辽宁省大连市届高三下学期第一次双基测试数学文试题含答案解析.docx
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辽宁省大连市届高三下学期第一次双基测试数学文试题含答案解析
2019年辽宁省大连市高考双基试卷
数学（文科）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知集合A={0，1，2，3，4}，B={-1，0，1，2}，则A∩B=（ ）
A.B.1，
C.D.0，1，2，3，
2.i（1+i）=（ ）
A.B.C.D.
3.已知直线n与平面α，β，若n⊂α，则“n⊥β”是“α⊥β”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
4.函数的最小正周期是（ ）
A.B.C.D.
5.已知某高中的一次测验中，甲、乙两个班级的九科平均分的雷达图如图所示，下列判断错误的是（ ）
A.乙班的理科综合成绩强于甲班B.甲班的文科综合成绩强于乙班
C.两班的英语平均分分差最大D.两班的语文平均分分差最小
6.已知2，b，8是等比数列，则实数b=（ ）
A.6B.4C.D.4或
7.函数y=（x∈R）的值域为（ ）
A.B.C.D.
8.已知△ABC的内角A、B、C所对边分别为a、b、c，且满足atanA=bcosC+ccosB，则∠A=（ ）
A.B.C.D.
9.已知正实数a、b满足a+b=ab，则ab的最小值为（ ）
A.1B.C.2D.4
10.已知抛物线y2=2x的焦点为F，点P在抛物线上，且|PF|=2，过点P作抛物线准线的垂线交准线于点Q，则|FQ|=（ ）
A.1B.2C.D.
11.
我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：
“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何”，羡除是一个五面体，其中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的表面中，三个梯形的面积之和为（ ）
A.40B.43C.46D.47
12.若x=0是函数f（x）=x4-ax3+1的极小值点，则实数a的取值集合为（ ）
A.B.C.D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知向量=（1，2），=（-3，1），则=______．
14.若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为______．
15.已知双曲线C：
=1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，C的右支上存在一点P，满足cos∠F1PF2=，且|PF2|等于双曲线C的虚轴长，则双曲线C的渐近线方程为______．
16.已知定义在R上的奇函数f（x），若函数f（x+1）为偶函数，且f
（1）=1，则f（i）=______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-5n（n∈N+）．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{}的前n项和Tn．
18.随着电子阅读的普及，传统纸质媒体遭受到了强烈的冲击．某杂志社近9年来的纸质广告收入如表所示：
年份
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
时间代号t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
广告收入y（千万元）
2
2.2
2.5
2.8
3
2.5
2.3
2
1.8
根据这9年的数据，对t和y作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.243；根据后5年的数据，对t和y作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.984．
（Ⅰ）如果要用线性回归方程预测该杂志社2019年的纸质广告收入，现在有两个方案，
方案一：
选取这9年数据进行预测；方案二：
选取后5年数据进行预测．
从实际生活背景以及线性相关性检验的角度分析，你觉得哪个方案更合适？
附：
相关性检验的临界值表：
n-2
小概率
0.05
0.01
3
0.878
0.959
7
0.666
0.798
（Ⅱ）某购物网站同时销售某本畅销书籍的纸质版本和电子书，某班级有五名同学在该网站购买了这本书，其中三人只购买了电子书，另两人只购买了纸质书，从这五人中任取两人，求两人都购买了电子书的概率．
19.
如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=，AC=2，∠BAC=∠A1AC=45°，∠BAA1=60°，F为棱AC的中点，E在棱BC上，且BE=2EC．
（Ⅰ）求证：
A1B∥平面EFC1；
（Ⅱ）求三棱柱ABC-A1B1C1的体积．
20.已知圆O经过椭圆C：
=1（a＞b＞0）的两个焦点以及两个顶点，且点（b，）在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l与圆O相切，与椭圆C交于M、N两点，且|MN|=，求直线l的倾斜角．
21.已知函数f（x）=lnx+ax2-x（x＞0，a∈R）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）求证：
当a≤0时，曲线y=f（x）上任意一点处的切线与该曲线只有一个公共点．
22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数且t＞0，α∈（0，）），曲线C2的参数方程为（β为参数且β∈（-））．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为ρ=1+cosθ（θ∈（0，）），曲线C4的极坐标方程为ρcosθ=1．
（Ⅰ）求C3与C4的交点到极点的距离；
（Ⅱ）设C1与C2交于P点，C1与C3交于Q点，当α在（0，）上变化时，求|OP|+|OQ|的最大值．
23.设函数f（x）=|2x+a|-|x-2|（x∈R，a∈R）．
（Ⅰ）当a=-1时，求不等式f（x）＞0的解集；
（Ⅱ）若f（x）≥-1在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
解：
∵A={0，1，2，3，4}，B={-1，0，1，2}；
∴A∩B={0，1，2}．
故选：
B．
进行交集的运算即可．
考查列举法的定义，以及交集的运算．
2.【答案】A
【解析】
解：
原式=i-1．
故选：
A．
利用复数的原式性质即可得出．
本题考查了复数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】
解：
若“n⊥β，n⊂α，则“α⊥β”，
若n⊂α，α⊥β，则n不一定垂直β，也可能平行，
故n⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件
故选：
A．
根据面面垂直的判定定理，由n⊥β，n⊂α，可得α⊥β，反之不成立，根据充分必要条件的定义即可判断
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
4.【答案】B
【解析】
解：
函数
，
∵ω=2，
∴T=
=π．
故选：
B．
由函数解析式找出ω的值，代入周期公式T=
，即可求出函数的最小正周期．
此题考查了三角函数的周期性及其求法，能从函数解析式中找出ω的值，熟练掌握周期公式是解本题的关键．
5.【答案】D
【解析】
解：
由甲、乙两个班级的九科平均分的雷达图可得：
乙班的理科综合成绩强于甲班，即选项A正确，
甲班的文科综合成绩强于乙班，即选项B正确，
两班的英语平均分分差最大，即选项C正确，
两班地理平均分分差最小，即选项D错误，
故选：
D．
先对图象数据的进行处理，再逐一进行检验即可得解
本题考查了对图象数据的处理能力，属中档题．
6.【答案】D
【解析】
解：
∵2，b，8成等比数列，
∴b=±
=±4．
故选：
D．
利用等比数列的性质求解．
本题考查等比中项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．
7.【答案】C
【解析】
解：
因为2x＞0，所以由2x+1＞1，再由反比例图象知0＜
＜1．
故选：
C．
由2x＞0，得到分母的范围，再借助反比例图象求值域．
本题考查指数函数范围和反比例图象的特点，属于简单题．
8.【答案】A
【解析】
解：
∵0＜A＜π，
∴sinA≠0
由
atanA=bcosC+ccosB，
根据正弦定理：
可得
sinA•tanA=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA
∴
•tanA=1；
∴tanA=
，
那么A=
；
故选：
A．
利用正弦定理以及和与差公式可得答案；
本题考查三角形的正弦定理和内角和定理以及和与差公式的运用，考查运算能力，属于基础题．
9.【答案】D
【解析】
解：
∵ab=a+b≥2
，
∴ab≥4，当且仅当a=b=2时取等号，
故ab的最小值为4，
故选：
D．
a+b≥2
，当且仅当a=b=2时取等号，代入计算即可求出ab的最小值．
本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．
10.【答案】B
【解析】
解：
不妨设点P在x轴的上方，设P（x1，y1），
∵|PF|=2，
∴x1+
=2，
∴x1=
∴y1=
，
∴Q（-
，
），
∵F（
，0），
∴|FQ|=
=2，
故选：
B．
不妨设点P在x轴的上方，设P（x1，y1），根据抛物线的性质可得x1=
，即可求出点P的坐标，则可求出点Q的坐标，根据两点间的距离公式可求出．
本题考查了直线和抛物线的位置关系，抛物线的性质，两点间的距离公式，属于基础题．
11.【答案】C
【解析】
解：
几何体的直观图如图：
5面体，其中平面ABCD⊥
平面ABEF，
CD=2，AB=6，EF=4，底面梯形是等腰梯形，高为3，
梯形ABCD的高为4，可知：
等腰梯形FEDC的高为：
5，
三个梯形的面积之和为：
=46．
故选：
C．
画出几何体的直观图，利用已知条件，求解面积即可．
本题考查空间几何体的三视图，求解表面积，判断几何体的形状是解题的关键．
12.【答案】B
【解析】
解：
由题意f（x）=x4-ax3+1得f′（x）=4x3-3ax2，
∵x=0是函数f（x）的极小值点，
∴x=0是方程f′（x）=0的实根，x＜0时，4x3-3ax2≤0，可得a≥0，
x＞0时，4x3-3ax2≥0，可得a≤0，可得a=0．
∴实数a的取值集合为{0}．
故选：
B．
根据求导公式和法则求出f′（x），由条件转化为：
x=0是方程f′（x）=0的实根，通过导函数的符号，求解a的范围．
本题考查了利用导数研究函数的极值问题，考查了转化思想和分析问题能力，属于中档题．
13.【答案】-6
【解析】
解：
∵
=（1，2），
=（-3，1），
∴
=
=（-4，-1），
则
=1×（-4）+2×（-1）=-6
故答案为：
-6
由
=
可求
，然后根据向量数量积的坐标表示可求
本题主要考查了向量数量积的坐标表示，属于基础试题．
14.【答案】8
【解析】
解：
画出x，y满足约束条件
的平面区域，如图示：
，
由z=2x+y得：
y=-2x+z，显然直线过A时，z最大，
由
，解得A（3，2），
∴z最大值=8，
故答案为：
8．
作出不等式组对应的平面区域，求出角点的坐标，通过数形结合即可得到结论
本题主要考查线性规划的应用，利用角点法通过数形结合是解决本题的关键．
15.【答案】y=±x
【解析】
解：
由题意可得|PF2|=2b，
由双曲线的定义可得|PF1|=|PF2|+2a=2b+2a，
|F1F2|=2c，
在△PF1F2中，cos∠F1PF2=
=
，
由c2=a2+b2，化为a=b，
可得双曲线的渐近线方程为y=±
x，
即有y=±x．
故答案为：
y=±x．
运用双曲线的定义和三角形的余弦定理，化简整理可得a=b，即可得到所求双曲线的渐近线方程．
本题考查双曲线的定义和性质，主要是渐近线方程的求法，考查化简变形能力和运算能力，属于基础题．
16.【答案】1
【解析】
解：
因为函数f（x+1）为偶函数，所以f（x+1）的对称轴为x=0，
所以f（x）的对称轴为x=1，所以f（x+1）=f（1-x），
又因为f（x）是R上的奇函数，所以f（x+1）=f（1-x）=-f（x-1），
所以f（x+2）=-f（x），f（x+4）=-f（x+2）=f（x），所以f（x）的周期为4，
且f
（1）=1，f
（2）=f（-2）=-f
（2），
所以f
（2）=0，f（3）=f（-1）=-1，f（4）=f（0）=0，
f（i）=504×[f
（1）+f
（2）+f（3）+f（4）]+f
（1）+f
（2）=1，
故答案为：
1．
因为函数f（x+1）为偶函数，所以f（x）的对称轴为x=1，再有奇函数性质得周期为4，找出一个周期的f（i）取值，进而求得．
本题考查了函数奇偶性，周期性应用，属于中档题．
17.【答案】解：
（Ⅰ）由an=，
所以an=，
综上可得an=2n-6，n∈N*；
（Ⅱ）因为=，
所以前n项和Tn=++…++，
Tn=++…++，
两式相减可得Tn=-1+++…+-
=-1+-，
所以Tn=-1-．
【解析】
（Ⅰ）运用数列的递推式：
an=
，计算可得所求通项公式；
（Ⅱ）求得
=
，运用数列的错位相减法，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和．
本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的递推式的运用，考查数列的错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：
（Ⅰ）选取方案二更合适，理由如下：
（1）题中介绍了，随着电子阅读的普及，传统纸媒受到了强烈的冲击，
从表格中的数据中可以看出从2014年开始，广告收入呈现逐年下降的趋势，
可以预见，2019年的纸质广告收入会接着下跌，前四年的增长趋势已经不能作为预测后续数据的依据．
（2）相关系数|r|越接近1，线性相关性越强，
因为根据9年的数据得到的相关系数的绝对值0.234＜0.666，
我们没有理由认为y与t具有线性相关关系，
而后5年的数据得到的相关系数的绝对值0.984＞0.959，
所以有99%的把握认为y与t具有线性相关关系．
（仅用
（1）解释得（3分），仅用
（2）解释或者用
（1）
（2）解释得6分）
（Ⅱ）将购买电子书的三人记为：
a，b，c；将购买纸质书的两人记为：
D，E，
则从五人中任选两人的基本事件空间为{ab，ac，aD，aE，bc，bD，bE，cD，cE，DE}，元素个数为10，
将两人都买电子书这个事件记作A，则A={ab，ac，bc}，元素个数为3．
所以从这五人中任取两人，两人都购买了电子书的概率P（A）=．
【解析】
（Ⅰ）从实际生活背景以及线性相关性检验的角度分析选取方案二更合适．
（Ⅱ）将购买电子书的三人记为：
a，b，c；将购买纸质书的两人记为：
D，E，利用列举法能求出从这五人中任取两人，两人都购买了电子书的概率．
本题考查最优方案的判断，考查概率的求法，考查线性回归方程、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19.【答案】证明：
（Ⅰ）法一：
连接A1C交C1F于D，连接DE，
因为==，所以A1B∥DE，……（3分）
又A1B⊄平面EFC1，DE⊂平面EFC1，
所以A1B∥平面EFC1．
法二：
如图所示，取BE的中点D，取B1C1的靠近B1的三等分点D1，连接AD、A1D1、D1B、D1D，
因为B1D1∥BD，且B1D1=BD，所以四边形B1D1DB为平行四边形，
所以DD1∥BB1，又因为AA1∥BB1，所以AA1∥1，
又AA1=BB1=DD1，所以四边形AA1D1D为平行四边形，
所以A1D1∥AD，又EF为△CAD的中位线，所以EF∥AD，
所以A1D1∥EF，
因为C1D1=BE，C1D1∥BE，所以四边形C1D1BE为平行四边形，所以D1B∥C1E，
又因为A1D1⊂平面A1D1B，BD1⊂平面A1D1B，EF⊂平面EFC1，C1E⊂平面EFC1，
A1D1∩D1B=D1，EF∩C1E=E，所以平面A1D1B∥平面EFC1，
又A1B⊂平面A1D1B，所以A1B∥平面EFC1，
解：
（Ⅱ）连接A1F，BF，由AB=AA1=，AF=1，∠BAC=∠A1AC=45°，
由余弦定理可得：
A1F=BF=1，又∠BAA1=60°，所以A1B=，
所以由勾股定理可得A1F⊥AC，A1F⊥BF，
又BF∩AC=F，且BF⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，
所以A1F⊥平面ABC，所以A1F是三棱柱ABC-A1B1C1的高．
又=1，
所以三棱柱ABC-A1B1C1的体积：
V=S△ABC×A1F=1×1=1．…………………………（12分）
【解析】
（Ⅰ）法一：
连接A1C交C1F于D，连接DE，推导出A1B∥DE，由此能证明A1B∥平面EFC1．
法二：
取BE的中点D，取B1C1的靠近B1的三等分点D1，连接AD、A1D1、D1B、D1D，推导出四边形B1D1DB为平行四边形，四边形AA1D1D为平行四边形，从而EF∥AD，A1D1∥EF，四边形C1D1BE为平行四边形，从而D1B∥C1E，进而平面A1D1B∥平面EFC1，由此能证明A1B∥平面EFC1，
（Ⅱ）连接A1F，BF，推导出A1F是三棱柱ABC-A1B1C1的高．由此能求出三棱柱ABC-A1B1C1的体积．
本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
20.【答案】解：
（Ⅰ）由题可知圆O只能经过椭圆的上、下顶点，所以，椭圆焦距等于短轴长，即a2=2b2，
又点在椭圆C上，所以，，解得a2=2，b2=1．
因此，椭圆C的方程为；
（Ⅱ）圆O的方程为x2+y2=1，
当直线l的斜率不存在时，解得，不符合题意；
当直线l的斜率不存在时，设其方程为y=kx+m，因为直线l与圆相切，所以，，即m2=1+k2．
将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0，
判别式△=16k2+8-8m2=8k2＞0，即k≠0．
设点M（x1，y1）、N（x2，y2），由韦达定理得，，
∴==，
解得k=±1，因此，直线l的倾斜角为或．
【解析】
（Ⅰ）先由题意得出b=c，可得出b与a的等量关系，然后将点的坐标代入椭圆C的方程，可求出a与b的值，从而得出椭圆C的方程；
（Ⅱ）对直线l的斜率是否存在进行分类讨论．
当直线l的斜率不存在时，可求出|MN|，然后进行检验；
当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y=kx+m，设点M（x1，y1）、N（x2，y2），先由直线l与圆O相切得出m与k之间的关系，再将直线l的方程与椭圆C的方程，列出韦达定理，利用弦长公式并结合条件
得出k的值，从而求出直线l的倾斜角．
本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆方程的求解以及韦达定理设而不求法在椭圆综合中的应用，考查计算能力，属于中等题．
21.【答案】解：
（Ⅰ）f′（x）=+2ax-1=（x＞0），
设g（x）=2ax2-x+1（x＞0），
（1）当0＜a＜时，g（x）在（0，），（，+∞）上大于零，
在（，）上小于零，
所以f（x）在（0，），（，+∞）上递增，
在（，）上递减，
（2）当a≥时，g（x）≥0（当且仅当a=，x=2时g（x）=0），
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，
（3）当a=0时，g（x）在（0，1）上大于零，在（1，+∞）上小于零，
所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减，
（4）当a＜0时，g（x）在（0，）上大于零，在（，+∞）上小于零，
所以f（x）在（0，）上递增，在（，+∞）上递减；
（Ⅱ）曲线y=f（x）在点（t，f（t））处的曲线方程为：
y=（+2at-1）（x-t）+lnt+at2-t，
曲线方程和y=f（x）联立可得：
lnx+ax2-（+2at）x-lnt+at2+1=0，
设h（x）=lnx+ax2-（+2at）x-lnt+at2+1（x＞0），
h′（x）=，
当a≤0时，在（0，t）h′（x）＞0，在（t，+∞）h′（x）＜0，
故h（x）在（0，t）递增，在（t，+∞）递减，
又h（t）=0，
故h（x）只有唯一的零点t，
即切线与该曲线只有1个公共点（t，f（t））．
【解析】
（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围．求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）根据函数的单调性以及a的范围证明即可．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．
22.【答案】解：
（Ⅰ）联立曲线C3，C4的极坐标方程得ρ2-ρ-1=0，
解得ρ=，即交点到极点的距离为．
（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为θ=α，（，ρ＞0），
曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈（0，），联立得ρ=2sinα，α∈（0，），
即|OP|=2sinα，α∈（0，），
曲线C1与曲线C3的极坐标方程联立得ρ=1+cosα，α∈（0，），
即|OQ|=1+cosα，α∈（0，），
所以|OP|+|OQ|=1+2sinα+cosα=1+sin（α+φ），其中φ的终边经过点（2，1），
当α+φ=+2kπ，k∈Z，即α=arcsin时，|OP|+|OQ|取得最大值1+．
【解析】
（Ⅰ）联立C3，C4的极坐标方程消去极角后，解关于极径的一元二次方程可得C3与C4的交点到极点的距离；
（Ⅱ）分别联立C1与C2，C1与C3的极坐标方程解得P，Q两点的极径，即|OP|，|OQ|再相加求最大值．
本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．
23.【答案】解：
（Ⅰ）a=-1时，函数f（x）=|2x-1|-|x-2|，
不等式f（x）＞0化为|2x-1|＞|x-2|，
两边平方得（2x-1）2＞（x-2）2，
化简得（3x-3）（x+1）＞0，
解得x＜-1或x＞1，
所以不等式f（x）＞0的解集为（-∞，-1）∪（1，+∞）；
（Ⅱ）由题意，当a＜-4时，f（x）=，
由函数单调性可得，f（x）min=f（-）=+2≥-1，解得-6≤a＜-4；
当a=-4时，f（x）=|x-2|，f（x）min=0≥-1，所以a=-4符合题意；
当a＞-4时，f（x）=，
由函数单调性可得，f（x）min=f（-）=--2≥-1，解得-4≤a＜-2；
综上所述，实数a的取值范围是[-6，-2]．
【解析】
（Ⅰ）a=-1时不等式f（x）＞0化为|2x-1|＞|x-2|，两边平方求解即可得出不等式f（x）＞0的解集；
（Ⅱ）由题意，讨论a＜-4、a=-4和a＞-4时，求出f（x）的最小值f（x）min，列出不等式求出a的取值范围．
本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题
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