13.在平行四边形
中,AE=AD(>0),
DF=DC(
0<<1),且=3,
若AF与BE交于点O,则
的最大值是
答案:
【解析】设
因为B,O,E三点共线,则AO=xAE+(1-xAB=xb+
1)xa,
AO
设
AF
=m,即
,则,
⎧m=1-x,消去x可得m=,因为=3,
1+
所以
,当且仅当=
3
时,取得等号。
3
所以的最大值是。
14.数列{an}满足an+
答案:
930
=(-1)n+1a+n,则数列{a}的前60项的和为
【解析】当n为奇数时
an+1
=(-1)n+1a+n=a+n
nn
an+2
=(-1)n+2a
n+1
+(n+1)=-a
n+1
+(n+1)=-(an+n)+(n+1)=-an+1
此数列前60项的和,利用并项求和的方法
S60=(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+a7+a8)++(a57+a58+a59+a60)
=6+14+22++118=15(6+118)=930
2
。
15.
在∆ABC中,角A,B,C所对的边分别是
。
a,b,c,且
,b+c=2,求边a的长;
(Ⅱ)若
B是最大内角,则cos(B-A)的取值范围。
解:
(Ⅰ)因为,即,由正弦定
理可得a2-b2=c2-bc,所以cosA=1,即A=,又S=3,所以bc=1
23∆ABC4,
又b+c=2,所以b=c=1,所以在∆ABC中,由余弦定理可知,
;
,B+C=2,所以≤B<2,所以0≤B-A<,
所以cos(B-A)的取值范围为(1
2
3333
1]。
16.
如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1B1B为正方形,BB1C1C为菱形,平面
(1)
求证:
;
(2)设点E,F分别是
的中点,试判断直线
与平面
ABC的位置关系,并说明理由;
C
B1
AFA1
(1)
连接BC1.在正方形ABB1A1中,.
因为平面AA1B1B⊥平面BB1C1C,平面AA1B1B平面BB1C1C=BB1,AB⊂平面
所以AB⊥平面BB1C1C.
因为B1C⊂平面BB1C1C,所以
在菱形
中,.BC1⊥B1C
因为B1C⊂平面所以B1C⊥平面
ABC1,ABC1.
平面ABC1,BC1AB=B,
因为AC1⊂平面ABC1,所以.
(2)∥平面ABC,理由如下:
CC1
取BC的中点G,连接
.因为
是B1C的中点,
所以∥BB1,且.
BB1
因为是
的中点,所以.
AA1
在正方形ABB1A1中,AA1∥BB1,.
所以∥AF,且.
所以四边形所以
GEFA为平行四边形.
因为平面,
所以∥平面.
平面ABC,
17.已知椭圆
B
x2y2T:
a2+b2
A
=1(a>b>0)
的中心为原点O
BAB
,一个焦点
,且下顶点
2到过左顶点
1和上顶点
1的直线11的距离为。
(Ⅰ)求椭圆
T的方程;
(Ⅱ)过点
M(2,0)的直线l与椭圆T交于不同的两点A,B。
设直线FA和直线
FB的斜率分别为kFA和kFB,求证:
kFA+kFB为定值。
解:
(Ⅰ)因为直线A1B1方程为,即,
又B(0,-b)到直线
2
即
|ab+ab|23
的距离da,即
a2+b23
整理得a2=2b2,又b2=a2-1,
,
2aba2+b2
=23a,
3
解得a=2,b=1,所以椭圆
的方程为。
(Ⅱ)由题意显然直线
⎧y=k(x-2),
l的斜率存在,设直线
l的方程为y=k(x-2)
⎪
由⎨x2
⎩2
y2=1,
得(1+2k2
)x2
-
8k
2x+8k2
-2=0
因为直线
l与椭圆T交于不同的两点,B
所以∆=64k4-4(1+2k2)(8k2-2)=8(1-2k2)>0,解得k2<1
2
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则
(10分)
所以kFA+kFB为定值0。
18.如图所示,有一块镀锌铁皮材料
,其边界,
是两条线段,AB=4米,
米,且
.边界
为对称轴的一条抛物线的一部分;边界
是以点
为圆心,
EC=2米为半径的一段圆弧,其中点E在线段AD上,且
CE⊥AD.现在要从这块镀锌铁皮材料ABCD中裁剪出一个矩形
(其中点在
边界BCD上,点M在线段AD上,点Q在线段上),并将该矩形PQAM作为一个
以PQ为母线的圆柱的侧面,记该圆柱的体积为V(单位:
立方米).
(1)若点P在边界上,求圆柱体积V的最大值;
(2)
如何裁剪可使圆柱的体积V最大?
并求出该最大值.
19.已知函数。
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)若x,x(xx-x1212
解:
(Ⅰ)由条件可知,函数
的定义域是(0,+∞)。
21a
由可得。
①当a≤0时,
在(0,+∞)上恒成立,故f(x)在(0,+∞)上单调递减;
,
②当时,当
当时,
增。
,则在(0,
2)上单调递减,在(
a
2,+∞)上单调递
a
综上可知:
当
时,f(x)在(0,+∞)上单调递减;当a>0时,f(x)在
上单调递减,在
上单调递增。
(Ⅱ)由
(1)可知,当时至多1个零点,故不满足条件;
当时,所以
在(0,
2)上单调递减,在(
a
,
2,+∞)上单调递增。
a
a+aln2≥0时,即022a
②当,即a>2e,即,
又因为f
(1)=1>0,所以f
(1)⋅f⎛⎫<0,又因为f(x)在(
⎝⎭
2,+∞)上单调递
a
增。
所以在
(2,+∞)上有且只有1个零点;
a
当x∈(0,2)时,令g(x)=lnx+1,则g'(x)=1-1=x-1
axxx2x2
所以g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增。
所以g(x)≥g
(1)=1>0,所以,
所以f⎛1⎫=a2+aln1>a2+a(-a)=0,又因为当a>2e时,所以,
ç⎪
⎝a⎭a
所以f⎛1⎫⋅f⎛⎫<0,又因为f(x)在(0,
ç⎪
⎝⎭⎝⎭
2)上单调递减,
a
所以在
上有且只有一个零点,
所以
20.
已知曲线C:
xy=1
,所以
,x=11,过C上一点A(x
。
y)作一斜率k=-1的直线交
曲线C
17nnn
xn+2
于另一点,An+1(xn+1,yn+1).
(1)求xn与xn+1之间的关系式;
(2)求证:
数列{1+1}是等比数列,并求数列{x}的通项公式;
n
xn-23
(3)求证:
(-1)x1+(-1)2x2+(-1)3x3+(-1)nxn<1(n∈N*)
解:
(1)直线方程为
y-yn
=-1
xn+2
(x-xn
),因为直线过点An+1
(xn+1
yn+1),
∴y-y
=-1(x
-x)⇒1-1
=-1(x
-x)⇒xx
=x+2.
n+1n
xn+2
n+1n
xn+1xn
xn+2
n+1n
nn+1n
(2)设a=1+1,由
(1)得
nxn-23
a=1+1=1+1=-2(
1+1)=-2a
n+1x
-23x+2
3x-23n
n+1n-2n
xn
故
又a=-2≠0,1+1}是等比数列;
1{
xn-23
a=(-2)n⇒x=2+11.
(-2)n-
3
(3)由
(2)得∴(-1)nxn=(-1)n⋅2+
当n为偶数时,则
1
2n-(-1)n⋅1
3
n-1n
2n+2n-1
<2n+2n-1
=1+1
(-1)
xn-1+(-1)xn=
1
2n⋅2n-1+⋅2n-1-
12n⋅2n-12n-12n
39
∴(-1)x+(-1)2x+(-1)3x+...+(-1)nx<1+1+...+1=1-1<1;
123n2222n2n
当n为奇数时,则(-1)x+(-1)2x+(-1)3x+...+(-1)nx<1+(-1)nx
123nn
而xn=2-1
2n+1
3
>
0,所以1+(-1)nxn=1-xn<1
∴(-1)x1+(-1)2x2+(-1)3x3+...+(-1)nxn<1
综上所述,当n∈N*时,(-1)x1+(-1)2x2+(-1)3x3+(-1)nxn<1成立.
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