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第二组
山东大学2014—2015年弹性力学试卷
出题团队：
第二小组
一：
简述题
1.简述弹性力学基本假设（4分）
2.主应力与主方向的基本性质及应力张量三个不变量（4分）
3.简述反应各向同性弹性材料性质的三对参数及各对参数之间关系（4分）
4.简述圣维南原理（4分）
5.简述平面应力情况下有体力与无体力的双调和方程（4分）
二：
推导题
1.试推导证明应力理论的平衡方程。
（10分）
2.推导有体力情况下的位移法。
（15分）
三：
计算证明题
1．（10＇）已知受力物体内某一点的应力分量为：
，，，，，，试求经过该点的平面上的正应力。
2.设物体中任意一点的位移分量为u=0.01+0.0001xy+0.00005z，v=0.05-0.00005x+0.0001yz，w=0.01-0.0001xyz，试求点A（1,2,0）的应变。
（10分）
3.证明：
若材料具有一个对称面OXY,证明弹性常数可由21个减
少到13个。
（10分）
4．如图所示的悬臂梁结构，在自由端作用集中力P，不计体力，弹性模量为E，泊松比为μ，应力函数可取
，试求应力分量。
（15分）
5．图示悬臂梁，受三角形分布载荷作用，若梁的正应力
由材料力学公式给出，
，试：
（1）由平衡微分方程求出
（10分）
（2）检验该应力分量能否满足应力表示的协调方程。
（5分）
参考答案
一：
（少写一个减1分，全部写对得4分）
1.①连续性
（1）整个弹性体内部完全由组成物体的介质所充满，各个质点之间不存在空隙；
（2）弹性体在整个变形过程保持连续，原来相邻的两个点变形后仍是相邻点。
②均匀性
（1）弹性体是由相同或相似性质的材料组成；
（2）各个部分的结构或组成成分不随坐标位置的变化而改变。
③各向异性
弹性体在同一点处的性质与考察方向无关。
④小变形
物体在外力或其他作用下，物体产生的变形与其本身尺寸相比可以忽略不计。
⑤线弹性
弹性体的变形与载荷之间存在着一一对应的线性关系。
2.（每个性质0.5分，不变量少写一个减1分）
主应力性质：
不变性、实数性、极值性
主方向性质：
正交性
I1=σxx+σyy+σzz
I2
=
σyy
σyz
+
σxx
σxz
+
σxx
σxy
σzy
σzz
σzx
σzz
σyx
σyy
σxx
σxy
σxz
I3
=
σyx
σyy
σyz
σzx
σzy
σzz
I1、I2、I3为应力张量的第一、二、三不变量。
3.（参数2分，每个关系式1分）
（λμ
E、ν
K，G）
λ=
νE
，μ=
E
（1+ν）（1-2ν）
2（1+ν）
K=
E
，G
=
E
3（1-ν）
2（1+ν）
4.（4分，酌情给分）
分布于弹性体上的一小块面积内的载荷所引起的物体中的应力，在距离载荷作用区稍远的地方，基本上只与载荷的合力和合力矩有关，载荷的具体分布只影响载荷作用区附近的应力分布。
5.
二
1
2.弹性体的本构方程表达式为：
……………………………………………………………………………5分
将几何方程带入上述方程组
……………………………………………………………..…..5分
将以上方程带入平衡方程，即可得已位移法控制方程。
以第一式为例：
化简得：
同理，其他方向平衡方程可化为：
……………………………………5分
三：
1．解：
由平面方程，得其法线方向单位矢量的方向余弦为
，，
，
2．解：
（一步2分，全答对给10分）
3．
.................10分
4.解：
由题可知，体力X=0，Y=0，且为弹性力学平面应力问题。
1）本题所设应力函数满足双调和方程
（a）
2）应力分量为：
（b）
3）用应力边界条件求待定常数A、B、C、D：
应力边界条件，在上、下表面
处，必须精确满足：
（c）
则有：
（d）
X=0的左边界为次要边界，利用圣维南原理则有：
X方向力的等效：
；
对0点的力矩等效：
；
Y方向力的等效：
。
将式（b）代入上式得：
（e）
联立式（d）和式（e），解得：
；
4）应力分量为：
5．
解：
由平衡微分方程求、
平衡微分方程：
…………………………………………………………………………………………………2分
其中，。
将题中提供的表达式代入式
（1），有
积分上式，得
……………………………………………………………………………2分
利用边界条件：
，有
即
（3）
………………………………………………………………………………2分
将式（3）代入式
（2），有
或
积分得
…………………………………………………………………………………………2分
利用边界条件：
，
得：
由第二式，得
将其代入第一式，得
自然成立。
将代入的表达式，有
…………………………………………………………………………………………………2分
所求应力分量的结果：
（2）检验应力分量是否满足应力协调方程：
常体力下的应力协调方程为
…………………………………………………………………………………………………2分
将应力分量式（6）代入应力协调方程，有
，
显然，应力分量不满足应力协调方程，因而式（6）并不是该该问题的正确解。
…………………………………………………………………………………………………3分
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