全国高考文科数学试题及答案.docx
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全国高考文科数学试题及答案
2016年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项:
1.本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分。
答卷前,考生务必将自己的
姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2•回答第I卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑,女口
需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号框。
写在本试卷上无效。
3.答第n卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
4•考试结束,将试题卷和答题卡一并交回。
第I卷
一、选择题:
本大题共12小题。
每小题5分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。
(1)已知集合A={1,2,3},B={x|x2:
:
:
9},则aDb=:
(A){—2,—1,0,1,2,3}(B){—2,—1,0,1,2}(C){1,2,3}(D){1,2}
(2)设复数z满足z•i=3-i,则z=
(A)-12i(B)1-2i(C)32i(D)3-2i
⑶函数y=AsinC,x亠巧的部分图像如图所示,则
(A)y=2sin(2x-—)
6
(B)y=2sin(2x)
3
IT
(C)y=2sin(2x+$)
(D)y=2sin(2x+—)
⑷体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为
(A)12:
.(B)(C)$二(D)d.
3
⑸设F为抛物线C:
y2=4x的焦点,曲线y=-(k>0)与C交于点P,PF丄x轴,则k=
x
13
(A)—(B)1(C)(D)2
22
(6)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-仁0的距离为1,贝Ua=
43
(A)上(B)-3(C),3(D)2
34
⑺如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为
A
A
1
[
!
■*—彳f
0
(A)20n(B)24n(C)28n(D)32n
(8)
40秒•若一名行人来
某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为
到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为
7533
(A)(B)Y(C)Y(D)—
108810
(9)
中国古代有计算多项式值得秦九韶算法,右图是实现该算法的程序框图•执行该程序框图,若输入的a为2,2,5,则输出的s=
(A)7
(B)12
(C)17
(D)34
(10)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是
(A)y=x(B)y=lgx(C)y=2x(D)
n
(11)函数f(x)=cos2x6cos(x)的最大值为2
(A)4(B)5(C)6(D)7
(12)已知函数f(x)(x€R)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图像的交点为(X1,y1),
(X2,y2),…,(Xm,ym),则迟Xj二
i4
(A)0(B)m(C)2m(D)4m
二•填空题:
共4小题,每小题5分.
(13)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a//b,贝Um=.
x—y1_0
(14)若x,y满足约束条件x•y-3_0,则z=x-2y的最小值为
x-3乞0
45
(15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA,cosC,a=1,
513
则b=.
(16)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲
看了乙的卡片后说:
“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:
“我与丙
的卡片上相同的数字不是1”,丙说:
“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字
是.
三、解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分)
等差数列{an}中,a3a4,a5a6
(I)求{a.}的通项公式;
(II)设bn=[an],求数列{bn}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如
[0.9]=0,[2.6]=2
(18)(本小题满分12分)
某险种的基本保费为a(单位:
元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度
的保费与其上年度出险次数的关联如下:
上年度出险次数
0
1
2
3
4
孑5
保费
0.85a
a
1.25口
1.5a
L75a
rfl
2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:
1出险次数1
0
1
2
3:
.4
鼻5
频数
60
50
30
L301
20
10
(I)记A为事件:
“一续保人本年度的保费不高于基本保费”。
求P(A)的估计值;
(II)记B为事件:
“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%
求P(B)的估计值;
(III)求续保人本年度的平均保费估计值•
(19)(本小题满分12分)
如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点0,点E、F分别在AD,CD上,AE=CF,
EF交BD于点H,将LDEF沿EF折到LD'EF的位置•
(I)证明:
AC_HD'•
5
(II)
AB=5,AC=6,AE,OD'=2.2,求五棱锥D'-ABCEF体积
4
(20)(本小题满分12分)
已知函数f(x)=(x1)lnx-a(x-1).
(I)当a=4时,求曲线y=f(x)在1,f
(1)处的切线方程;
(II)若当x「1,匸:
时,f(x)>0,求a的取值范围.
(21)(本小题满分12分)
22
已知A是椭圆E:
乡二可的左顶点,斜率为kk>0的直线交E于A,M两点,点N
在E上,MA_NA.
AM|=|AN
(II)当2AM|=AN时,证明:
J3£kc2.
请考生在第22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分
(22)(本小题满分10分)选修4-1:
几何证明选讲
如图,在正方形ABCD中,E,G分别在边DA,DC上(不与端点重合),且DE=DG,过D点作DF丄CE,垂足为F.
(I)证明:
B,C,G,F四点共圆;
(H)若AB=1,E为DA的中点,求四边形BCGF的面积.
(23)(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.
(I)以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;
(24)(本小题满分
10分)选修4-5:
不等式选讲
求I的斜率.
(I)求M;
(I)证明:
当a,b?
M时,a+b<1+ab
2016年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学答案
三、解答题
(17)(本小题满分12分)
2n+3
【答案】(I)an=红工;(n)24.
试题解析:
(I)设数列'ah*的公差为d,
由题意有2耳-5d=4,a1-5d=3,解得
5
【解析】
试题分析:
(I)根据等差数列的性质求a1,d,从而求得ah;(n)根据已知条件求bh,
再求数列'bh{的前10项和.
an
2h3
a1=hd=2,
5
所以'ah1的通项公式为
⑴由(I)知[专当n=1,2,3时,1■红卫:
:
:
2,bn=1;
5
当n=4,5时,2空红卫:
:
:
3,bn=2;
5
Qn1Q
当n=6,7,8时,3乞一:
:
:
4,bn=3;
5
当n=9,10时,4乞红卫:
:
:
5,bn=4,
5
所以数列b詁勺前10项和为13223342=24.
考点:
等茶数列的性质,数列的求和•
【结束】
(18)(本小题满分12分)
【答案】(I)由6050求P(A)的估计值;(n)由3030求P(B)的估计值;(山)根据
200200
平均值得计算公式求解•
【解析】
试题分析:
试题解析:
(I)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知,一年内险次数
60+50
小于2的频率为6050=055,
200
故P(A)的估计值为0.55.
(n)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由是给数据知,一年内出险次
30+30
数大于1且小于4的频率为30=03,
200
故P(B)的估计值为03
(川)由题所求分布列为:
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
频率
0.30
0.25
0.15
0.15
0.10
0.05
调查200名续保人的平均保费为
0.85a0.30a0.251.25a0.151.5a0.151.75a0.302a0.10=1.1925a,
因此,续保人本年度平均保费估计值为1.1925a.
考点:
样本的频率、平均值的计算.
【结束】
(19)(本小题满分12分)
69
【答案】(I)详见解析;(H).
4
【解析】
试题分析:
(I)证AC//EF.再证AC//HD(n)证明0D10H.再证0D_平面ABC.
最后呢五棱锥D'-ABCEF体积.
试题解析:
(I)由已知得,AC_BD,AD=CD.
AECF
又由AE二CF得竺二亠,故AC//EF.
ADCD
由此得EF_HD,EF_HD,所以AC//HD:
.
(II)由EF//AC得如二生J
DOAD4
由AB=5,AC=6得DO=B0二,AB2—AO2=4.
所以OH=1,DH=DH=3.
于是OD2OH2=(2.2)212=9二DH2,故OD_OH.
由(I)知AC_HD,又AC_BD,BDp|HD二H,所以AC_平面BHD,于是AC—OD.
又由
EF
DH
AC
DO
9
得EF=-.
2
又由OD_OH,AC0OH=O,所以,OD_平面ABC.
11969
五边形ABCFE的面积S-丄皆8—丄x-x3=6-•
2224
所以五棱锥D'-ABCEF体积V二1692^-231-2
342
考点:
空间中的线面关系判断,几何体的体积.
【结束】
(20)(本小题满分12分)
【答案】(I)2x•y-2=0.;(n)-:
:
21..
【解析】
试题分析:
(I)先求定义域,再求
f(x),f
(1),f
(1),由直线方程得点斜式可求曲线
y二f(x)在(1,f
(1))处的切线方程为2x•y-2=0.(n)构造新函数
g(x)=inx_a(X"),对实数a分类讨论,用导数法求解.
x+1
试题解析:
(I)f(x)的定义域为(0,•:
:
)•当a=4时,
1
f(x)=(x1)lnx-4(x-1),f(x)=lnx3,f
(1)=-2,f
(1)=0.曲线y二f(x)
x
在(1,f
(1))处的切线方程为2x,y-2=0.
(II)当x(1,:
:
)时,f(x)0等价于inx-空1■0.
x+1
人a(x—1)血
令g(x)=lnx,贝V
g(x)=-
x
2a
(x1)2
2
x2(1—a)xS"。
x(x1)2
x+1
(i)当a乞2,x(1,:
:
)时,x22(1-a)x1_x2-2x10,故g(x)0,g(x)在x・(1,•:
:
)上单调递增,因此g(x)0;
(ii)当a2时,令g(x)=0得
x1—a-1-,(a_1)-1,x2-a-1"/(a-1)-1,
由X21和XM=1得为:
:
:
1,故当(1,X2)时,g(xp:
:
0,g(x)在(1兀)单调递减,
因此g(x):
:
:
0.
综上,a的取值范围是-二,21.
考点:
导数的几何意义,函数的单调性.
【结束】
(21)(本小题满分12分)
144l
【答案】(I);(n)32,2.
49
【解析】
试题分析:
(I)先求直线AM的方程,再求点M的纵坐标,最后求-AMN的面积;(n)
示|AM|,同理用k表示|AN|,再由2AM=AN求k.
试题解析:
(I)设M(xi,yj,则由题意知yi0.
由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为一,
4
又A(-2,0),因此直线AM的方程为y=x•2.
22
将x=y_2代入—丄=1得7y2_12y=0,
43
1212
解得y=0或y,所以y1.
77
11212144
因此.AMN的面积SAMN=2丄12=空出27749
22
(2)将直线
AM的方程y二k(x2)(k.0)代入—乞=1得
4
(34k2)x2
16k2x16k2-12=0.
3
富得x*'故|AM|=E2%
112k丿1+k2
由题设,直线AN的方程为^--(x2),故同理可得|AN
由2|AM|=|AN|得・匚右,即4k3-6k23k-8=0.
3+4k4+3k
设f(t)=4t3-6t23t-8,则k是f(t)的零点,f'(t)=12t2-12t3=3(2t-1)2一0,所以f(t)在(0,:
:
)单调递增,又f(J3)=15.3-26:
:
0,f
(2)-60,
因此f(t)在(0,有唯一的零点,且零点k在(,3,2)内,所以
考点:
椭圆的性质,直线与椭圆的位置关系•
【结束】
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清
题号
(22)(本小题满分10分)选修4-1:
几何证明选讲
【答案】(I)详见解析;(n)1
2
【解析】
试题分析:
(I)证UDGF.「CBF,再证B,C,G,F四点共圆;(n)证明
RtBCG•-RtUBFG,四边形BCGF的面积S是GCB面积SPcb的2倍•
试题解析:
(I)因为DF_EC,所以ADEF•、厶CDF,
则有一GDF=-DEF=-FCB,,
CFCDCB
所以:
DG^CBF,由此可得.DGF=/CBF,
由此.CGF•.CBF=180°,所以B,C,G,F四点共圆.
(II)由B,C,G,F四点共圆,CG_CB知FG_FB,连结GB,
由G为RtDFC斜边CD的中点,知GF二GC,故Rt.'BCGRtBFG,
因此四边形BCGF的面积S是GCB面积Sgcb的2倍,即
111
s=2sgcb=221=2■
考点:
三角形相似、全等,四点共圆
【结束】
(23)(本小题满分10分)选修4—4:
坐标系与参数方程
2V15
【答案】(I)「2,12「cos「11=0;(n)—-15.
3
【解析】
试题分析:
(1)利用=x2y2,X=卜cosd可得C的极坐标方程;(II)先将直线丨的
参数方程化为普通方程,再利用弦长公式可得丨的斜率.
试题解析:
(1)由X=Pcos日,y=Psin日可得C的极坐标方程P2+12Pcos日+11=0.
(II)在(I)中建立的极坐标系中,直线丨的极坐标方程为--■R)
由A,B所对应的极径分别为;-i,嘉,将丨的极坐标方程代入C的极坐标方程得
2
:
12「cos:
11=0.
于是J•J2=「12cos:
=11,
由|AB|二.10得cos2:
.3,tan:
-
8
|AB|=|--角|(「I)2V144cos2:
-44,
所以丨的斜率为丄5或-
33
考点:
圆的极坐标方程与普通方程互化,直线的参数方程,点到直线的距离公式
【结束】
(24)(本小题满分10分)选修4—5:
不等式选讲
【答案】(I)M={x|-1:
:
:
x:
:
:
1};(n)详见解析.
【解析】
1111
试题分析:
(I)先去掉绝对值,再分x,x和x三种情况解不等式,即
2222
可得二1;(11)采用平方作差法,再进行因式分解,进而可证当a,b■\I时,a■b|彳1■ab.
1
-2x,x兰——
2
11
试题解析:
(I)f(X)=<1,-一vX£—
22
2x,x工1.
2
1
当x时,由
f(x):
:
:
2得-2x:
:
:
2,解得X彩T;
11
当x时,f(x):
:
:
2;
22
1
当x时,由f(x):
:
:
2得2x:
:
:
2,解得x=:
:
1.
2
所以f(x):
:
:
2的解集M二{x|一1:
:
:
x:
:
:
1}.
(II)由(I)知,当a,bM时,一1:
:
:
a:
:
:
1,一1:
:
:
b:
:
:
1,从而
(ab)2-(1ab)2=a2b2_a2b2一1=(a2—1)(1—b2):
:
0,因此|ab|:
:
:
|1ab|.
考点:
绝对值不等式,不等式的证明.
【结束】