人教版部编版八年级数学上册第十二章第一节全等三角形练习题含答案 37.docx

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人教版部编版八年级数学上册第十二章第一节全等三角形练习题含答案37

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第一节全等三角形练习题（含答案）

如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，点D是AC边的中点，延长BD至点E，使得DE＝BD，连结CE．

（1）求证：

△ABD≌△CED．

（2）当BC＝5，CD＝3时，求△BCE的周长．

【答案】

（1）见解析；

（2）△BCE的周长为18．

【解析】

【分析】

（1）利用全等三角形的判定定理SAS证得结论；

（2）利用勾股定理求得BD＝4，然后利用三角形的周长公式解答．

【详解】

（1）证明：

∵AB＝BC，点D是AC边的中点，

∴AD＝CD，∠ADB＝∠CDE＝90°．

又∵DE＝BD，

∴△ABD≌△CED（SAS）；

（2）解：

∵BD＝

＝

＝4，

∴BE＝2BD＝8．

又∵CE＝AB＝BC＝5，

∴BC+CE+BE＝5+5+8＝18，即△BCE的周长为18．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边、公共角或对顶角，必要时添加适当辅助线构造三角形.

62．如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上．

（1）如图1，点A与点C关于y轴对称，点E、F分别是线段AC、AB上的点（点E不与点A、C重合），且∠BEF＝∠BAO．若∠BAO＝2∠OBE，求证：

AF＝CE；

（2）如图2，若OA＝OB，在点A处有一等腰△AMN绕点A旋转，且AM＝MN，∠AMN＝90°．连接BN，点P为BN的中点，试猜想OP和MP的数量关系和位置关系，说明理由．

【答案】

（1）证明见解析；

（2）OP⊥MP且OP＝MP，理由见解析．

【解析】

【分析】

（1）设∠OBE＝α，∠AEF＝β，证明∠EBC＝∠AEF，EB＝EF，进而可以证明△AEF和△CBE（AAS），利用全等三角形的对应边相等，即可解答；

（2）OP＝MP且OP⊥MP，延长MP至C，且使PC＝MP，连接BC、MO，延长AM交BC于D，连接CO，NO，证明△MPN≌△CPB（SAS），得到BC＝MN＝AM，∠MNP＝∠CBP，再证明△MOC为等腰直角三角形，根据MP＝CP，即可得到OP⊥MP且OP＝MP．

【详解】

（1）证明：

如图1，

设∠OBE＝α，∠AEF＝β，

∴∠BAO＝∠BEF＝2α，

∵点A、C关于y轴对称，

∴BA＝BC，

∴∠BAO＝∠BCO＝2α，

∵∠AEB＝2α＋β＝∠BCO＋∠EBC，

∴∠EBC＝β，

即∠EBC＝∠AEF，

∵∠BFE＝∠BAO＋∠FEA＝2α＋β，

又∠ABO＝∠CBO＝α＋β，

∴∠FBE＝α＋β＋α＝2α＋β，

∴∠BFE＝∠FBE，

∴EB＝EF，

在△AEF和△CBE中，

，

∴△AEF≌△CBE（AAS）

∴AF＝CE；

（2）OP＝MP且OP⊥MP，

理由如下：

延长MP至C，且使PC＝MP，连接BC、MO，延长AM交BC于D，连接CO，NO，

∵点P为BN的中点，

∴PN＝PB，

在△MPN和△CPB中，

，

∴△MPN≌△CPB（SAS）

∴BC＝MN＝AM，∠MNP＝∠CBP，

∴MN∥BC，

∵∠AMN＝90°，

∴AD⊥BC，

∴∠MAO＝∠CBO，

∴△MAO≌△CBO（SAS），

∴∠MOA＝∠COB，MO＝CO，

∴∠MOC＝∠MOB＋∠BOC＝∠MOB＋∠MOA＝∠AOB＝90°，

∴△MOC为等腰直角三角形，

∵MP＝CP，

∴OP⊥MP且OP＝MP．

【点睛】

本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，等腰三角形的性质、直角三角形的性质，解决本题的关键是作出辅助线，构建全等三角形．

63．小明遇到这样一个问题，如图，△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，且AB+BD=DC．求∠C的度数。

小明通过探究发现，延长CD至点Q，使BQ=AB,再证明△ADC≌△ADQ,使问题得到解决.

（1）根据阅读材料回答，△ADC≌△ADQ的条件是________（填SSS,SAS,AAS,ASA,或HL）

（2）参考小明思考问题的方法，解答下列问题：

求∠C的度数;

（3）解决问题，如图，已知，△ABC中，过点B任意作射线l，在l上取一点D，使∠ABD=∠ACD，AM⊥BD于点M，且BM=MD+CD。

探究AB与AC的数量关系，并证明.

【答案】

（1）证明见解析；

（2）∠C=20°；（3）AB=AC，理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据SAS即可证明；

（2）根据△ADQ≌△ADC，推出∠ABC=2∠Q=2∠C，即可解决问题；

（3）如图，在MB上截取MH=DM，连接AH、AD，作HF⊥AB于F，作DE⊥AC于E，先证明△BHF≌△CDE，推出HF=DE，由AH=AD，推出Rt△AHF≌Rt△ADE，推出∠BAH=∠CAD，由∠ABH=∠ACD，BH=CD，再证明△ABH≌△ACD即可解决问题.

【详解】

（1）如图，延长CD至点Q，使BQ=AB，

∵AD⊥BC于D，

∴∠ADC=∠ADQ=90°，

∵AB+BD=CD，AB=BQ，

∴BD+BQ=DQ=DC，

∵AD=AD，

∴△ADQ≌△ADC（SAS），

∴△ADC≌△ADQ的理由是（SAS）；

（2）∵△ADQ≌△ADC

∴∠Q=∠C，

∵BA=BQ，

∴∠Q=∠BAQ，

∵∠ABC=∠Q+∠BAQ，

∴∠ABC=2∠C，

∵∠BAC=120°，

∴3∠C=60°，

∴∠C=20°；

（3）AB=AC，

理由：

如图，在MB上截取MH=DM，连接AH、AD．作HF⊥AB于F，作DE⊥AC于E．

∵AM⊥DH，MH=MD，

∴AH=AD，

∵BM=DM+DC=BH+MH，

∵CD=BH，

∵∠DEC=∠HFB=90°，∠HBF=∠DCE，

∴△BHF≌△CDE，

∴HF=DE，

∵AH=AD，

∴Rt△AHF≌Rt△ADE，

∴∠BAH=∠CAD，

∵∠ABH=∠ACD，BH=CD，

∴△ABH≌△ACD，

∴AB=AC．

【点睛】

本题考查三角形综合题、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

64．已知：

如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边AC、BC上，BD与AE交于点F，CD＝BE．

（1）求证：

BD＝AE；

（2）求证：

∠AFD＝60°．

【答案】

（1）见解析；

（2）见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据SAS证明△ABE≌△BCD即可解决问题；

（2）利用全等三角形的性质即可解决问题；

【详解】

证明：

（1）∵△ABC是等边三角形，

∴BC＝AB，∠ABE＝∠C＝60°，

在△ABE和△BCD中，

，

∴△ABE≌△BCD（SAS），

∴BD＝AE．

（2）∵△ABE≌△BCD，

∴∠BAE＝∠CBD，

∴∠AFD＝∠ABF+∠BAE＝∠ABF+∠CBD＝∠ABC＝60°．

【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

65．如图，AB=AC，AD=AG，AE⊥BG交BG的延长线于E，AF⊥CD交CD的延长线于F．求证：

AE=AF．

【答案】证明见解析．

【解析】

【分析】

先证明△ABG≌△ACD得出∠B=∠C，再证明Rt△ABE≌Rt△ECD，得出AE=AF．

【详解】

在△ABG和△ACD中，∵

，∴△ABG≌△ACD（SAS），∴∠B=∠C．

∵AE⊥BG，AF⊥CD，∴∠AEG=∠AFD=90°．

在△ABE和△ECD中，∵

，∴Rt△ABE≌Rt△ECD（AAS），∴AE=AF．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，判断三角形全等的方法：

SSS，SAS，ASA，AAA，直角三角形的判定还有HL．

66．如图，在△ABC中，点E在BC上，点D在AE上，已知∠ABD=∠ACD，∠BDE=∠CDE．求证：

BD=CD．

【答案】证明见解析．

【解析】

【分析】

要证BD=CD，只要证明△ABD和△ACD全等即可．

【详解】

∵∠BDE=∠CDE，∴∠ADB=∠ADC．

在△ADB和△ADC中，∵∠ADB=∠ADC，∠ABD=∠ACD，AD=AD，∴△ADB≌△ADC，∴BD=CD．

【点睛】

本题考查了简单的线段相等，可以通过全等三角形来证明，要注意利用此题中的图形条件，如等角的补角相等．

67．如图，已知A，F，E，B四点共线，AC⊥CE，BD⊥DF，AE=BF，AC=BD．

求证：

△ACF≌△BDE．

【答案】见解析.

【解析】

【分析】

先由条件证明Rt△ACE≌Rt△BDF，得到∠A=∠B，再证明△ACF≌△BDE即可．

【详解】

∵AC⊥CE，BD⊥DF（已知），∴∠ACE=∠BDF=90°（垂直的定义）．

在Rt△ACE和Rt△BDF中，∵

，∴Rt△ACE≌Rt△BDF（HL），∴∠A=∠B（全等三角形的对应角相等）．

∵AE=BF（已知），∴AE﹣EF=BF﹣EF（等式性质），即AF=BE．

在△ACF和△BDE中，∵

，∴△ACF≌△BDE（SAS）．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，利用三角形全等找到证明全等所需要的条件是解题的关键．

68．如图所示，已知△ABC≌△FED，AF=8,BE=2.

（1）求证：

AC∥DF.

（2）求AB的长.

【答案】

（1）见解析；

（2）AB=5

【解析】

【分析】

（1）根据三角形全等的性质得到∠A=∠F，根据平行线的判定可得AC∥DF；

（2）根据三角形全等的性质证明AE=BF，根据题中数据可求出AE=3，继而可求AB.

【详解】

（1）∵△ABC≌△FED，

∴∠A=∠F.

∴AC∥DF；

（2）∵△ABC≌△FED，

∴AB=EF，

∴AB-EB=EF-EB，

∴AE=BF，

∵AF=8，BE=2，

∴AE+BF=8-2=6，

∴AE=3

∴AB=AE+BE=3+2=5.

【点睛】

本题考查了全等三角形的性质和平行线的判定，比较基础，熟练掌握相关性质定理即可解答.

69．已知：

在△ABC中，BA=BC，BD是△ABC的中线，△ABC的角平分线AE交BD于点F，过点C作AB的平行线交AE的延长线于点G

（1）如图1，若∠ABC=60°，求证：

AF=

EG;

（2）如图2，若∠ABC=90°，求证：

AF=

EG;

（3）在

（2）的条件下如图3，过点A作∠CAH=

∠FAC，过点B作BM∥AC交AG于点M，点N在AH上，连接MN、BN，若∠BMN+∠EAH=90°，

，求BN的长.

【答案】

（1）证明见解析；

（2）证明见解析；（3）6.

【解析】

【分析】

（1）先判断出△ABC是等边三角形，设DF=a，表示出AF、EF，根据两直线平行，内错角相等求出∠G=∠CAE=30°，表示出GE，然后相比即可；

（2）取EG的中点P，连接CF、CP，根据角平分线的定义求出∠BAE=∠FAC=22.5°，根据等腰直角三角形的对称性可得AF=CF，然后求出∠CFP=45°，再求出∠ECG=90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CP=GP=

EG，根据两直线平行，内错角相等可得∠G=∠BAE=22.5°，再求出∠CPF=45°，根据等角对等边可得CF=CP，从而得到AF=CP，AF=

EG，整理即可得证；

（3）过点B作BK⊥AM于K，过点M作ML⊥AH于H，先求出∠EAH=30°，根据直角三角形两锐角互余求出∠AML=∠BMN=60°，然后求出∠BMK=∠NML，再求出∠BAE=∠BME=22.5°，根据等角对等边可得AB=BM，根据等腰三角形三线合一的性质可得MK=

AM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得ML=

AM，从而得到MK=ML，再利用“角边角”证明△BMK和△NML全等，根据全等三角形对应边相等可得MN=BM，再根据等腰直角三角形的面积求出AB，再判断出△BMN是等边三角形，然后求解即可．

【详解】

（1）证明：

∵BA=BC，∠ABC=60°，

∴△ABC是等边三角形，

设DF=a，

∵BD为△ABC的中线，AE为△ABC的角平分线，

∴AF=2a，EF=a，

∵CG∥AB，

∴∠G=∠CAE=∠CAE=30°，

∴GE=AE=AF+EF=2a+a=3a，

∴AF=

EG；

（2）证明：

取EG的中点P，连接CF、CP，

∵BA=BC，∠ABC=90°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴AF=CF，

∵AF是△ABC的角平分线，

∴∠BAE=∠FAC=22.5°，

∴∠CFP=45°，

∵CG∥AB，

∴∠ECG=∠ABC=90°，

∴CP=GP=

EG，

∵CG∥AB，

∴∠G=∠BAE=22.5°，

∴∠CPF=45°，

∴CF=CP，

∴AF=

EG；

（3）过点B作BK⊥AM于K，过点M作ML⊥AH于H，

∵∠CAH=

∠FAC，

∴∠EAH=22.5°+

×22.5°=30°，

∴∠AML=90°-30°=60°，

∵∠BMN与∠EAH互余，

∴∠BMN=90°-30°=60°，

∴∠BMK=∠NML，

∵AE是△ABC的平分线，CG∥AB，

∴∠BAE=∠BME=

×45°=22.5°，

∴AB=BM，

∴MK=

AM，

∵∠MAH=30°，ML⊥AH，

∴MH=

AM，

∴MK=ML，

在△BMK和△NML中，

，

∴△BMK≌△NML（ASA），

∴MN=BM，

∴MN=AB，

∵△ABC的面积为18，

∴

AB2=18，

∴AB=6，

∵∠BMN=60°，BM=MN，

∴△BMN是等边三角形，

∴BN=MN=6．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，平行线的性质，熟记各性质并理解题目信息是解题的关键，难点在于作辅助线构造出全等三角形和等腰三角形．

70．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，且BD=CE，连接AD，BE交于点F；

（1）求∠AFE的度数；

（2）连接FC，若∠AFC=90°，BF=1，求AF的长.

【答案】

（1）60°；

（2）2.

【解析】

【分析】

（1）因为△ABC为等边三角形，所以∠ABD=∠BCE=60°，AB=AC=BC，又BD=CE，所以用“SAS”可判定△ABD≌△BCE，根据全等三角形的性质得出∠BAD=∠CBE，利用三角形外角性质解答即可；

（2）延长BE至H，使FH=AF，连接AH,CH,得到：

△ACH，利用等边三角形的性质进而解答即可．

【详解】

解：

（1）∵△ABC为等边三角形，

∴AB=AC=BC，∠ABD=∠BCE=60°，

在△ABD和△BCE中，

，

∴△ABD≌△BCE（SAS）；

∴∠BAD=∠CBE，

∵∠ADC=∠CBE+∠BFD=∠BAD+∠B，

∴∠BFD=∠B=∠AFE=60°；

（2）

延长BE至H，使FH=AF，连接AH,CH

由

（1）知∠AFE=60°，∠BAD=∠CBE，

∴△AFH是等边三角形，

∴∠FAH=60°，AF=AH，

∴∠BAC=∠FAH=60°，

∴∠BAC-∠CAD=∠FAH-∠CAD，

即∠BAF=∠CAH，

在△BAF和△CAH中，

∵AB=AC，∠BAF=∠CAH，AF=AH，

∴△BAF≌△CAH（SAS），

∴∠ABF=∠ACH，CH=BF=1；

又∵∠ABC=∠BAC，∠BAD=∠CBE，

∴∠ABC-∠CBE=∠BAC-∠BAD，

即∠ABF=∠CAF，

∴∠ACH=∠CAF，

∴AF∥CH，

∵∠AFC=90°，∠AFE=60°，

∴CF⊥CH，∠CFH=30°，

∴FH=2CH，

∴AF=2BF=2×1=2，

即AF的长为2．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，关键是根据等边三角形的性质：

等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°；三条边相等．