当m＝0时，直线l的方程为x＝0，与线段PQ有交点．
∴实数m的取值范围为.
[答案]
（1）B
（2）
[易错提醒]
直线倾斜角的范围是[0，π），而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈时，斜率k∈[0，＋∞）；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈（－∞，0）．
两直线的位置关系
两直线平行或垂直的判定方法
（1）已知两直线的斜率存在
①两直线平行⇔两直线的斜率相等且坐标轴上的截距不相等；
②两直线垂直⇔两直线的斜率之积为－1.
（2）已知两直线的斜率不存在
若两直线的斜率不存在，当两直线在x轴上的截距不相等时，两直线平行；否则两直线重合．
（3）已知两直线的一般方程
设直线l1：
A1x＋B1y＋C1＝0，l2：
A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.该方法可避免对斜率是否存在进行讨论．
[例2]
（1）若直线ax＋2y－6＝0与x＋（a－1）y＋a2－1＝0平行，则a＝________.
（2）已知经过点A（－2,0）和点B（1,3a）的直线l1与经过点P（0，－1）和点Q（a，－2a）的直线l2互相垂直，则实数a的值为________．
[解析]
（1）因为两直线平行，所以有a（a－1）－2＝0，且2（a2－1）＋6（a－1）≠0，即a2－a－2＝0，且a2＋3a－4≠0，解得a＝2或a＝－1.
（2）l1的斜率k1＝＝a.
当a≠0时，l2的斜率k2＝＝.
因为l1⊥l2，
所以k1k2＝－1，即a·＝－1，解得a＝1.
当a＝0时，P（0，－1），Q（0,0），这时直线l2为y轴，A（－2，0），B（1,0），直线l1为x轴，显然l1⊥l2.
综上可知，实数a的值为1或0.
[答案]
（1）2或－1
（2）1或0
[易错提醒]
当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
能力练通抓应用体验的“得”与“失”
1.直线2xcosα－y－3＝0（α∈[，]）的倾斜角的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.
解析：
选B 直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα，
因为α∈，
所以≤cosα≤，
因此k＝2·cosα∈[1，]．
设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，]．
又θ∈[0，π），所以θ∈，
即倾斜角的取值范围是.
2.直线l：
xsin30°＋ycos150°＋1＝0的斜率是（ ）
A.B.
C．－D．－
解析：
选A 设直线l的斜率为k，则k＝－＝.
3.若直线l1：
mx－y－2＝0与直线l2：
（2－m）x－y＋1＝0互相平行，则实数m的值为（ ）
A．－1B．0
C．1D．2
解析：
选C ∵直线l1：
mx－y－2＝0与直线l2：
（2－m）x－y＋1＝0互相平行，∴解得m＝1.故选C.
4.已知直线l1：
2ax＋（a＋1）y＋1＝0，l2：
（a＋1）x＋（a－1）y＝0，若l1⊥l2，则a＝（ ）
A．2或B.或－1
C.D．－1
解析：
选B 因为直线l1：
2ax＋（a＋1）y＋1＝0，l2：
（a＋1）x＋（a－1）y＝0，l1⊥l2，所以2a（a＋1）＋（a＋1）（a－1）＝0，解得a＝或a＝－1.故选B.
5.直线l过点P（1,0），且与以A（2,1），B（0，）为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．
解析：
如图，∵kAP＝＝1，
kBP＝＝－，
∴k∈（－∞，－]∪[1，＋∞）．
答案：
（－∞，－]∪[1，＋∞）
6.（2016·苏北四市一模）已知a，b为正数，且直线ax＋by－6＝0与直线2x＋（b－3）y＋5＝0平行，则2a＋3b的最小值为________．
解析：
由两直线平行可得，a（b－3）－2b＝0，
即2b＋3a＝ab，＋＝1.
又a，b为正数，
所以2a＋3b＝（2a＋3b）·＝13＋＋≥13＋2＝25，
当且仅当a＝b＝5时取等号，
故2a＋3b的最小值为25.
答案：
25
突破点
（二） 直线的方程
基础联通抓主干知识的“源”与“流”
直线方程的五种形式
形式
几何条件
方程
适用范围
点斜式
过一点（x0，y0），斜率k
y－y0＝k（x－x0）
与x轴不垂直的直线
斜截式
纵截距b，斜率k
y＝kx＋b
与x轴不垂直的直线
两点式
过两点（x1，y1），（x2，y2）
＝
与x轴、y轴均不垂直的直线
截距式
横截距a，纵截距b
＋＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0
平面直角坐标系内所有直线
考点贯通抓高考命题的“形”与“神”
求直线方程
[例1]
（1）求过点A（1,3），斜率是直线y＝－4x的斜率的的直线方程．
（2）求经过点A（－5,2），且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．
（3）求过A（2,1），B（m,3）两点的直线l的方程．
[解]
（1）设所求直线的斜率为k，依题意k＝－4×＝－.又直线经过点A（1,3），因此所求直线方程为y－3＝－（x－1），即4x＋3y－13＝0.
（2）当直线不过原点时，设所求直线方程为＋＝1，将（－5,2）代入所设方程，解得a＝－，所以直线方程为x＋2y＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，则－5k＝2，解得k＝－，所以直线方程为y＝－x，即2x＋5y＝0.
故所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.
（3）①当m＝2时，直线l的方程为x＝2；
②当m≠2时，直线l的方程为＝，
即2x－（m－2）y＋m－6＝0.
因为m＝2时，代入方程2x－（m－2）y＋m－6＝0，即为x＝2，
所以直线l的方程为2x－（m－2）y＋m－6＝0.
[易错提醒]
（1）在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．
（2）对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用（若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零）．
与直线方程有关的最值问题
[例2] 过点P（4,1）作直线l分别交x，y轴正半轴于A，B两点．
（1）当△AOB面积最小时，求直线l的方程．
（2）当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．
[解] 设直线l：
＋＝1（a>0，b>0），
因为直线l经过点P（4,1），
所以＋＝1.
（1）＋＝1≥2＝，
所以ab≥16，当且仅当a＝8，b＝2时等号成立，
所以当a＝8，b＝2时，S△AOB＝ab最小，此时直线l的方程为＋＝1，
即x＋4y－8＝0.
（2）因为＋＝1，a>0，b>0，
所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝（a＋b）·＝5＋＋≥5＋2＝9，
当且仅当a＝6，b＝3时等号成立，
所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x＋2y－6＝0.
[方法技巧]
1．给定条件求直线方程的思路
（1）考虑问题的特殊情况，如斜率不存在的情况，截距等于零的情况．
（2）在一般情况下准确选定直线方程的形式，用待定系数法求出直线方程．
（3）重视直线方程一般形式的应用，因为它具有广泛的适用性．
2．与直线有关的最值问题的解题思路
（1）借助直线方程，用y表示x或用x表示y.
（2）将问题转化成关于x（或y）的函数．
（3）利用函数的单调性或基本不等式求最值．
能力练通抓应用体验的“得”与“失”
1.倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是（ ）
A．x－y＋1＝0B．x－y－1＝0
C．x＋y－1＝0D．x＋y＋1＝0
解析：
选D 直线的斜率为k＝tan135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0.
2.已知直线l过点（1,0），且倾斜角为直线l0：
x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为（ ）
A．4x－3y－3＝0B．3x－4y－3＝0
C．3x－4y－4＝0D．4x－3y－4＝0
解析：
选D 由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为α，2α，
因为直线l0：
x－2y－2＝0的斜率为，则tanα＝，
所以直线l的斜率k＝tan2α＝＝＝，
所以由点斜式可得直线l的方程为y－0＝（x－1），
即4x－3y－4＝0.
3.若直线ax＋by＝ab（a>0，b>0）过点（1,1），则该直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．8
解析：
选C ∵直线ax＋by＝ab（a>0，b>0）过点（1,1），
∴a＋b＝ab，即＋＝1，
∴a＋b＝（a＋b）
＝2＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当
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