数学专升本考试试题.docx
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数学专升本考试试题
高等数学
(二)命题预测试卷
(二)
一、选择题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分。
在每个小题给出的选
项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内)
1.下列函数中,当x1时,与无穷小量(1x)相比是高阶无穷小的是()
322
A.ln(3x)B.xxx
2
C.cos(x1)D.1
x
2.曲线
y
1
3x3在(1,)内是()
x
A.处处单调减小B.处处单调增加
C.具有最大值D.具有最小值
f(x2h)f(x)
00
3.设f(x)是可导函数,且1,则f(x0)为()
lim
x
0h
A.1B.0
C.2D.
1
2
4.若
1x
f(),则
xx1
1
0
f(x)dx为()
A.
1
2
B.1ln2
C.1D.ln2
5.设uxy
u
z,等于()
x
A.
z
zxyB.
xy
z1
C.
z1
yD.
y
z
二、填空题:
本大题共10个小题,10个空,每空4分,共40分,把答案填在
题中横线上。
6.设z
xy,则
2
eyx
z
y
(1,2)
=.
xln
7.设f(x)ex,则f(3).
8.f
x1
(x),则f().
1xx
2y
2
9.设二重积分的积分区域D是1x4,则
dxdy.
D
10.
1
x
lim=.
(1)
x2x
1
xex11.函数()
f(x)e的极小值点为.
2
2
xax4
12.若lim3
x
1x1
,则a.
13.曲线yarctanx在横坐标为1点处的切线方程为.
14.函数
2
x
ysintdt在
0
x处的导数值为.
2
15.
2
xsinx
1
12
1cos
x
dx
.
三、解答题:
本大题共13小题,共90分,解答应写出推理、演算步骤。
16.(本题满分6分)
求函数
1
arctanx0
f(x)的间断点.
x
0x0
17.(本题满分6分)
计算
lim
x
x
2x
x
2
1
1
.
18.(本题满分6分)
1
计算x
limlnarcsinx(1x).
x0
19.(本题满分6分)
1
x
xex0
设函数f(x)
,求f(x).
ln(1x)1x0
20.(本题满分6分)
求函数ysin(xy)的二阶导数.
21.(本题满分6分)
求曲线
42
3
f(x)xx的极值点.
22.(本题满分6分)
3
x
计算dx
2
x1
.
23.(本题满分6分)
若f(x)的一个原函数为xlnx,求xf(x)dx.
24.(本题满分6分)
_
已知
0
1
k
x
1
dx
22
,求常数k的值.
25.(本题满分6分)
3xxy
2
求函数(,)6125fxyy的极值.
26.(本题满分10分)
求
(
2,其中D是由曲线yx2与xy2所围成的平面区域.
xy)dxdy
D
27.(本题满分10分)
设
f
a
2()
(x)xfxdx,且常数a1,求证:
0
3
a
a
f(x)dx
03(a
1)
.
28.(本题满分10分)
求函数
y
ln
x
x
的单调区间、极值、此函数曲线的凹凸区间、拐点以及渐近
线并作出函数的图形.
参考答案
一、选择题
1.B2.B3.D4.D5.D
二、填空题
2
3
62e17..
e
1
8.9.3
x1
1
3
1
10.e211.x0
1
12.513.
(1)
yx
42
2
14.sin15.0
4
三、解答题
16.解这是一个分段函数,f(x)在点x0的左极限和右极限都存在.
1
limf(x)limarctan
xx0
0x
2
1
limf(x)limarctan
xx0
0x
2
lim
x0
f(x)
limf(
x0
x)
故当x0时,f(x)的极限不存在,点x0是f(x)的第一类间断点.
17.解原式=
lim
x
x
x
2
2x
1
1
lim
x
1
2
1
x
1
2
x
1
2
x
1
2
2
2
.
1
18.解设f(x)arcsinx(1x)x.
由于x0是初等函数lnf(x)的可去间断点,
1
故
limlnf(x)
x0
lnlimf(
x0
x)lnlimarcsxin(1
x0
x)
x
1
ln
limarcsin
x0
x
lim(1
x0
x)
x
ln(0e)lne1.
19.解首先在x0时,分别求出函数各表达式的导数,即
1111
11xxxx
当x0时,f(x)(xe)exee
(1)
2
xx
当1x0时,
1
f(x)ln(x1).
x1
然后分别求出在x0处函数的左导数和右导数,即
f(0)
lim
0x
x
1
1
1
f(0)
1
1
x
lime(1
x
0x
)
0
从而f(0)f(0),函数在x0处不可导.
1
x
(1
1
x
e)x0
所以f(x)
1
x0x1
20.解ysinx(y)
ycos(xy)(1y)cosx(y)ycosx(y)①
ysin(xy)(1y)ycosx(y)ysinx(y)(1y)
2
1cos(xy)ysin(xy)(1y)
2
sin(xy)(1y)
y②
1cosx(y)
又由①解得y
1
cos(x
cos(x
y)
y)
2cos(xy)
cos(xy)1
1cos(xy)
代入②得y
1cos(xy)
sinx(y)
3
1cosx(y)
3
3xxx
22
21.解先出求f(x)的一阶导数:
f(x)4x64()
2
_
3
令f(x)0即4x()0解得驻点为
2x
2
3
x10,x2.
2
2xxx再求出f(x)的二阶导数f(x)12x1212
(1).
当
33
x时,f()90,故
2
22
327
f()是极小值.
216
3
当x10时,f(0)0,在(,0)内,f(x)0,在(0,)内f(x)0
2
故x10不是极值点.
总之曲线
42
2
f(x)xx只有极小值点
3
x.
2
22.解
x
3
x
2
1
3
x
2
x
xxx(x
1
2
2
x
1)x
1
x
x
2
x
1
3
x
2
x
1
dx(x
2
x
x
)dxxdx
1
x
2
x
1
dx
2
11d(x1)1212
2
xxlnx
(1)
22x122
C
23.解由题设知f(x)(xlnx)lnxx(lnx)lnx1
故xf(x)dxx(lnx1)dx
xlnxdxxdx
11
2
lnxdxx
22
2
1
2
lnxx
2
2
x
d
(lnx)
1
2
x
2
1
2
lnx
2
x
1
2
2
x
1
x
dx
1
2
x
2
1
2
x
2
ln
x
1
2
xdx
1
2
x
2
1
2
2
xlnx
1
4
2
x
C
.
24.解
0
k1
00
dxkdxklim
21
2
1x1xaa
1
2
x
dx
k
limarctan
a
x
0kk
lim(arcta)n
a
a
2
又
0
1
k
x
2dx
1
2
_
故
1
k解得
22
1
k.
ff
2
25.解2x6,3y12
xy
解方程组
2x
2
3y
6
12
0
0
得驻点A0(3,2),B0(3,2)
又Afxx2,Bfxy0,Cfyy6y
2AC对于驻点A:
A2,B0,C6y12,故B2400x3
y2
驻点A0不是极值点.
对于驻点B:
A2,B0,C6y12
0x3
y2
2AC
故B240,又A20.
函数f(x,y)在B0(3,2)点取得极大值
3
f(3,2)
(2)91824530
26.解由
2
yx与
2
xy得两曲线的交点为O(0,0)与A(1,1)
xy(0)的反函数为yx.
2y
D
(x
1x1
1
2222)
y)dxdydx(xy)dy(xyy
2
0x0
2
x
2
x
dx
1
0
(x
5
2
1
2
x)
(
4
x
1
2
4
x)dx
2
7
(
x
7
2
1
4
x
2
3
10
5
x
)
1
0
33
140
27.证
a
0
f(x)dx
aa
2
x
00
f(x)dxdx
a
0
x
aa
2()
dxfxdx
00
dx
1
3
aa
3af(x)dxdx
x
0
00
3
a
3
a
a
0
f(x)dx
_
a
0
f(x)dxa
a
0
f
(
x)
dx
3
a
3
a
a
f(x)dx
03(a
3
于是.
1)
28.解
(1)先求函数的定义域为(0,).
(2)求y和驻点:
1lnx
y,令y0得驻点xe.
2
x
(3)由y的符号确定函数的单调增减区间及极值.
1lnx
当0xe时,y0,所以y单调增加;
2
x
当xe时,y0,所以y单调减少.
由极值的第一充分条件可知y
xe
1
e
为极大值.
(4)求y并确定y的符号:
3
2lnx3
y,令y0得xe2.
3
x
3
当
0xe时,y0,曲线y为凸的;
2
3
当
xe时,y0,曲线y为凹的.
2
33
3
根据拐点的充分条件可知点e,e)为拐点.
(22
2
这里的y和y的计算是本题的关键,读者在计算时一定要认真、仔细。
另外建议读者用列表法来分析求解更为简捷,现列表如下:
x(0,e)e
3
3
3
22
(e,e)e2(e,)
y+0---
y-0+
就表上所给的y和y符号,可得到:
函数y
ln
x
x
的单调增加区间为(0,e);
函数y
ln
x
x
的单调减少区间为(e,);
函数
y
ln
x
x
的极大值为
1
y(e);
e
函数y
ln
x
x
3
2
的凸区间为(0,e);
函数y
ln
x
x
3
的凹区间为(e2,);
函数y
ln
x
x
33
3
22
的拐点为(e,e).
2
lnx
(5)因为lim0
x
x
,
lim
x0
ln
x
x
所以曲线y
ln
x
x
有
水平渐近线y0
铅垂渐近线x0
(6)根据上述的函数特性作出函数图形如下图.