图论相关问题.docx
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图论相关问题
图论相关问题
图论中的图是指表示具体事物的集合V和事物之间的关系集合E所组成的偶对。
集合V,集合E中的元素称为图的边。
注:
一般:
用
（也用n或p表示）和
（也用m或q表示）分别表示图G的顶点数和边数。
注：
无向图一般用G表示，有向图一般用D表示。
一、最短路问题（多阶段决策问题）
（1）相关概念
Df1通路：
在无向图G=（V,E）中，顶点与边的有限非空交替序列w=v0e1v1e2…ekvk称为一条从v0到vk的通路，记为:
其中:
ei的端点是vi-1,vi。
Df2道路：
边不重复的通路称为道路,记为。
Df3路径：
顶点不重复（边自然不重复）的通路称为路径,记为。
Df4链：
若途径的边均不相同，则称为链。
Df5圈：
起点和终点重合的路径称为圈。
Df6连通图：
任意两点间均有通路的图称为连通图。
Df7最短路：
在赋权图G中,从顶点u到顶点v的具有最小权的路P*（u,v）,称为u到v的最短路。
（2）模型形式与背景
设备更新问题
选址问题
中心问题：
要求网络中最远的被服务点离服务设施的距离尽可能小。
重心问题：
要求设施到所有服务对象点的距离总和最小，一般要考虑人口密度问题，要使全体服务对象来往的平均路程最短。
线路的布设
运输安排
运输网络最小费用流
旅游线路中的最短路
（3）算法实现：
Dijkstra算法
设G为赋权有向图或无向图，G边上的权均非负，G为（p,q）图：
（1）令l（v0）=0（l（vi）表示从起点v0到vi的最短路长），当v≠v0，令：
l（vi）=∞，S0=v0，i=0；
（2）对每一个u∈Si，用min{l（u）,l（vi）+l（vi,u）}代替l（u），算出min{l（u）|u∈Si}，设vi+1是达到这个极小值的一个顶点，令Si+1=Si∪{vi+1}；其中Si=V-Si表示Si的补集。
（3）如果i=p-1，则停止，如果i（2）（其中p为图的阶数）。
无向图最短路问题Lingo程序：
model:
sets:
!
优化建模lingo、lindo软件p290求出的最短路就是看x（i，j）的取值，1就是ij之间有连线，0就是i之间没连线;
cities/1..11/;
roads（cities,cities）:
p,w,x;
endsets
data:
p=！
邻接矩阵;
w=！
带权邻接矩阵；
enddata
n=@size（cities）;
min=@sum（roads:
w*x）;
@for（cities（i）|i#ne#1#and#i#ne#n:
@sum（cities（j）:
p（i,j）*x（i,j））=@sum（cities（j）:
p（j,i）*x（j,i）））;
@sum（cities（j）:
p（1,j）*x（1,j））=1;
End
有向图最短路问题2Lingo程序（相对熟悉）
model:
sets:
cities/1..7/;
roads（cities,cities）/1,21,32,42,52,63,43,53,64,75,76,7/:
w,x;
endsets
data:
w=24331231134;
enddata
n=@size（cities）;
min=@sum（roads:
w*x）;
@for（cities（i）|i#ne#1#and#i#ne#n:
@sum（roads（i,j）:
x（i,j））=@sum（roads（j,i）:
x（j,i）））;
@sum（roads（i,j）|i#eq#1:
x（i,j））=1;
end
有向图最短路问题1Lingo程序：
model:
sets:
nodes/1..6/;
arcs（nodes,nodes）|&1#lt#&2:
c,x;!
）|&1#lt#&2:
endsets
data:
c=7122131447122131712217127;
enddata
n=@size（nodes）;
min=@sum（arcs:
c*x）;
@for（nodes（i）|i#ne#1#and#i#ne#n:
@sum（arcs（i,j）:
x（i,j））=@sum（arcs（j,i）:
x（j,i）））;
@sum（arcs（i,j）|i#eq#1:
x（i,j））=1;
end
Floyd算法
D（i，j）：
i到j的距离；
R（i，j）：
i到j的插入点。
输入带权邻接矩阵W（i，j），
（1）赋初值；对所有i，j：
d（i，j）←W（i，j），r（i，j）←j，k←1
（2）更新d（i，j），r（i，j）：
对所有i，j，若：
d（i，k）+d（k，j）d（i,j）←d（i,k）+d（k,j）,r（i,j）←k
（3）若k=p,停止;否则:
k←k+1,转
（2）。
floyd求最短路问题Matlab程序：
clear;clc;
n=23;a=zeros（n）;
a（1,2）=8.6;a（2,3）=9.8;a（3,4）=8.1;a（4,5）=7.2;a（5,6）=11.8;a（6,17）=9.7;a（17,18）=8.3;a（18,19）=4.8;a（19,20）=8.2;a（20,21）=12.7;a（18,22）=9.2;a（22,23）=11.5;a（6,7）=7.3;a（7,8）=7.2;a（8,9）=8.0;a（8,10）=14.2;a（10,11）=6.8;a（8,12）=7.8;a（12,13）=5.6;a（13,14）=10.8;a（13,15）=12.2;
a（15,16）=10.2;%（带权邻接矩阵）；
b=a+a';path=zeros（n）;
fori=1:
n
path（:
i）=i;
end
fori=1:
n
forj=1:
n
ifb（i,j）==0&i~=j
b（i,j）=inf;
end
end
end
fork=1:
n
fori=1:
n
forj=1:
n
ifb（i,j）>b（i,k）+b（k,j）
b（i,j）=b（i,k）+b（k,j）;
path（i,j）=k;
end
end
end
end
b,path
Floyd—warshall算法
二、最小生成树问题
（1）相关概念
Df树：
连通无圈图称为树。
（2）模型形式与背景
最短路问题：
设有一个铁路系统连接着若干个城市，x1是该系统中的一个固定城市，在该系统中试求从x1到其他各城市的最短路线。
（该问题可转化为在G=（V,E）的赋权图中找根x1在且权和最小的支撑树。
更一般地，设是有正值加权简单有向图，x1是G中的一个固定顶点，寻找根x1在的支撑外向树。
）
最小连接问题：
假设在某地区内要修建一个连接若干个城镇的公路系统，已知
与
之间直通公路的造价为
，试设计一个造价最低的建造方案。
城市供水、供电、供气系统中所有阀门或供电系统中的开关作为模拟图的顶点，而把供水、气管道或供电线路作为模拟图的边。
使得管道或电缆的长度之和最小，即费用最小。
（3）算法实现
Kruskal算法:
设G为由m个节点组成的联通赋权图。
（1）先把G中所有边按权数大小由小到大重新排列，并取权数最小的一边取为T中的边。
（2）从剩下的边中按
（1）中排列取下一条边，若该边与以前已取进T中的边形成某个回路，则舍去该边；否则也把该边也取进T中。
最小生成树Lingo程序：
model:
sets:
cities/1..10/:
level;!
优化建模lindo、lingo软件p300利用Kruskal算法求解;
link（cities,cities）:
distance,x;
endsets
data:
distance=！
带权邻接矩阵;
enddata
n=@size（cities）;
min=@sum（link（i,j）|i#ne#j:
distance（i,j）*x（i,j））;
@sum（cities（i）|i#gt#1:
x（1,i））>=1;
@for（cities（i）|i#gt#1:
@sum（cities（j）|j#ne#i:
x（j,i））=1;
@for（cities（j）|j#gt#1#and#j#ne#i:
level（j）>=level（i）+x（i,j）-（n-2）*（1-x（i,j））+（n-3）*x（j,i）;
）;
@bnd（1,level（i）,999999）;
level（i）<=n-1-（n-2）*x（1,i）;）;
@for（link:
@bin（x））;
End
最小生成树Matlab程序：
function[Wt,Pp]=mintreek（n,W）
%图论中最小生成树Kruskal算法及画图程序M-函数
%格式[Wt,Pp]=mintreek（n,W）：
n为图顶点数,W为图的带权邻接矩
%阵，不构成边的两顶点之间的权用inf表示。
显示最小生成树的边及
%顶点,Wt为最小生成树的权,Pp（:
1:
2）为最小生成树边的两顶点,
%Pp（:
3）为最小生成树的边权,Pp（:
4）为最小生成树边的序号;
%附图,红色连线为最小生成树的图;
%例如
%n=6;w=inf*ones（6）;
%w（1,[2,3,4]）=[6,1,5];w（2,[3,5]）=[5,3];
%w（3,[4,5,6]）=[5,6,4];w（4,6）=2;w（5,6）=6;
%[a,b]=mintreek（n,w）
%ByX.D.DingJune2000
tmpa=find（W~=inf）;[tmpb,tmpc]=find（W~=inf）;
w=W（tmpa）;e=[tmpb,tmpc];%w是W中非inf元素按列构成的向量
%e的每一行元素表示一条边的两个顶点的序号
[wa,wb]=sort（w）;E=[e（wb,:
）,wa,wb];[nE,mE]=size（E）;
temp=find（E（:
1）-E（:
2））;E=E（temp,:
）;
P=E（1,:
）;k=length（E（:
1））;
while（rank（E）>0）
temp1=max（E（1,2）,E（1,1））;temp2=min（E（1,2）,E（1,1））;
fori=1:
k;
if（E（i,1）==temp1）,E（i,1）=temp2;end;
if（E（i,2）==temp1）,E（i,2）=temp2;end;
end;
a=find（E（:
1）-E（:
2））;E=E（a,:
）;
if（rank（E）>0）,P=[P;E（1,:
）];k=length（E（:
1））;end;
end;
Wt=sum（P（:
3））;Pp=[e（P（:
4）,:
）,P（:
3:
4）];
fori=1:
length（P（:
3））;%显示顶点vi与边ej
disp（['','e',num2str（P（i,4））,'','（v',...
num2str（P（i,1））,'','v',num2str（P（i,2））,'）']）;
end;
%以下是画图程序
axisequal;holdon
[x,y]=cylinder（1,n）;xm=min（x（1,:
））;ym=min（y（1,:
））;
xx=max（x（1,:
））;yy=max（y（1,:
））;
axis（[xm-abs（xm）*0.15,xx+abs（xx）*0.15,ym-abs（ym）*0.15,yy+abs（yy）*0.15]）;plot（x（1,:
）,y（1,:
）,'ko'）
fori=1:
n;temp=['v',int2str（i）];
text（x（1,i）,y（1,i）,temp）;end;
fori=1:
nE;plot（x（1,e（i,:
））,y（1,e（i,:
））,'b'）;end;
fori=1:
length（P（:
4））;
plot（x（1,Pp（i,1:
2））,y（1,Pp（i,1:
2））,'r'）;end;
text（-0.35,-1.2,['最小生成树的权为','',num2str（Wt）]）;
title（'红色连线为最小生成树'）;axis（'off'）;holdoff
Prim算法：
（1）先在G中任取一个节点
，并取进T中；
（2）令S=E（G）\E（T）,其中E（G）,E（T）分别为G与T的节点集；
（3）在所有连接E（T）的节点与S的节点的边中，选取权数最小的边（
）,即
（4）将边（
）取入T中。
（5）重复步骤
（2）~（4），直至G中的节点都取入T中为止。
最小生成树的Matlab程序：
clc;clear;
M=1000;
a（1,2）=50;a（1,3）=60;a（2,4）=65;a（2,5）=40;
a（3,4）=52;a（3,7）=45;a（4,5）=50;a（4,6）=30;a（4,7）=42;
a（5,6）=70;a=[a;zeros（2,7）];
a=a+a';a（find（a==0））=M;
result=[];p=1;tb=2:
length（a）;
whilelength（result）~=length（a）-1
temp=a（p,tb）;temp=temp（:
）;
d=min（temp）;
[jb,kb]=find（a（p,tb）==d）;
j=p（jb
（1））;k=tb（kb
（1））;
result=[result,[j;k;d]];p=[p,k];tb（find（tb==k））=[];
end
result%result的第一、二、三行分别表示生成树边的起点、终点、权。
三、匹配问题
（1）相关概念
Df1匹配：
设图G=（V，E），M是E的子集，若M的边互不相邻，则称M是G的一个匹配。
M的边称为匹配边，E\M的边称为自由边。
注：
若（u,v）∈M,则称u（或v）是v（或u）的配偶.若顶点v与M的一条边关联,则称v是M-饱和的;否则称为是M-非饱和的.
设M是G的一个匹配,若G的每个顶点都是M-饱和的,则称M是G的完美匹配。
设M是G的一个匹配,若不存在匹配M,使得:
|M|>|M|.则称M为G的最大匹配。
最大匹配不一定是完美匹配，完美匹配一定是最大匹配。
（2）模型形式与背景
工作安排问题：
情形一：
n个工人:
x1,x2,…,xn;n件工作:
y1,y2,…,yn，已知工人xi能胜任ki件工作（i=1,2,…,n）,问能否存在一种安排使每人能分配到他能胜任的一件工作,若能,如何安排?
情形二：
假设有:
n个工人:
x1,x2,…,xn；n件工作:
y1,y2,…,yn，若工人xi担任工作yj的效率为wij（i,j=1,2,…,n）,对每人分配一件工作,使得总效率最大。
（3）算法实现
匈牙利（Hungarian）算法:
求二元图的最大匹配。
匈牙利算法求最大匹配的Matlab程序：
m=5;n=5;A=[01100%匈牙利算法的MATLAB程序代码如下：
11011
01100
01100
00011];
M（m,n）=0;
for（i=1:
m）for（j=1:
n）if（A（i,j））M（i,j）=1;break;end;end%求初始匹配M
if（M（i,j））break;end;end%获得仅含一条边的初始匹配M
while
（1）
for（i=1:
m）x（i）=0;end%将记录X中点的标号和标记*
for（i=1:
n）y（i）=0;end%将记录Y中点的标号和标记*
for（i=1:
m）pd=1;%寻找X中M的所有非饱和点
for（j=1:
n）if（M（i,j））pd=0;end;end
if（pd）x（i）=-n-1;end;end%将X中M的所有非饱和点都给以标号0和标记*,程序中用n+1表示0标号,标号为负数时表示标记*
pd=0;
while
（1）xi=0;
for（i=1:
m）if（x（i）<0）xi=i;break;end;end%假如X中存在一个既有标号又有标记*的点,则任取X中一个既有标号又有标记*的点xi
if（xi==0）pd=1;break;end%假如X中所有有标号的点都已去掉了标记*,算法终止
x（xi）=x（xi）*（-1）;%去掉xi的标记*
k=1;
for（j=1:
n）if（A（xi,j）&y（j）==0）y（j）=xi;yy（k）=j;k=k+1;end;end%对与xi邻接且尚未给标号的yj都给以标号i
if（k>1）k=k-1;
for（j=1:
k）pdd=1;
for（i=1:
m）if（M（i,yy（j）））x（i）=-yy（j）;pdd=0;break;end;end%将yj在M中与之邻接的点xk（即xkyj∈M）,给以标号j和标记*
if（pdd）break;end;end
if（pdd）k=1;j=yy（j）;%yj不是M的饱和点
while
（1）P（k,2）=j;P（k,1）=y（j）;j=abs（x（y（j）））;%任取M的一个非饱和点yj,逆向返回
if（j==n+1）break;end%找到X中标号为0的点时结束,获得M-增广路P
k=k+1;end
for（i=1:
k）if（M（P（i,1）,P（i,2）））M（P（i,1）,P（i,2））=0;%将匹配M在增广路P中出现的边去掉
elseM（P（i,1）,P（i,2））=1;end;end%将增广路P中没有在匹配M中出现的边加入到匹配M中
break;end;end;end
if（pd）break;end;end%假如X中所有有标号的点都已去掉了标记*,算法终止
M%显示最大匹配M,程序结束
Kuhn-Munkres可行顶点标号法:
求赋权完备二元图的最佳匹配。
求完美匹配Matlab程序：
n=4;A=[4551
2246
4233
5021];
for（i=1:
n）L（i,1）=0;L（i,2）=0;end
for（i=1:
n）for（j=1:
n）if（L（i,1）M（i,j）=0;end;end
for（i=1:
n）for（j=1:
n）%生成子图Gl
if（L（i,1）+L（j,2）==A（i,j））Gl（i,j）=1;
elseGl（i,j）=0;end;end;end
ii=0;jj=0;
for（i=1:
n）for（j=1:
n）if（Gl（i,j））ii=i;jj=j;break;end;end
if（ii）break;end;end%获得仅含Gl的一条边的初始匹配M
M（ii,jj）=1;
for（i=1:
n）S（i）=0;T（i）=0;NlS（i）=0;end
while
（1）
for（i=1:
n）k=1;%否则.
for（j=1:
n）if（M（i,j））k=0;break;end;end
if（k）break;end;end
if（k==0）break;end%获得最佳匹配M,算法终止
S
（1）=i;jss=1;jst=0;%S={xi},T=?
while
（1）
jsn=0;
for（i=1:
jss）for（j=1:
n）if（Gl（S（i）,j））jsn=jsn+1;NlS（jsn）=j;%NL（S）={v|u∈S,uv∈EL}
for（k=1:
jsn-1）if（NlS（k）==j）jsn=jsn-1;end;end;end;end;end
if（jsn==jst）pd=1;%判断NL（S）=T?
for（j=1:
jsn）if（NlS（j）~=T（j））pd=0;break;end;end;end
if（jsn==jst&pd）al=Inf;%如果NL（S）=T,计算al,Inf为∞
for（i=1:
jss）for（j=1:
n）pd=1;
for（k=1:
jst）if（T（k）==j）pd=0;break;end;end
if（pd&al>L（S（i）,1）+L（j,2）-A（S（i）,j））al=L（S（i）,1）+L（j,2）-A（S（i）,j）;end;end;end
for（i=1:
jss）L（S（i）,1）=L（S（i）,1）-al;end%调整可行点标记
for（j=1:
jst）L（T（j）,2）=L（T（j）,2）+al;end%调整可行点标记
for（i=1:
n）for（j=1:
n）%生成子图GL
if（L（i,1）+L（j,2）==A（i,j））Gl（i,j）=1;
elseGl（i,j）=0;end
M（i,j）=0;k=0;end;end
ii=0;jj=0;
for（i=1:
n）for（j=1:
n）if（Gl（i,j））ii=i;jj=j;break;end;end
if（ii）break;end;end%获得仅含Gl的一条边的初始匹配M
M（ii,jj）=1;break
else%NL（S）≠T
for（j=1:
jsn）pd=1;%取y∈NL（S）\T
for（k=1:
jst）if（T（k）==NlS（j））pd=0;break;end;end
if（pd）jj=j;break;end;end
pd=0;%判断y是否为M的饱和点
for（i=1:
n）if（M（i,NlS（jj）））pd=1;ii=i;break;end;end
if（pd）jss=jss+1;S（jss）=ii;jst=jst+1;T（jst）=NlS（jj）;%S=S∪{x},T=T∪{y}
else%获得Gl的一条M-增广路,调整匹配M
for（k=1:
jst）M（S（k）,T（k））=1;M（S（k+1）,T（k））=0;end
if（jst==0）k=0;end
M（S（k+1）,NlS（jj））=1;break;end;end;end;end
MaxZjpp=0;
for（i=1:
n）for（j=1:
n）if（M（i,j））MaxZjpp=MaxZjpp+A（i,j）;end;end;end
M%显示最佳匹配M
MaxZjpp%显示最佳匹配M的权,程序结束。
四、覆盖问题
（1）相关概念
Df1覆盖：
设G=（V,E）,K是V的子集合,若G的每一条边都与K的一个顶点关联,则称K是图G的一个覆盖。
设K是G的一个覆盖,若不存在覆盖K，使得:
|K|<|K|，则称K是一个最小覆盖。
Df2控制集：
设G是连通图,DV（G），对每个v∈V（G），或者v在D中，或者v与D中某个顶点相邻，即D∩N（v）≠,则称D为G的一个控制集.若D是控制集，而D的任何真子集都不是控制集，则称D是极小控制集。
顶点数最少的控制集称为最小控制集。
最小控制集所含顶点数目称为控制数。
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