全国中考几何压轴题精选教师版.docx

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全国中考几何压轴题精选教师版

例1：

25（2015.重庆）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，点E角平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的线段，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF。

（1）如图1，若点H是AC的中点，AC=2

，求AB，BD的长。

（2）如图1，求证：

HF=EF。

（3）如图2，连接CF，CE，猜想：

△CEF是否是等边三角形？

若是，请证明；若不是，请说明理由。

解：

（1）∵∠ACB=90°，∠BAC=60°， 

∴∠ABC=30°， 

∴AB=2AC=2×23=43，∵AD⊥AB，∠CAB=60°， 

∴∠DAC=30°， 

∵AH=12AC=3， 

∴AD=AHcos30°=233， 

∴BD=AB2+AD2=213；

（2）如图1，连接AF， 

∵AE是∠BAC角平分线， 

∴∠HAEBA）-60°=30°-∠FBA， 

∴∠EAF=∠FDH， 

在△DHF与△AEF中， 

DH＝AE∠HDF＝∠EAHDF＝AF，∴△DHF≌△AEF， 

∴HF=EF； 

（3）如图2，取AB的中点M，连接CM，FM， 

在Rt△ADE中，AD=2AE， 

∵DF=BF，AM=BM， 

∴AD=2FM， 

∴FM=AE，E=30°， 

∴∠ADE=∠DAH=30°， 

在△DAE与△ADH中， 

∠AHD＝∠DEA＝90°∠ADE＝∠DAHAD＝AD，∴△DAE≌△ADH， 

∴DH=AE， 

∵点F是BD的中点， 

∴DF=AF， 

∵∠EAF=∠EAB-∠FAB=30°-∠FAB 

∠FDH=∠FDA-∠HDA=∠FDA-60°=（90°-∠Fbr>∵∠ABC=30°， 

∴AC=CM=12AB=AM， 

∵∠CAE=12∠CAB=30°∠CMF=∠AMF-∠AMC=30°，在△ACE与△MCF中， 

AC＝CM∠CAE＝∠CMFAE＝MF，∴△ACE≌△MCF， 

∴CE=CF，∠ACE=∠MCF， 

∵∠ACM=60°， 

∴∠ECF=60°， 

∴△CEF是等边三角形．

例2：

27（2015.成都）已知,ACEC分别为四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在△ABC内，∠CAE+∠CBE=90°。

（1）如图①，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF。

1）求证：

△CAED△CBF；

2）若BE=1,AE=2，求CE的长。

（2）如图②，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且AB/BC=EF/FC时，若BE=1,AE=2,CE=3，求k的值；

（3）如图③，当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且∠DAB=∠GEF=45°时，设,,BE=m，AE=n，CE=p，试探究,,m、n、p三者之间满足的等量关系。

（直接写出结果，不必写出解答过程）

（1）（i）证明：

∵四边形ABCD和EFCG均为正方形， 

（2）∴ACBC＝CECF＝2，∴∠ACB=∠ECF=45°， 

（3）∴∠ACE=∠BCF， 

（4）在△CAE和△CBF中， 

（5）ACBC＝CECF＝2∠ACE＝∠BCF，∴△CAE∽△CBF． 

（6）（ii）解：

∵△CAE∽△CBF， 

（7）∴∠CAE=∠△CBF，AEBF＝ACBC，又∵∠CAE+∠CBE=90°， 

（8）∴∠CBF+∠CBE=90°， 

（9）∴∠EBF=90°， 

（10）又∵AEBF＝ACBC＝2，AE=2 

（11）∴2BF＝2， 

（12）∴BF＝2， 

（13）∴EF2=BE2+BF2=12+

（2）2=3， 

（14）∴EFF，∠CAE+∠CBE=90°， 

（15）∴∠CBE+∠CBF=90°， 

（16）∴∠EBF=90°， 

（17）∴EF2=BE2+BF2=1+4k2+1， 

（18）∵ECFC＝k2+1， 

（19）∴CEEF=k2+1k，CE=3， 

（20）∴EF=3kk2+1， 

（21）∴1+4k2+1＝（3kk2+1）2＝9k2k2+1， 

（22）∴k2＝58， 

（23）解得k=±104， 

（24）∵ABBC=EFFC=k＞0， 

（25）∴k=104．（3）∵∠DAB=45°， 

（26）∴∠ABC=180°-45°=135°， 

（27）在△ABC中，根据余弦定理，可得 

（28）AC2=AB2+BC2-2AB•BC•F=3，∵CE2=2EF2=6， 

（29）∴CE=6．

（2）如图②，连接BF， 

（30）， 

（31）∵ABBC=EFFC=k，∴BC=a，AB=ka，FC=b，EF=kb， 

（32）∴AC=AB2+BC2＝k2a2+a2＝ak2+1， 

（33）CE=EF2+FC2=k2b2+b2＝bk2+1， 

（34）∴ACBC＝ECFC＝k2+1，∠ACE=∠BCF，在△ACE和△∠BCF中， 

（35）ACBC＝ECFC＝k2+1∠ACE＝∠BCF，∴△ACE∽△∠BCF， 

（36）∴AEBF＝ACBC＝k2+1，∠CAE=∠CBF，又∵AE=2， 

（37）∴2BF＝k2+1， 

（38）∴BF=2k2+1，∵∠CAE=∠CBcos135° 

（39）=2BC2-2BC2×（-22） 

（40）=BC2（2+2）在△ACE和△∠BCF中， 

（41）ACBC＝ECFC＝2+2∠ACE＝∠BCF，∴△ACE∽△∠BCF， 

（42）∴AEBF＝ACBC＝2+2，∠CAE=∠CBF，又∵AE=n， 

（43）∴BF2＝AE22+2＝n22+2，∵∠CAE=∠CBF，∠CAE+∠CBE=90°， 

（44）∴∠CBE+∠CBF=90°， 

（45）∴∠EBF=90°， 

（46）∴EF2=BE2+BF2， 

（47）∴p22+2＝m2+n22+2， 

（48）∴（2+2）m2+n2=p2， 

（49）即m，n，p三者之间满足的等量关系是：

（2+2）m2+n2=p2．

例3：

23.（2015.安徽）如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过

点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BGC．

（1）求证：

AD＝BC；

（2）求证：

△AGD∽△EGF；

（3）如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求AD/EF的值．

考点：

相似形综合题．.

分析：

（1）由线段垂直平分线的性质得出GA=GB，GD=GC，由SAS证明△AGD≌△BGC，得出对应边相等即可；

（2）先证出∠AGB=∠DGC，由

，证出△AGB∽△DGC，得出比例式

，再证出∠AGD=∠EGF，即可得出△AGD∽△EGF；

（3）延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，则AH⊥BH，由△AGD≌△BGC，得出∠GAD=∠GBC，再求出∠AGE=∠AHB=90°，得出∠AGE=

∠AGB=45°，求出

，由△AGD∽△EGF，即可得出

的值．

解答：

（1）证明：

∵GE是AB的垂直平分线，

∴GA=GB，

同理：

GD=GC，

在△AGD和△BGC中，

，

∴△AGD≌△BGC（SAS），

∴AD=BC；

（2）证明：

∵∠AGD=∠BGC，

∴∠AGB=∠DGC，

在△AGB和△DGC中，

，

∴△AGB∽△DGC，

∴

，

又∵∠AGE=∠DGF，

∴∠AGD=∠EGF，

∴△AGD∽△EGF；

（3）解：

延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，如图所示：

则AH⊥BH，

∵△AGD≌△BGC，

∴∠GAD=∠GBC，

在△GAM和△HBM中，∠GAD=∠GBC，∠GMA=∠HMB，

∴∠AGE=∠AHB=90°，

∴∠AGE=

∠AGB=45°，

∴

，

又∵△AGD∽△EGF，

∴

=

=

．

点评：

本题是相似形综合题目，考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要通过作辅助线综合运用

（1）

（2）的结论和三角函数才能得出结果．

例4：

23．（2015•潍坊）如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．

（1）求证：

DE⊥AG；

（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如图2．

①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；

②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．

解：

（1）如图1，延长ED交AG于点H，

∵点O是正方形ABCD两对角线的交点，

∴OA=OD，OA⊥OD，

∵OG=OE，

在△AOG和△DOE中，

，

∴△AOG≌△DOE，

∴∠AGO=∠DEO，

∵∠AGO+∠GAO=90°，

∴∠AGO+∠DEO

=90°，

∴∠AHE=90°，

即DE⊥AG；

（2）①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况：

（Ⅰ）α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′=90°时，

∵OA=OD=

OG=

OG′，

∴在Rt△OAG′中，sin∠AG′O=

=

，

∴∠AG′O=30°，

∵OA⊥OD，OA⊥AG′，

∴OD∥AG′，

∴∠DOG′=∠AG′O=30°，

即α=30°；

（Ⅱ）α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′=90°时，

同理可求∠BOG′=30°，

∴α=180°﹣30°=150°．

综上所述，当∠OAG′=90°时，α=30°或150°．

②如图3，当旋转到A、O、F′在一条直线上时，AF′的长最大，

∵正方形ABCD的边长为1，

∴OA=OD=OC=OB=

，

∵OG=2OD，

∴OG′=OG=

，

∴OF′=2，

∴AF′=AO+OF′=

+2，

∵∠COE′=45°，

∴此时α=315°．

例5：

23（2015.海南）如图9-1，菱形ABCD中，点P是CD的中点，∠BCD=60°，射线AP交BC的延长线于点E，射线BP交DE于点K，点O是线段BK的中点．

（1）求证：

△ADP≌△ECP；

（2）若BP=n·PK，试求出n的值；

（3）作BM⊥AE于点M，作KN⊥AE于点N，连结MO、NO，如图9-2所示．请证明

△MON是等腰三角形，并直接写出∠MON的度数．

（1）证明：

∵四边形ABCD为菱形，

∴AD∥BC，

∴∠DAP=∠CEP，∠ADP=∠ECP，

在△ADP和△ECP中，

，

∴△ADP≌△ECP；

（2）如图1，作PI∥CE交DE于I，

则

=

，又点P是CD的中点，

∴

=

，

∵△ADP≌△ECP，∴AD=CE，

∴

=

=

，∴BP=3PK，

∴n=3；

（3）如图2，作OG⊥AE于G，

∵BM丄AE于，KN丄AE，

∴BM∥OG∥KN，

∵点O是线段BK的中点，

∴MG=NG，又OG⊥MN，∴OM=ON，

即△MON是等腰三角形，

由题意得，△BPC，△AMB，△ABP为直角三角形，

设BC=2，则CP=1，由勾股定理得，BP=

，

则AP=

，

根据三角形面积公式，BM=

，

由

（2）得，PB=3PO，

∴OG=

BM=

，

MG=

MP=

，

tan∠MOG=

=

，

∴∠MOG=60°，

∴∠MON的度数为120°．

例6：

25（2015.福州）如图.在锐角中，D，E分别为AB,BC中点,F为AC上一点，且∠AFE=∠A，DM//EF交AC于点M

（1）求证:

DM=DA

（2）点G在BE上,且∠BDG=∠C.如图②,求证:

△DEG∽△ECF

（3）在图②中.取CE上一点H，使∠CFH=∠B.若BG=1求EH的长.

（1）证明：

如图1所示， 

（2）∵DM∥EF， 

（3）∴∠AMD=∠AFE， 

（4）∵∠AFE=∠A， 

（5）∴∠AMD=∠A， 

（6）∴DM=DA； 

（7）

（2）证明：

如图2所示， 

（8）∵D、E分别是AB、BC的中点， 

（9）∴DE∥AC， 

（10）∴∠BDE=∠A，∠=∠B， 

（11）∴△BDG∽△BED， 

（12）∴BDBE＝BGBD，∴BD2=BG•BE， 

（13）∵∠AFE=∠A，∠CFH=∠B， 

（14）∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-∠AFE-∠CFH=EFH， 

（15）又∵∠FEH=∠CEF， 

（16）∴△EFH∽△E∠DEG=∠C， 

（17）∵∠AFE=∠A， 

（18）∴∠BDE=∠AFE， 

（19）∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC， 

（20）∵∠BDG=∠C， 

（21）∴∠DGE=∠FEC， 

（22）∴△DEG∽△ECF； 

（23）（3）解：

如图3所示， 

（24）∵∠BDG=∠C=∠DEB，∠B

（25）∴EHEF＝EFEC，∴EF2=EH•EC， 

（26）∵DE∥AC，DM∥EF， 

（27）∴四边形DEFM是平行四边形， 

（28）∴EF=DM=DA=BD， 

（29）∴BG•BE=EH•EC， 

（30）∵BE=EC， 

（31）∴EH=BG=1．

例7：

26（2015.河北）平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图15－1摆放，分别延长DA和QP交于点O，且∠DOQ=60°，OQ=OD=3，OP=2，OA=AB=1，让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转，设旋转角为α（0≤α≤60）.

发现：

（1）当α=0°，即初始位置时，点P直线AB上.（填“在”或“不在”），求当α是多少时，OQ经过点B？

（2）在OQ旋转过程中，简要说明α是多少时，点P，A间的距离最小？

并指出这个最小值；

（3）如图15－2，当点P恰好落在BC边上时，求α及S阴影.

拓展：

如图15－3，当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BM=x（x>0），用含x的代数式表示BN的长，并求x的取值范围.

探究：

当半圆K与矩形ABCD的边相切时，求sinα的值.

例8：

25.（2015.陕西）如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60∘，AD=8，BC=12．

（1）如图1，点M是四边形ABCD边AD上的一点，则△BMC的面积为；

（2）如图2，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出△BNC周长的最小值；

（3）如图3，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cos∠BPC的值最小？

若存在，求出此时cos∠BPC的值；若不存在，请说明理由．

解：

（1）如图①，过A作AE⊥BC，

∴四边形AECD为矩形，

∴EC=AD=8，BE=BC﹣EC=12﹣8=4，

在Rt△ABE中，∠ABE=60°，BE=4，

∴AB=2BE=8，AE=

=4

，

则S△BMC=

BC•AE=24

；

故答案为：

24

；

（2）如图②，作点C关于直线AD的对称点C′，连接C′N，C′D，C′B交AD于点N′，连接CN′，则BN+NC=BN+NC′≥BC′=BN′+CN′，

∴△BNC周长的最小值为△BN′C的周长=BN′+CN′+BC=BC′+BC，

∵AD∥BC，AE⊥BC，∠ABC=60°，

∴过点A作AE⊥BC，则CE=AD=8，

∴BE=4，AE=BE•tan60°=4

，

∴CC′=2CD=2AE=8

，

∵BC=12，

∴BC′=

=4

，

∴△BNC周长的最小值为4

+12；

（3）如图③所示，存在点P，使得cos∠BPC的值最小，

作BC的中垂线PQ交BC于点Q，交AD于点P，连接BP，CP，作△BPC的外接圆O，圆O与直线PQ交于点N，则PB=PC，圆心O在PN上，

∵AD∥BC，

∴圆O与AD相切于点P，

∵PQ=DC=4

＞6，

∴PQ＞BQ，

∴∠BPC＜90°，圆心O在弦BC的上方，

在AD上任取一点P′，连接P′B，P′C，P′B交圆O于点M，连接MC，

∴∠BPC=∠BMC≥∠BP′C，

∴∠BPC最大，cos∠BPC的值最小，

连接OB，则∠BON=2∠BPN=∠BPC，

∵OB=OP=4

﹣OQ，

在Rt△BOQ中，根据勾股定理得：

OQ2+62=（4

﹣OQ）2，

解得：

OQ=

，

∴OB=

，

∴cos∠BPC=cos∠BOQ=

=

，

则此时cos∠BPC的值为

．

例9：

25（2015.贵阳）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=12，将矩形纸片折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，此时PD=3．

（1）求MP的值；（4分）

（2）在AB边上有一个动点F，且不与点A，B重合．当AF等于多少时，△MEF的周长最小？

（4分）

（3）若点G，Q是AB边上的两个动点，且不与点A，B重合，GQ=2．当四边形MEQG的周长最小时，求最小周长值.（计算结果保留根号）（4分）

 解：

（1）∵四边形ABCD为矩形，

∴CD=AB=4，∠D=90°，

∵矩形ABCD折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，

∴PD=PH=3，CD=MH=4，∠H=∠D=90°，

∴MP=

=5；

（2）如图1，作点M关于AB的对称点M′，连接M′E交AB于点F，则点F即为所求，过点E作EN⊥AD，垂足为N，

∵AM=AD﹣MP﹣PD=12﹣5﹣3=4，

∴AM=AM′=4，

∵矩形ABCD折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，

∴∠CEP=∠MEP，

而∠CEP=∠MPE，

∴∠MEP=∠MPE，

∴ME=MP=5，

在Rt△ENM中，MN=

=

=3，

∴NM′=11，

∵AF∥ME，

∴△AFM′∽△NEM′，

∴

=

，即

=

，解得AF=

，

即AF=

时，△MEF的周长最小；

（3）如图2，由

（2）知点M′是点M关于AB的对称点，在EN上截取ER=2，连接M′R交AB于点G，再过点E作EQ∥RG，交AB于点Q，

∵ER=GQ，ER∥GQ，

∴四边形ERGQ是平行四边形，

∴QE=GR，

∵GM=GM′，

∴MG+QE=GM′+GR=M′R，此时MG+EQ最小，四边形MEQG的周长最小，

在Rt△M′RN中，NR=4﹣2=2，

M′R=

=5

，

∵ME=5，GQ=2，

∴四边形MEQG的最小周长值是7+5

．

例10：

25．（2015.山东临沂）如图1，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ADE和DCF，连接AF，BE.

（1）请判断：

AF与BE的数量关系是，位置关系是；

（2）如图2，若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变为“两个等腰三角形ADE和DCF，且EA=ED=FD=FC，第

（1）问中的结论是否仍然成立?

请作出判断并给予证明；

（3）若三角形ADE和DCF为一般三角形，且AE=DF，ED=FC，第

（1）问中的结论都能成立吗？

请直接写出你的判断.

解：

（1）AF与BE的数量关系是：

AF=BE，位置关系是：

AF⊥BE． 

答案是：

相等，互相垂直； 

（2）结论仍然成立． 

理由是：

∵正方形ABCD中，AB=AD=CD， 

∴在△ADE和△DCF中，AE＝DFAD＝CDDE＝CF，∴△ADE≌△DCF， 

∴∠DAE=∠CDF， 

又∵正方形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°， 

∴∠BAE=∠ADF， 

∴在△ABE和△ADF＝CDDE＝CF，∴△ADE≌△DCF， 

∴∠DAE=∠CDF， 

又∵正方形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°， 

∴∠BAE=∠ADF， 

∴在△ABE和△ADF中，AB＝DA∠BAE＝∠ADFAE＝DF，∴△ABE≌△ADF， 

∴BE=AF，∠ABM=∠DAF， 

又∵∠DAF+∠BAM=90°， 

∴∠ABM+∠BAM=90°， 

∴在△ABM中，∠AMB=180°-（∠ABMF中，AB＝DA∠BAE＝∠ADFAE＝DF，∴△ABE≌△ADF， 

∴BE=AF，∠ABM=∠DAF， 

又∵∠DAF+∠BAM=90°， 

∴∠ABM+∠BAM=90°， 

∴在△ABM中，∠AMB=180°-（∠ABM+∠BAM）=90°， 

∴BE⊥AF； 

（3）第

（1）问中的结论都能成立． 

理由是：

∵正方形ABCD中，AB=AD=CD， 

∴在△ADE和△DCF中，AE＝DFADM）=90°， 

∴BE⊥AF．