中，∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°,∴AB=2，

∴AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos60°=3,∴AB2=AC2+BC2,∴BC⊥AC.

∵平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面ACFE.

又因为BC⊂平面FBC，所以平面ACFE⊥平面FBC，.............5分

（2）解：

由

（1）可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示的空间直角坐标系，令FM=λ（0≤λ≤）,则C（0，0，0），A（，0，0），B（0，1，0），M（λ，0，1），

∴=（－，1，0），=（λ，-1，1），

设n1=（x,y,z）为平面MAB的一个法向量，由,得

取x=1,则n1=（1,,）,

∵n2=（1,0,0）是平面FCB的一个法向量,

∴cos===...........10分

∵0≤λ≤,∴当λ=0时，cosθ有最小值，

当λ=时，cosθ有最大值.

∴cosθ∈［］..............12分

20.解：

（1）∵∴焦点∴即……………1分

又∵∴……………2分

代入抛物线方程得.又B点在椭圆上得，

∴椭圆C2的标准方程为.……………4分

（2）设直线的方程为，由得

设，所以……………6分

又因为

直线的斜率为，故直线的方程为，

由得，同理

所以

则，……………10分

所以，

所以，故不存在直线使得……………12分

21.解：

（1）由题意知：

，f（x）==,……………2分

令h（x）=（x-1）ex+1,则h（x）=xex>0,

∴h（x）在（0，+∞）上是增函数，……………3分

又h（0）=0，∴h（x）>0,则f（x）>0,

∴f（x）在（0,+∞）上是单调增函数.……………5分

（2）f（x）-1=,不等式f（x）-1

令G（x）=ex-（a+1）x-1,G（x）=ex-（a+1）,……………7分

由G（x）=0得：

x=ln（a+1）,

当0

当x>ln（a+1）时，G（x）>0,

∴当x=ln（a+1）时，G（x）min=a-（a+1）ln（a+1）,……………9分

令（a）=-ln（a+1）,（a≥0）（a）=-=－<0,

又（0）=0,

∴当a>0时，（a）<（0）=0,

即当x=ln（a+1）时，G（x）min=a-（a+1）ln（a+1）<0.……………11分

故存在正数x=ln（a+1），使不等式F（x）-1

22.（本题满分10分）选修4-1：

几何证明选讲

解：

（1）延长交圆于点，连结，

则，

又，所以，

又可知，所以

根据切割线定理得，即

证明：

过作于，则，

从而有，又由题意知

所以，因此，即

23.（本题满分10分）选修4-4：

坐标系与参数方程选讲

解：

（1）由曲线：

得

两式两边平方相加得：

即曲线的普通方程为：

由曲线：

得：

即，所以

即曲线的直角坐标方程为:

（2）由

（1）知椭圆与直线无公共点，椭圆上的点到直线的距离为

所以当时，的最小值为，此时点的坐标为

24.（本题满分10分）选修4-5：

不等式选讲

答案：

（1）由题意得

所以f（x）在上单调递减，在上单调递增.

所以当时取得最小值

此时

（2）由

（1）及可知恒过点过

由图象可知