数学专升本考试试题.docx
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数学专升本考试试题
高等数学
（二）命题预测试卷
（二）
一、选择题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。
在每个小题给出的选
项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）
1．下列函数中，当x1时，与无穷小量（1x）相比是高阶无穷小的是（）
322
A．ln（3x）B．xxx
2
C．cos（x1）D．1
x
2．曲线
y
1
3x3在（1,）内是（）
x
A．处处单调减小B．处处单调增加
C．具有最大值D．具有最小值
f（x2h）f（x）
00
3．设f（x）是可导函数，且1，则f（x0）为（）
lim
x
0h
A．1B．0
C．2D．
1
2
4．若
1x
f（），则
xx1
1
0
f（x）dx为（）
A．
1
2
B．1ln2
C．1D．ln2
5．设uxy
u
z,等于（）
x
A．
z
zxyB．
xy
z1
C．
z1
yD．
y
z
二、填空题：
本大题共10个小题，10个空，每空4分，共40分，把答案填在
题中横线上。
6．设z
xy，则
2
eyx
z
y
（1,2）
=．
xln
7．设f（x）ex，则f（3）．
8．f
x1
（x），则f（）．
1xx
2y
2
9．设二重积分的积分区域D是1x4，则
dxdy．
D
10．
1
x
lim=．
（1）
x2x
1
xex11．函数（）
f（x）e的极小值点为．
2
2
xax4
12．若lim3
x
1x1
，则a．
13．曲线yarctanx在横坐标为1点处的切线方程为．
14．函数
2
x
ysintdt在
0
x处的导数值为．
2
15．
2
xsinx
1
12
1cos
x
dx
．
三、解答题：
本大题共13小题，共90分，解答应写出推理、演算步骤。
16．（本题满分6分）
求函数
1
arctanx0
f（x）的间断点．
x
0x0
17．（本题满分6分）
计算
lim
x
x
2x
x
2
1
1
．
18．（本题满分6分）
1
计算x
limlnarcsinx（1x）．
x0
19．（本题满分6分）
1
x
xex0
设函数f（x）
，求f（x）．
ln（1x）1x0
20．（本题满分6分）
求函数ysin（xy）的二阶导数．
21．（本题满分6分）
求曲线
42
3
f（x）xx的极值点．
22．（本题满分6分）
3
x
计算dx
2
x1
．
23．（本题满分6分）
若f（x）的一个原函数为xlnx，求xf（x）dx．
24．（本题满分6分）
_
已知
0
1
k
x
1
dx
22
，求常数k的值．
25．（本题满分6分）
3xxy
2
求函数（,）6125fxyy的极值．
26．（本题满分10分）
求
（
2，其中D是由曲线yx2与xy2所围成的平面区域．
xy）dxdy
D
27．（本题满分10分）
设
f
a
2（）
（x）xfxdx，且常数a1，求证：
0
3
a
a
f（x）dx
03（a
1）
．
28．（本题满分10分）
求函数
y
ln
x
x
的单调区间、极值、此函数曲线的凹凸区间、拐点以及渐近
线并作出函数的图形．
参考答案
一、选择题
1．B2．B3．D4．D5．D
二、填空题
2
3
62e17．．
e
1
8．9．3
x1
1
3
1
10．e211．x0
1
12．513．
（1）
yx
42
2
14．sin15．0
4
三、解答题
16．解这是一个分段函数，f（x）在点x0的左极限和右极限都存在．
1
limf（x）limarctan
xx0
0x
2
1
limf（x）limarctan
xx0
0x
2
lim
x0
f（x）
limf（
x0
x）
故当x0时，f（x）的极限不存在，点x0是f（x）的第一类间断点．
17．解原式=
lim
x
x
x
2
2x
1
1
lim
x
1
2
1
x
1
2
x
1
2
x
1
2
2
2
．
1
18．解设f（x）arcsinx（1x）x．
由于x0是初等函数lnf（x）的可去间断点，
1
故
limlnf（x）
x0
lnlimf（
x0
x）lnlimarcsxin（1
x0
x）
x
1
ln
limarcsin
x0
x
lim（1
x0
x）
x
ln（0e）lne1．
19．解首先在x0时，分别求出函数各表达式的导数，即
1111
11xxxx
当x0时，f（x）（xe）exee
（1）
2
xx
当1x0时，
1
f（x）ln（x1）．
x1
然后分别求出在x0处函数的左导数和右导数，即
f（0）
lim
0x
x
1
1
1
f（0）
1
1
x
lime（1
x
0x
）
0
从而f（0）f（0），函数在x0处不可导．
1
x
（1
1
x
e）x0
所以f（x）
1
x0x1
20．解ysinx（y）
ycos（xy）（1y）cosx（y）ycosx（y）①
ysin（xy）（1y）ycosx（y）ysinx（y）（1y）
2
1cos（xy）ysin（xy）（1y）
2
sin（xy）（1y）
y②
1cosx（y）
又由①解得y
1
cos（x
cos（x
y）
y）
2cos（xy）
cos（xy）1
1cos（xy）
代入②得y
1cos（xy）
sinx（y）
3
1cosx（y）
3
3xxx
22
21．解先出求f（x）的一阶导数：
f（x）4x64（）
2
_
3
令f（x）0即4x（）0解得驻点为
2x
2
3
x10,x2．
2
2xxx再求出f（x）的二阶导数f（x）12x1212
（1）．
当
33
x时，f（）90，故
2
22
327
f（）是极小值．
216
3
当x10时，f（0）0，在（,0）内，f（x）0，在（0,）内f（x）0
2
故x10不是极值点．
总之曲线
42
2
f（x）xx只有极小值点
3
x．
2
22．解
x
3
x
2
1
3
x
2
x
xxx（x
1
2
2
x
1）x
1
x
x
2
x
1
3
x
2
x
1
dx（x
2
x
x
）dxxdx
1
x
2
x
1
dx
2
11d（x1）1212
2
xxlnx
（1）
22x122
C
23．解由题设知f（x）（xlnx）lnxx（lnx）lnx1
故xf（x）dxx（lnx1）dx
xlnxdxxdx
11
2
lnxdxx
22
2
1
2
lnxx
2
2
x
d
（lnx）
1
2
x
2
1
2
lnx
2
x
1
2
2
x
1
x
dx
1
2
x
2
1
2
x
2
ln
x
1
2
xdx
1
2
x
2
1
2
2
xlnx
1
4
2
x
C
．
24．解
0
k1
00
dxkdxklim
21
2
1x1xaa
1
2
x
dx
k
limarctan
a
x
0kk
lim（arcta）n
a
a
2
又
0
1
k
x
2dx
1
2
_
故
1
k解得
22
1
k．
ff
2
25．解2x6,3y12
xy
解方程组
2x
2
3y
6
12
0
0
得驻点A0（3,2）,B0（3,2）
又Afxx2,Bfxy0,Cfyy6y
2AC对于驻点A:
A2,B0,C6y12，故B2400x3
y2
驻点A0不是极值点．
对于驻点B:
A2,B0,C6y12
0x3
y2
2AC
故B240，又A20．
函数f（x,y）在B0（3,2）点取得极大值
3
f（3,2）
（2）91824530
26．解由
2
yx与
2
xy得两曲线的交点为O（0,0）与A（1,1）
xy（0）的反函数为yx．
2y
D
（x
1x1
1
2222）
y）dxdydx（xy）dy（xyy
2
0x0
2
x
2
x
dx
1
0
（x
5
2
1
2
x）
（
4
x
1
2
4
x）dx
2
7
（
x
7
2
1
4
x
2
3
10
5
x
）
1
0
33
140
27．证
a
0
f（x）dx
aa
2
x
00
f（x）dxdx
a
0
x
aa
2（）
dxfxdx
00
dx
1
3
aa
3af（x）dxdx
x
0
00
3
a
3
a
a
0
f（x）dx
_
a
0
f（x）dxa
a
0
f
（
x）
dx
3
a
3
a
a
f（x）dx
03（a
3
于是．
1）
28．解
（1）先求函数的定义域为（0,）．
（2）求y和驻点：
1lnx
y，令y0得驻点xe．
2
x
（3）由y的符号确定函数的单调增减区间及极值．
1lnx
当0xe时，y0，所以y单调增加；
2
x
当xe时，y0，所以y单调减少．
由极值的第一充分条件可知y
xe
1
e
为极大值．
（4）求y并确定y的符号：
3
2lnx3
y，令y0得xe2．
3
x
3
当
0xe时，y0，曲线y为凸的；
2
3
当
xe时，y0，曲线y为凹的．
2
33
3
根据拐点的充分条件可知点e,e）为拐点．
（22
2
这里的y和y的计算是本题的关键，读者在计算时一定要认真、仔细。
另外建议读者用列表法来分析求解更为简捷，现列表如下：
x（0,e）e
3
3
3
22
（e,e）e2（e,）
y＋0－－－
y－0＋
就表上所给的y和y符号，可得到：
函数y
ln
x
x
的单调增加区间为（0,e）；
函数y
ln
x
x
的单调减少区间为（e,）；
函数
y
ln
x
x
的极大值为
1
y（e）；
e
函数y
ln
x
x
3
2
的凸区间为（0,e）；
函数y
ln
x
x
3
的凹区间为（e2,）；
函数y
ln
x
x
33
3
22
的拐点为（e,e）．
2
lnx
（5）因为lim0
x
x
，
lim
x0
ln
x
x
所以曲线y
ln
x
x
有
水平渐近线y0
铅垂渐近线x0
（6）根据上述的函数特性作出函数图形如下图．
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